人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》综合测评练习题（含答案解析）

人教版八年级数学上册第十三章轴对称综合测评

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5亳米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在△4比中，AB=AC,Z0700,△力*C与ZUHC关于直线用对称，尸10°,连接

BB',则4的’的度数是（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为3（）。，则顶角的度数为（）

A.60°B.120°C.60。或150。D.60。或120。

3、如图，/BC中，ZBCA=90°,NABC=22.5°,将/UBC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A',

连接BA',过点A作AHJ_BA'于H,AH与BC交于点E.下列结论一定正确的是（）

A.AzC;A'HB.2AOEBC.AE=EHD.AE=A'H

4、在平面直角坐标系中.点P(1,-2)关于x轴的对称点的坐标是()

A.(1,2)B.(-1,-2)C.(-1,2)D.(-2,1)

5、如图，先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点

为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的AADH中（）

A.AH=DHWADB.AH=DH=ADC.AH=ADWDHD.AHWDHWAD

6、下列图形中，是轴对称图形的是（)

It

I1.1I

nI■：t1：■rI：D.

7、如图，在矩形48CQ中，AB=5,AD=3动点尸满足3S4P,J8=S矩形18m,则点尸到A、4两点距离

之和P4+P4的最小值为（)

A.V29B.V34C.5及D.741

8、如图是4义4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选

出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9、若点力（。-2,3）和点8（-11+5）关于x轴对称，则点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

10、在卜列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的I四边形是矩形

C.有一组邻边相等的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在用“8C中，ZC=90°,N8=20。，P。垂直平分44,垂足为Q,交8。于点P.按以下步

骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边4c48于点D,E；②分别以点D,E为

圆心，以大于;DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线/F.若力尸与心?的夹角为。，则

a-

2、如图，在△月回中，力C=8,於=5,/山的垂直平分线必交/历于点〃交边〃'于点E,则△国方的

周长为.

3、如图，已知力。是的中线，夕是力。上的一点，BE交AD于F,AC=BF,ZW=24°,Z.EBC

=32°,则N/D=____.

4、如图，△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,BE±AC,AF1BC,则NEFO

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5cm和11.5cm两部分,求这个等腰三角形各

边的长.莉莉的解答过程如下：

设在△48。中，AB=AC,BD是中线.

:中线将三角形的周长分为13.5cm和11.5cm,如图所示，J5-5C=13.5-11.5=，：.AB=BC+2,

・♦.2(80+2)+80=13.5+11.5,解得8c=7,

:.AB=AC=BC+2=9,

.••三角形三边的长为9cm,9cm,7cm.

请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请给出理由.

A

2、如图，点〃，夕在△月砥的边配上，AB=AC,AD=AE,求证：BD=CE.

3、如图，在“8C中，AB=AC,的垂直平分线交初于N,交4c于M.

（1）若NB=70。，则/MW力的度数是；

（2）连接"8,若=△M8C的周长是14°〃.

①求8C的长；

②在直线MN上是否存在点P,使由人B,C构成的APSC的周长值最小？若存在，标出点P的位置

并求△尸8。的周长最小值；若不存在，说明理由.

A

N

r

BL----------------

4、(1)如图①，△48C和△CZ)E都是等边三角形，且点8,C,E在一条直线上，连结8。和力直

线BD,4E相交于点P.则线段80与力E的数量关系为.〃。与力万相交构成的锐角的

度数为.

(2)如图②，点8,C,E不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立.

图①图②图③

(3)应用：如图③，点8,C,E不在同一条直线上，其它条件依然不变，此时恰好有/力上。=30"设

直线/E交于点。，请把图形补全.若尸。=2,贝ljop=.

5、已知NM4N=120。，力C平分NWN,点尻。分别在4上.

图2

(1)如图1,若CQJ_/M于点。，CB工AN于点、B.

①利用等腰三角形“三线合一”，将补成一个等边三角形，可得力。,力。的数量关系为

②请问：4C是否等于"+4D呢？如果是，请予以证明.

(2)如图2,若则(I)中的结论是否仍然成十？若成立,请予以证明：若不成

立，请说明理由.

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

由轴对称图形的性质可得△加恒AC,进而结合三角形内角和定理即可得出答案.

