人教版八年级数学下册《二次根式的乘法与除法（第1课时）》教案

19.2二次根式的乘法与除法

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.掌握二次根式的乘法法则.

2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简

单运算.

【过程与方法】

1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，使学生进一步

了解数学知识之间是互相联系的.

2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲,体验数

学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时共2课时

四、教学重难点

【教学重点】

会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行二次根式的

乘法运算.

【教学难点】

二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.

五、课前准备

教师：课件.

学生：铅笔、练习本.

六、教学过程

(-)导入新课(出示课件2)

李大爷家有一块长方形菜地，它的长为花米，它的宽为百米,

求它的面积.

学生列式：V5xV3

教师提出问题：想想如何计算这个式子呢？

(二)探索新知

1.探究二次根式的乘法法则(出示课件4-6)

教师展示问题：

计算下列各式：

(1)V4xV9=x=,《4x9==；

(2)VT6x^/25=x=,V16x25=______=

(3)V36x^<49=x=,V36x49=______=

学生独立思考后，教师找三位学生回答.

学生1答：

(1)V4xV9=2x3=6,V43T9=V36=6；

学生2答：

(2)V16xV25=4x5=20,V16x25=V400=20；

学生3答：

(3)V36xV49=6x7=42,V36x49=A<1764=42.

教师问：观察计算结果，你有什么发现？

学生答：观察三组式子的结果，我们得到下面的等式：

(1)V4xV9=V43C9.

(2)716xV25=V16x25.

(3)V36xV49=V36x49.

教师问：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律

吗？

学生答：Va>\^F=VOF(4Z>0,/?>0)

教师问：想一想：J7-4)x(-9)=7^乂7^成立吗?

学牛.答：不成立.

教师问：为什么呢？

学生答：因为口、『没有意义！

教师问：因此被开方数。，b需要满足什么条件？

学生答：a,b是非负数，即在0,应0.

师生一起归纳总结：(出示课件7)

二次根式的乘法法则是:仿•Vb=VoF(4/>0,/?>0)

二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.

教师追问：你能用语言描述一下二次根式的乘法法则吗？

学生答；算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.

教师强调：〃,b都必须是非负数.

考点1:简单的二次根式的乘法运算

计算：（出示课件8）

⑴V3XV5;(2)(3)x

师生共同解答如下：

解：(1)V3xV5=V3x5=VT5；

(2)fixV27=J|x27=V9=3；

教师追问：下边的式子如何运算？（出示课件9）

V2xV3xV5

师生共同分析如下：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法

法则

学生解答如下：

解：V2xV3xV5=（V2xVF）xV5=V6xV5=V30.

师生共同总结如下：

只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法

则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（6VF•…・4=

7a・b•k（a>0,b>0,...,k>0））

出示课件10,学生自主练习，教师给出答案.

教师问：你还记得单项式乘单项式法则吗？（出示课件11）

学生答：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相

乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指

数作为积的一个因式.

教师问：计算4Q2.5Q4.

学生答：20a6

考点2：因数不是1二次根式的乘法运算

计算:(出示课件12)

(1)2V5x3^;(2)4V27x

师生共同解答如下：

解：(1)2V5x3V7=(2x3)x(V5xV7)=6xV35=6；

(2)4727x(-|V3)=(4x(-1)]x(V27xV3)=(-2)x9=

-18.

教师总结点拨：

当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法

则计算，即7?16・小历=(mn)VaF(4z>0,/?>0).

教师总结点拨：(出示课件13)

二次根式的乘法法则的推广：

①多个二次根式相乘时此法则也适用，即

->J~b•・・・•yfn=^Jab•...•n(6r>0,Z?>0,...//i>0)

②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则

计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的

积作为被开方数，BPmVa-nVb=(mn)Vob(6/>0,/;>0).

出示课件14,学生自主练习，教师给出答案.

考点3：二次根式的大小比较

比较大小：(出示课件15-16)

(1)2遥与3^3;(2)・2后与一3遍;

师生共同解答如下：

解：(1)方法一：

V2V5=V223C5=V20,3A/3=73^73=727,

又,.,20V27,.\V20<V27,HP2V5<3V3.

方法二：

V(2A/5)2=22X(V5)2=20,(3代)2=32x(V3)2=27,

又,.,20V27,工(2V5)2<(3V3)2,H|J2V5<3V3.

(2)V-2V13=-V22x13=-V52,-3V6=-V32x6=-V54,

又・・・52V54,Z.V52<V54,

A-V52>-V54,GP-2V13>-3遍.

教师问：比较二次根式大小的方法有哪些？

师生共同归纳：(出示课件17)

比较两个二次根式大小的方法：

(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当

两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大.

(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是

正数时，平方大的二次根式大.

(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近

似值，再进行比较.

出示课件18,学生自主练习，教师给出答案。

2.探究二次根式乘法法则的逆用(出示课件19)

从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：

(1)V4x9=V4xV9.

(2)V16x25=V16xV25.

(3)V36x49=V36xV49.

教师问：你发现了什么规律？

学生答：两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.

教师问：你能用字母表示你所发现的规律吗？

学生答：VaK=4a,Vb(a>0,b>0)

考点1：利用二次根式的乘法法则的逆用计算

化简：(出示课件20)

(1)716x81；(2)74a2b3.

师生共同解答如下：

解：(1)716x81

=V16xV8T

二4x9

=36;

(2)V4H2&3

=V4•

=2-a-7b2•b

=2<\[b

=2abVb.

出示课件21,学生自主练习，教师给出答案。

考点2：利用二次根式的乘法法则及逆用计算

计算：（出示课件22）

（1）gxQ;（2）375x2710；（3）V3x-Jpy

师生共同解答如下：

解：（1）旧xV7=V14x7=V72T2=V72xV2=7V2；

（2）3V5x2\f10=3x2x<5x10=6A/52X2=6V51xV2=6x

5V2=30V2；

（3）V3x•J|xy=^3x•^xy=y/x2y=y[x^♦y/y=Xy/y.

教师问：你能说一下化简二次根式的步骤吗？

引导学生回答并总结如下：（出示课件23）

化简二次根式的步骤：

1.把被开方数分解因式（或因数）；

2.把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算

术平方根的积；

3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式后=|可，把这

个因式（或因数）开出来，将二次根式化简.

出示课件24,学生自主练习，教师给出答案。

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么

样吧。

（三）课堂练习（出示课件25・33）

练习课件第25-33页题目，约用时20分钟

（四）课堂小结（出示课件34）

二次根式的乘法内容

二次根式的乘法算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.

法则即=y[ab（a>0,b>0）

①多个二次根式相乘时此法则也适用，即

二次根式的乘法Va-•...•Vn=Vab••n（6r>0,Z?>0,...^>0）

法则拓展

②myfR，(mn)y/ab(a>0,h>0)

二次根式乘法法积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

则的逆用即=y/a,yfb（a>0,b>0）

（五）课前预习

预习下节课（19.2第2课时）的相关内容.

知道最简二次根式的定义及其二次根式的除法法则

七、课后作业

1、教材第7页练习第1,2,3题.

2、培优练习19.2第3,6,7题.

八、板书设计

二次根式的乘法与除法

第1课时

1.二次根式的乘法

考点1考点2考点3

2.二次根式乘法法则的逆用

考占1考占，

3.例题讲解

九、教学反思

成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、

计算、归纳，不断进行自主探究，在探究过程中注意观察知识产生发展

的全过程，从