培优课3 不等式恒成立、能成立问题

培优课3不等式恒成立、能成立问题

关键能力•素养培优

题型一在R上的恒成立问题

［例1］已知关于x的不等式加+2依+1出的解集为R,求实数〃的取值范围.

【解】当4=0时符合题意;当4Ho时，则2A解得0<a&L

=4a4-4a<0,

综上，实数a的取值范围是{〃|0Wm1}.

•解题策略，

不等式对任意实数x恒成立，即不等式的解集为R

加+法+00(存0)恒成立

d/zr+cYCWO)恒成立叱:4

aF+历:+企0(存0)恒成立。

aF+^+c^Om#))恒成立o{:::'

提醒:注意题意中是否要求不等式是一元二次不等式，注意讨论二次项系数,结合二次函数

图象的开口方向及与x轴的交点情况讨论，注意所列的关于判别式/的不等式是否取

等号.

［变式训练］(湘教版必修箕一册P55例5)若对任意的熨数占一元二次不等式

f+2(l+k)x+3+〃>0恒成立,求实数k的取值范围.

【解】由题意知，一元二次不等式f+2(l+k)x+3+Q0的解集为R,于是对应二次函数

产/+2(1+0计3+4的图象开口向上,且恒在x轴上方，所以/=4(I+Q2—4(3+6<0,

即4(炉+&-2)<0,

求解该一元二次不等式得-2<Zvl.

故实数k的取值范围为{川-24vl}.

题型二在给定范围上的恒成立问题

［例2］己知二次函数尸d+/kl,若对于任意m<x<m+\都有>->()成土,求实数m的取值

范围.

【解】由题意得二次函数产AmT图象的对称轴方程为户费

①当一裂〃?,即〃亡0时，若要对任意rn<x<m+1都有y>0,则只需满足当x=m时,)>0,即2m2-\>0,

解得2冬

②当m+lW，即"区-；时,若要对任意ni<x<m+1都有y>0,则只需满足当A=/7?+1时,y>0,即

2"?2+3〃?>0,解得机<一|；

③当m<~—<m+1,即--<in<()时，显然m<O<m+1，当x=0时,)=一1<0,不满足题意.

23

综上，实数m的取值范围为｛〃力加V-|或切>争.

[典例迁移1]若不等式丁_2k3W0对VA-G｛冰0％+2｝恒成立厕实数a的值可以是()

IAJ-2四qlCj|IDJ2

【答案】C

【解析】法一解不等式炉-2¥-34)得-1三狂3,因为不等式炉-2广350对3。刍3+2｝

恒成立，所以3as烂a+2｝G3-氏3｝,可得｛胃43解得一心曰故选C.

法二因为产产2-3的图象开口向上，所以只要6一2氏”，

(a+2)-2(a+2)-3<0,

所以所以.故选C.

(-1<a+2<3,

[典例迁移2]若VxG｛x[l<x<2｝,不等式％2-x-〃?<0恒成立，则in的取值范围是()

[Al｛m\tn<2｝[B]｛，川，〃22)

[C]｛，川1<小<2｝[D]｛m[m>2]

【答案】B

【解析】由题意,〃pf-x在¥xW｛x|lqy2｝时恒成立，令)=『-尤其图象开口向上，对称轴方

程为故当1W2时\0<)y2,所以〃?N2,所以m的取值范围是｛加|〃它2｝.故选B.

・解题簸略，

⑴当a>0时,"+/u+cv0在｛x|a士”｝上恒成立o尸尔+法+c在尸时的函数值同

时小于0.

⑵当4Vo时,4『+公+。>0在｛x|aSv"｝上恒成立=产尔+灰+。在x=a^=/i时的函数值同

时大于0.

(3)若是不等式的解集可以求解，也可以转化为集合关系(子集)问题.

(4)对一些简单的问题.通过求)，的最小值与最大值，求得参数的取值范围.

题型三在给定范围上的能成立问题

[例3]当14V2时，关于x的不等式/+〃a+4>0有解,求实数m的取值范围.

【解】因为y=x2+nix+4的图象开口向上，所以当1<¥<2时,不等式x2+mx+4>0有解，即

〃计5>0或2/〃+8>0,解得/心-5.故实数〃？的取值范围为{〃巾〃>一5}.