【详解】

如图，连接BB',

C与△力a'关于直线砥对称，

・•・△/便△9AC,

,・"庐〃；ZC=70°,

:.NABONACB'=NAB'C=70°,

：.ABAC=ZB'AC=40°,

•・・/。片10°,

：・4C4/M00,

A/BAff=40°+10°+10°+40°=100°.

AAABB'=ZABf^40°，

故选C.

【考点】

本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出/阴。的度数是解题关键.

2、D

【解析】

【分析】

分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形两锐角互余即可得.

【详解】

依题意，分以下两种情况：

(1)如图1,等腰A4BC为锐角三角形，顶角为4,AB=AC,BD工AC,乙4BD=30。

：.4=90。-AABD=90°-30°=60°

(2)如图2,等腰A48C为钝角三角形，顶角为N8月。，AB=4C,BD-AED=30。

/BAD=90°-/ABD=90°-30°=60°

ABAC=180°-Z.BAD=180°-60°=120°

综上，顶角的度数为60。或120。

故选:D.

【考点】

本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是

解题关键.

3、B

【解析】

【分析】

证明•，£三力4T,即可得出正确答案.

【详解】

证明：:/比布90°,ZABO22.5°

・•・Z5JC=67.5°,

•・•"8。沿直线8c折叠，得到点4的对称点/，连接用'，

JMBC=AA'BC,

：.AC=CAf,

*：ZBCA=90Q,

f

:.AA=2ACf

*：MBC?M'BC

：.ZABC=ZA'BC=22.5°t即：^HBE=22.5°,

...NABH=45°,

9：AHVBAf,

・•・A43”是等腰直角三角形，

BH=AH,ZABH=ABAH=45°,

：.ZA'AH=67.5°-45°=22.5°,

在和中，

AHBE=AAAH

BH=AH,

ABHE=AAHA

，BE=A4,

：.BE-2AC,

故8选项正确，

故选；B.

【考点】

本题考查了折叠、等腰三角形、等腰直角三角形、三角形全等，解决本题的关键是证明全等，得出线

段

4、A

【解析】

【详解】

点P(1,-2)关于x轴的对称点的坐标是(1,2),

故选A.

5、B

【解析】

【分析】

翻折后的图形与翻折前的图形是全等图形,利用折叠的性质，正方形的性质，以及图形的对称性特点解

题.

【详解】

解：由图形的对称性可知:4?刃“切二〃〃

•・•正方形ABCD,

：.AB=CD=AD,

：.AH=DH=AD.

故选B.

【考点】

本题主要考查翻折图形的性质，解决本题的关健是利用图形的对称性把所求的线段进行转移.

6、C

【解析】

【分析】

依据轴对称图形的定义逐项分析即可得出C选项正确.

【详解】

解：因为选项力、生〃中的图形都不能通过沿某条直线折叠直线两旁的部分能达到完全重合，所以它

们不符合轴对称图形的定义和要求，

因此选项力、B、〃中的图形都不是轴对称图形，

而C选项中的图形沿.上卜边中点的连线折叠后，折痕的左右两边能完全重合，因此符合轴对称图形的

定义和要求，

因此C选项中的图形是轴对称图形，

故选：C.

【考点】

本题主要考查了轴对称图形的定义，学生需要掌握轴对称图形的定义内容，理解轴对称图形的特征，

方能解决问题找对图形，同时也考查了学生对图形的感知力和空间想象的能力.

7、D

【解析】

【分析】

由3s=S必形48。，可得△〃仍的/火边上的高左2,表明点夕在平行于/仍的直线而上运动，且两平

行线间的距离为2：延长用到G使抬CG,连接的交房于点儿则点尸与，重合时，PA+PB故小,

在RtAGEA中,由勾股定理即可求得4G的长，从而求得以+如的最小值.

【详解】

解：设△为8的月8功上的高为力

3SaPAB=S矩形1BCD

：.3xLAB・h=AB・AD

2

：.h=2

表明点尸在平行于力〃的直线原上运动，且两平行线间的距离为2,如图所示

...小2

・・•四边形ABCD为矩形

庐3,ZABC=90°

:.FOBC-B"3-2=1

延长尾至IJG,使6叱1,连接力6交必于点〃

・••游心2

9：EF//AB

:"EFG=/ABC=9Q°

・•・咸是线段法的垂直平分线

，/注/方

,?PA+P扶PA+PG>AG

・•・当点尸与点〃重合时，处+必取得最小值4G

在欣△彻中，仍5,BG=2g4,由勾股定理得：4G=LBGBG275r+4==而

即川+外的最小值为历

【考点】

本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质、两点之

间线段最短等知识，难点在于确定点户运动的路径，路径确定后就是典型的将军饮马问题.

