人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）》教案

20.2勾股定理的逆定理及其应用

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解并能证明勾股定理的逆定理.

2.会认识并判断勾股数，掌握勾股定理的逆定理，并能灵活应用逆

定理判定一个三角形是否为直角三角形.

【过程与方法】

1.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识发生、发展和形成的

过程

2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数

形结合方法的应用.

【情感态度与价值观】

1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形

的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.

2.在对勾股定理的逆定理的探索中，培养了学生的交流、合作的意

识和严谨的学习态度，同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时共2课时

四、教学重难点

【教学重点】

勾股定理的逆定理的应用.

【教学难点】

勾股定理的逆定理的证明.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、绳子、铅笔、直尺、练习本.

六、教学过程

（-）导入新课（出示课件2）

古埃及人曾用下面的方法得到直角：

♦0—0—0—0—0—0,0—0—0—0•

用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4

个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便

是直角.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？这就是今天我们

探究的问题！

（二）探索新知

1.出示课件4-9,探究勾股定理的逆定理

教师问：据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.这种方法

对吗?

学生答：三边分别为3,4,5,满足关系：32+42=52,则该三角

形是直角三角形.

教师问：完成下面的问题：

下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数

为边长画出三角形（单位：cm）.

①5,12,13；②7,24,25；③8,15,17.

师生一起解答如下：

教师问：用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

师生一起解答：如下图所示，它们都是直角三角形.

教帅问：下血有三组数分别是一个三角形的三边长b,C：

①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.

这三组数在数量关系上有什么相同点？

教师找三名学生回答.

学生1答：①5,12,13满足52+122=131

学生2答：②7,24,25满足72+242=252,

学生3答:③8,15,17满足82+152=m

教师问：如果用字母mb,c代替上面每一组的数字，你能得到

a,b,c之间什么关系式呢？

学生答：a2+b2=c2.

教师问：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？

学生答：•・・32+42=52,・・・满足.

教师问：根据上面的式子你有什么猜想呢？

学生答：一个三角形的两边的平方和等于另一边的平方，这个三

角形是直角三角形.

教师总结如下：由上面儿个例子，我们猜想：

如果三角形的三边长4,b,C满足屋+b・c2,那么这个三角形是直角

三角形.

教师问：你觉得这个猜想严谨吗？为什么？

学生1答：我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.

学生2答：我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不

能由部分代表整体.

教师：试着完成下面的题目.

展示问题：已知：如图，在AABC中，AB=c,BC=a,CA=b,

并且M+b?*.求证：ZC=90°.

师生共同解答如下:

证明：作AAiBiCi,使NC]=90。,BiCi=a,CiAi=b.根据勾股定

理，则有AIBI2=BICI2+CIAI2=a2+b2.Va2+b2=c2,AAiBi=c.

AB=AiBi.

在^ABC和△AIBIG中，

rBC=B|C1,

<CA=CiAi,

IAB=AiBi.

AAABC^AAiBiCi.

AZC=ZCi=90°.

教师总结归纳：（出示课件10）

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。，b,c满足/+b?二

c2,那么这个三角形是直角三角形.

教师追问：你能利用符号语言描述一下上面的定理吗？

师生一起总结如下：

符号语言：

在AABC中，若〃+b2=c2

则AABC是直角三角形.

教师总结点拨：（出示课件11）

勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三

边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三

角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.

考点1：利用勾股定理的逆定理判断直角三角形

下面以Q,b,C为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，

那么哪一个角是直角？（出示课件12）

⑴，b=15，c=17;(2)6f=14,b=13,c=15.

教师找两名学生解答.

学生1解：

(1)V82+152=289,172=289,

A82+152=172.

根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且NC是直

角.

学生2解：

(2)・・•142+132=365,152=225,

・・・142+132,152,不符合勾股定理的逆定理.

・••这个三角形不是直角三角形.

师生总结点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是

直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平

方.

出示课件13,学生自主练习后口答，教师订正.

考点2：利用勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形的形状

若4ABC的三边〃,b,c,且a+b=4,ab=1,c=V14,试说明4ABC是

直角三角形.(出示课件14)

学生独立思考后，师生共同解答.

角军：r/+b=4,fzb=1,

^2+b2=(tz+b)2-26/b=16-2=14.

又・・飞2=14,

/.tz2+b2=c2,

A△ABC是直角三角形.

出示课件15,学生自主练习，教师给出答案.

2.出示课件16,探究勾股数

教师问：如果三角形的三边长b,C满足〃2+b2=c2那么这个三

角形是直角三角形.你能找到满足层+b2=c2的三个数均为正整数吗？

教帅找两名学生回答.

学生1答：可以找到，例如3,4,5.

学生2答：可以找到，例如5,12,13.

教师问：如果满足层+b2=c2的三个数均为正整数，我们把具有这

种性质的一组数叫作勾股数.你能举出实际的例子吗？

教师找四名学生回答.

学生1答：3,4,5,5,12,13

学生2答：6,8,10.7,24,25.

学生3答：8,15,17.9,40,41.

学生4答：1（）,24,26

教师问：勾股数有很多，那么如何快速找勾股数呢？

师生共同解答如下:一组勾股数，都扩大相同倍数k（k为正整数）,

得到一组新数，这组数同样是勾股数.

出示课件17,学生自主练习后门答，教师给出答案.

教师：学了前面的知识，接下来做儿道练习题看看你掌握的怎么

样吧。

（三）课堂练习（出示课件18-22）

练习课件第18.22页题目，约用时2（）分钟

（四）课堂小结（出示课件23）

师生共同回顾本节课所学主要内容：

（1）己知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个

三角形是不是直角三角形.

（2）三个数满足勾股数的两个条件:①三个数必须满足较小的两个

数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.

（3）解题时，注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角

三角形中运用的，而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角

三角形的.

（五）课前预习

预习下节课（20.2第2课时）的相关内容.

知道利用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法

七、课后作业

1、教材第36页练习第1,2题.

2、培优练习20.2第1,2,3,5题.

八、板书设计

勾股定理的逆定理及其应用

第1课时

1.勾股定理的逆定理

考点1考点2

2.勾股数

3.例题讲解

九、教学反思

成功之处：

1.本节课以“提出问题——解决问题''为主线，以学生的自主探索

学习为中心，从解决问题的完成情况看，知识目标完全达到，能力目标

基本实现，情感目标基本实现.

2.在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用，教师不能

一味地“讲知识”，而是应用启发式的原则，给学生指明学习目标和方向,

让学生去自主探究，注重了知识上的及时巩固，也侧重了学生各方面的

素质的培养.