[典例迁移1]若关于x的不等式『-4厂2-e0在⑷刍“}内有解测实数a的取值范围是

（）

[A]{«|a<-2}[B]{«k/>-2}

【答案】A

【解析】不等式户4x-2-色0在30W4}内有解等价于当1<^<4时,把（44厂2%用.当

l<r<4时,。2-4尸2）|m=-2,所以芯-2.故选A.

[典例迁移2J（多选）已知关于x的不等式2r+3〃<0在。〈区2上有解.则实数a的取信可

能是（）

[Al-3[B]-2[C]l[D12

【答案】AB

[解析】因为0仁2.所以0?-2^+3«<0可以化为设尸尧,当0<x<2

邛+3）X2+3

巴一2网

•解题策略,

（1）当a>0时,aF+Z?x+c>0；生{人|烂烂岗上能成立=产加+/?工+。在x=a^x=/i时的函数值有

一个大于0.

⑵当a<0时,尔+法+c<0在xE刍0?）上能成立Q产加+/u+c在产。4二6时的函数值有

一个小于0.

（3）若是不等式的解集可以求解，也可以转化为集合关系（两个集合的交集不是空集）问题.

（4）可以使用分离参数法，转化为其他函数的最值问题.

课时作业

（满分:100分）

单选每小题5分.

回A级一基础巩固练

1.若不等式声母心0在R上恒成立,则实数m的取值范围是()

[A]{mm>^}出]{T加V*}

©{"巾"1}[D]{司，心1}

【答案】A

【解析】不等式,V2-X+/72>()在R上恒成立,只需满足J=(-1)2-4/72<0,解得〃?>；.故选A.

2.已知不等式『+以+4<0的解集为空集，则实数〃的取值范围是()

[A]{a]aW-4或应4}

[0{〃|。<-4或々>4}

[D]{a\-4<a<4]

【答案】B

【解析】因为不等式4Vo的解集为空集，所以Z=t/2-4x4<0,即-4<«<4.故选B.

3.已知关于x的不等式-r+4;仑/_3a在R上有解，则实数。的取值范围是()

[A]{止1%*}

[0{。咫4或止T)

[V>]{a\-4<a<\]

【答案】A

[解析】因为关于x的不等式-%2+4.仑后_3〃在R上有解，即f-4x+/-3aW0在R上有解,

只需)=炉-4工+片-3〃的图象与x轴有交点，所以/=(-4产4x(〃2_3a)K),即。2一3。-4W0,解得

TWW4.故选A.

4.若函数产aF的图象恒在函数产以-1图象的上方，则实数〃的取值范围是()

LA]{a|0<a<4}

[Bl{t/|-4<«<0}

[C]{a]〃v-4或介0}

[D]{a|0<a<4)

【答案】A

【解析】由题意，得¥R,cDr>a.x-1«cur-ax+1>0恒成立.当«=0时，不等式为1>0,恒成立,

符合题意;当行0时，有、2人

(d=(-a)-4a<0,

解得0v〃v4.综上所述，实数a的取值范围是{30力<4}.故选A.

5.若命题突R,使得1+2如+2a+3沙'为假命题,则实数a的取值范围是()

[A]{a\a<~\或a>3}

[B]{a|T生3)

[C][a\a<-\]

[0{硝-室底1用}

【答案】A

【解析】根据题意可知FxGR,使得*+2。什24+3〈0”为真命题，则/=(2。)2-4(24+3)>(),即

〃2-24-3=3+1)(〃-3)>0,解得a<-\或a>3.故选A.

6.当x>0时,不等式炉-〃a+8沙恒成立，则实数m可取的最大整数值是()

[A14[B]5[C]6[D]7

【答案】B

【解析】当x>0时,不等式,r-wx+8>0恒成立，则〃区了=x+g恒成立，又由Q0,可得

x+^>2口|=4或，当且仅当产，即尸2四时，等号成立,所以〃W4&,则实数m可取的最大整

数值是5.故选B.

7.(5分)若对于任意R,Vm%2+2mx+2都有意义,则实数in的取值范围是.

【答案】{m\()<nt<2}

【解析】令y=y/mx24-2mx4-2,当m=()时产鱼,符合题意;当〃加)时/LF+Z/ztr+ZK)恒成

立'则即{熬Mmv0解得。〈〃区2.综上，实数，〃的取值范围是(刑09E2}・

8.(5分)若当x>0时不等式f-(，〃+l)x+16W0有解,则实数m的最小值为.