8、C

【解析】

【分析】

根据轴对称的性质可直接进行求解.

【详解】

解：如图所不:

共3个，

故选：C.

【考点】

本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.

9、D

【解析】

【分析】

根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案.

【详解】

点A(a-2,3)和点B(-1,b+5)关于x轴对称，

得a-2=T,b+5=-3.

解得a=l,b=-8.

则点C(a,b)在第四象限,

故选：D.

【考点】

本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出

a-2=T,1)+5=-3是解题关键.

10、D

【解析】

【分析】

分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析得出答案.

【详解】

解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；

D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；

故选：D.

【考点】

本题主要考杳了矩形的判定、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定，正确把握相关判定定理是

解题关键.

二、填空题

1、55。.

【解析】

【分析】

根据直角三角形两锐角互余得NBAC=70。，由角平分线的定义得N2=35°,由线段垂直平分线可得

△AQM是直角三角形，故可得Nl+N2=90°,从而可得N：=55°,最后根据对顶角相等求出。.

【详解】

如图,

「△ABC是直角三角形，ZC=90°,

/.Z5+Z5JC=90°,

Z5=20°,

:"BAC=90°-N8=90°-20°=70°,

丁/M是/8/C的平分线，

Z2=-Z^C=-x70°=35°,

22

，夕。是43的垂直平分线，

..△4W。是直角三角形，

Zl+Z2=90°,

/.Z1=90°-Z2=90°-35°=55°,

・・・/。与/1是对顶角,

/.Za=Zl=55°.

故答案为：55°.

【考点】

此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识,

熟练掌握相关定义和性质是解题的关键.

2、13

【解析】

【详解】

已知原是18的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,

所以△形下的周长二町仇为吩於%以=加MR13,

故答案为：13.

3、100°##100度

【解析】

【分析】

延长月。到机使得〃"=仍连接8机证△砌侬△如（必S）,得得至IJ区"=力。=%乙kN〃47=24°,

4c=4DBM,再证△的"是笔腰三角形，求出/物郎的度数，即可解决问题.

【详解】

解：如图，延长力〃到M使得®=仞,连接创，

M

在△8〃1/和△。勿中,

DM=DA

<NBDM=NCDA,

BD=CD

・•・△〃〃侬△如(SAS),

:・BM=AC=BF,NM=/DAC=24°,/C=/DBM,

'：BF=AC,

：.BF=BM,

・♦・2.仁N熊仁24°,

.\Z.W=180°-ZJ/-ZOT/=132°,

♦:4EBC=32°,

・♦.ZDBM=4MBF-/EBC=100°,

.・./仁/必仁100°,

故答案为：100°.

【考点】

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

4、45

【解析】

【详解】

解：〈DE垂直平分AB,

AAE=BE.

VBE±AC,

•••△ABE是等腰直角三角形.・・・/BAC=NABE=45°.

XVAB=AC,

AZABC=y(180°-ZBAC)=(180°-45°)=67.5°.

AZCBE=ZABC-ZABE=67.5°一45°=22.5°.

VAB=AC,AF±BC,

.\BF=CF

XVBE1AC

AEF二BF.

・・・NBEF=ZCBE=22.5。，

AZEFC=ZBEF+ZCBE=22.5°+22.5°=45°

故答案为：45.

5、56

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质得出力〃〃比；故可得出的度数，由角平分线的定义求出/口户的度数，再由

分'是线段力。的垂直平分线得出N/比尸的度数，根据三角形内角和定理得出的度数，进而可得出

结论.

【详解】

如图，

・・•四边形ABCD是矩形,

：.AD//BC,

：,ZDAC=ZAC^8°.

•・•由作法可知，力/是2%C的平分线,

・•・/44加俏34°.

•・•由作法可知，£尸是线段力。的垂直平分线，

工/力腔90°,

AZJ/7F90°-34°=56°,

/.Za=56°.

故答案为：56.

三、解答题

1、不正确，见解析

【解析】

【分析】

根据AB和BC的大小关系分类讨论，然后根据三角形的周长差即可分别求出对应的AB和BC,从而得

出结论.

【详解】

解：莉莉的解法不正确，理由如下：

假设在“8。中，AB=AC,BD是中线.

当时，

AB-BC=\3.5-\\.5=2t

/.AB=BC+2

.­.2（BC+2）+5C=13.5+lL5.

解得BC=7,

AB=AC=BC+2=9.

当时,

，8。-48=13.5—11.5=2,

BC=AB+2,

:.2AB+AB+2=\3.5+\\.5.

23

解得力8

。2323r29

/.AC=—,BC=-----F2=—.

333

”970Q

综上，这个三角形三边的长分别为9cm,9cm,7cm或^~cm,§cm,3~cm.

【考点】

这道题是用文字叙述的形式给出的，没有图形，也没有字母，因此，可以先根据文字叙述画出图形，

标注字母，利用图形减小题目难度，由于腰和底边不相等造成•腰上的中线把三角形的周长分成两个

不相等的部分，解题关键是既要考虑到腰比底边长，乂要考虑到底边比腰长.

2、见解析

【解析】

【分析】

过力作"_L仇?于凡根据等腰三角形的性质得出止阴D户EF,即可求出答案.

【详解】

证明：如图，过力作〃工比于E

BDFE

•：AB-AC,AD-AE.

:.B2CF,D2EF,

:・BF-D六CAEF,

:,B2CE.

【考点】

本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分

线互相重合.

3、(1)50°(2)①6例②存在点P,点P与点M重合，△PBC周长的最小值为14o〃

【解析】

【分析】

(1)根据等腰三角形的性质得出NB=/C=70°,在△/隹(：中，根据三角形内角和定理求得NA=40°,

在aAMN中，根据三角形内角和定理求得NNMA=50°;

(2)①根据线段垂直平分线可得AM=BM,根据△MBC的局长=BM+BC+CM=AM+BC+CM即可求解；

②根据对称轴的性质可知，M点就是点P所在的位置，ABC的周长最小值就是aMBC的周长.

【详解】

解：⑴VAB=AC,

AZB=ZC=70o,

.\ZA=180u-70u-70u=40"

VMN垂直平分AB交AB于N

・・・MN_LAB,ZANM=90°,

在△AMN中,

ZNMA=180°-90°-40°=50°；

(2)①如图所示,连接MB,

VMN垂直平分AB交于AB于N

.\AM=BM,

・•・AMBC的周长=BM+BC+CM=AY+BC+CM=BC+AC=14c卅

又・・・AB=AC=8c/〃，

BC=14cm—8c加=6CR；

②如图所示，

,.•MN垂直平分AB,

・••点A、B关于直线MN对称,AC与MN交于点M,因此点P与点M重合:

AAMBC的周长就是APBC周长的最小值，

AAPBC周长的最小值=ZX\IBC的周长=14cm.

【考点】

本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.解题

的关键是熟练掌握这些知识点.

4、(1)相等，60';(2)成立，证明见解析；(3)见解析，4.

【解析】

【分析】

(1)证明△BCDgZXACE,并运用三角形外角和定理和等边三角形的性质求解即可;

(2)是第(1)问的变式，只是位置变化，结论保持不变；

(3)根据/AEC=30°,判定AE是等边三角形CDE的高，运用前面的结论，把条件集中到一个含有30°

角的直角三角形中求解即可.

【详解】

(1)相等；60.理由如下：

•・,“8C和都是等边三角形，

:・ZACB=ADCE=6，BC=ACtDC=CE,

乙BCD=Z.ACE,

在"CE和△8。。中

CB=CA

,/BCD=&CE,

CD=CE

:.“CEg功CD.

：.BD=AE,NBDC=NAEC.

XVZ.DNA=ZE/VC,

:♦4DPE=4DCE=6.

(2)成立：理由如下:

证明：和acos都是等边三角形,

、E

B

图②

:・ZACB=ZDCE=B，BC=AC,DC=CE,

/.ZBCD=ZACE,

在△力C£和△8C。中

CB=CA

«NBCD=4C