【答案】7

【解析】因为A>0,所以不等式/-(〃?+l)x+16<0,即m+l>x+^,又因为.r+y>2J7^=8,当且

仅当尸当即x=4B寸，等号成立,所以当Q0时,x+子的最小值为8,所以帆+128,即〃仑7,故实数

小的最小值为7.

9.(13分)已知二次函数y=ar+(t/-2)x-2.

(1)当a=\时，求)，的最小值；

(2)若？R,y>3恒成立、求实数a的取值范围.

【解】(1)当1时，产产尸？二。-，一,当下;时,),取得最小值，最小值为

(2)若？R,y>-3恒成立、即VxGR,av2+(«-2)x+l>0恒成立.当a=0时,-21+后0不恒成立；

当今0时，只需满足印二''即俨/〜八解得4-2危综上，实数〃的取值范

围为｛“4-20&/a+2V5｝.

10.(15分)已知不等式fnx2~/?ix+2>0.

(1)当工£R时不等式恒成立,求实数in的取值范围；

(2)当3<x<5时不等式恒成立,求实数m的取值范围.

【解】(1)①若"『(),则原不等式可化为2X),显然恒成立；

②若"M0,则不等式nvc2~inx+2>()恒成立，

等价于°,2a解得。<〃区8.

综上，实数/〃的取值范围是｛；??|0</?z<8｝.

(2)法一①当m=0时，则原不等式可化为2沙，符合题意；

②当”?>0时，函数y=nix2-mx+2的图象开口向上，对称轴为直线

当3£V^5时,函数在X=3时取得最小值，

所以解靠+2之0解得心。；

③当/〃<()时，函数y=nvr-mx+2的图象开口向下，对称轮为直线x=p

当3人5时,函数在x=5时取得最小值，

贝腰<>、八解得-二加<0.

(25m-57n+2>0,io

综上，实数m的取值范围是｛/“m>-看｝.

法二当3<A<5时，

令匚-一日尸乎一/

22-

结合t=X-X的图象(图略)，知tmin=33=6,

Imax=52—5=20,所以6与也20,

所以ifvr-nix+2>0可以化为m>-^.

即心£（各心亲一去所以论卷

即实数m的取值范围是'-2}.

回B级一综合应用练

11.已知集合A二{/|产-5尸6001,对于任意的/G4不等式f+£b/>2x-1恒成立，则实数x的取

值范围是（）

rA]{x|l<v<2}

[B]{xl^l）

[C]{.r|-5<v<2}

[D]{4r<-5或x>2}

【答案】D

【解析】由题意人={1（尸6）（什1庭0}={/|-15匹6},r+戊-加2尸1,即（尸1）（尸1+。>0在/£A上

恒成立.当心>1时,尸1+/>。=入>1-/恒成立，此时入>2;当尸1时，不等式不成立;当xvl时，

x-1+fvOnxvl-r恒成立，此时xv-5.综上，实数x的取值范围是{小<-5或x>2}.故选D.

12.（5分）已知关于x的不等式写翳的解集为。，则实数k的取值范围是.

【答案】{川0女<4}

2

【解析】因为*-工+2=（尸;）2+：>0,所以关于x的不等式‘：2二:；W。等价于kx-kx+1WO,依题

意关于x的不等式匕2_&+理0的解集为0,当k=0时,100,解集为0,符合题意;当上0时，则

L>>,、2八解得04<4.综上可得，实数4的取值范围是{川把z<4}・

（4=（­k）-4k<0,

13.（17分）已知函数y=ax2~（2a+i）x+2.

⑴若不等式的解集为R,求实数a的取值范围；

（2）30S^2,使得不等式乃3-g+1）有解,求实数a的取值范围.

【解】（1）不等式）>-：的解集为R,

即加一（2a+l）x+?>0恒成立，

4

当。=0时,-.叶3。的解集不为R;

当。翔时，若av2-Qa+Dx+S。恒成立，

4

(a>0,

则(4=[-(2a+l)]2-4xax：v0,

解得卜1.

所以实数4的取值范围为｛a^vaV1｝.

4

(2)由题意整理得m0三运2,使