平行四边形判定 小节练-2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第8章四边形

8.1平行四边形

第1课时平行四边形的判定⑴

1关练速度

1.下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（）

A.两个等腰三角形B.两个直角三角形

C.两个锐角三角形D.两个全等三角形

2.下面给出的是四边形ABCD中ZA/B/C/D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平

行四边形的条件是（）

A.3:4:3:4B.3:3:4:4

C.2:3:4:5D.3:4:4:3

3.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB||CD,AB=CDB.AB=CD,AD=BC

C.AB||CD,zB=zDD.AB||CD,AD=BC

4.如图，点D是直线1外一点，在1上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心，

AD,AB的长为半径画弧，两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形，理

由是.

（第4题）（第5题）

5.如图，在团ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，连接AE,CF.要使四边形AECF是平行四边

形，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一个）.

6.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到

一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带来了两块碎玻璃，其编号应该

是.

7.如图，在四边形ABCD中,ABIICD,点E在边AB上,—请从

“（5）乙13=乙^£口;（^人£=[^八£=©口”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（凄序

号），再解决下列问题：

⑴求证：四边形BCDE为平行四边形；

⑵若AD_LDC,AD=8,BC=1（）,求线段AE的长.

第2关练准确率

8.如图，在四边形ABCD中,ABIICD,以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB,BC

于点E,F,分别以E,F为圆心，以大于扣F长为半径作弧，两瓠在4ABe内交于点P,

作射线BP,交AD于点G,交CD的延长线于点H.若AB=AG=4,GD=5,则CH的长为（）

A.6B.8C.9D.10

9.如图，在边长为1的正方形网格中，A,B两点在小方格的顶点上.若点C,D也在小方格

的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有

()

A.3个B.4个C.5个D.6彳

10.如图,F是团ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连接CQ并延长交AB于点E,连接

AF与DE相交于点P,若S^APD=4cm2,S08CD=64cm2,则阴影部分的面积为再?

(第10题)

11.如图，在等边三角形ABC中,BC=6cm,射线AGIIBC,点E从点A出发沿射线AG以1cin/s

的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动.如果点E,F同时出发，设运

动时间为t(s),那么当t=_s时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.

12.如图所示，在回ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,AE=CF,M,N分别是DE,BF的中点.

(I)求证：四边形ENFM是平行四边形；

⑵若4ABe=2iA,求iA的度数.

第3关练思维

13.(1)如图①，在由ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE并延长到点

F,AE=EF,BD=5,DE=1,则CF的长为.

(2)如图②，在四边形ABCD中,对角线AC_LBD,AC=2BD=2,贝ljAB+CD的最小值为一.

14.在△ABC中,AB=AC,点P为AABC所在平面内一点，过点P分别作PEHAC交AB于点

E,PF||AB交BC于点D,交AC于点F.

(1)观察猜想：

如图①，当点P在BC边上时，此时点P,D重合，试猜想PD,PE,PF与AB的数量关

系:t

（2）类比探究:

如图②，当点P在AABC内时，过点P作MNHBC交AB于点M,交AC于点N,试写出

PD,PE,PF与AB的数量关系,并加以证明.

（3）解决问题：

如图③，当点P在4ABC外时，若AB=6,PD=1,则平行四力形PEAF的周长为—.

②③

第2课时平行四边形的判定（2）

1关练速度

1.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：将两根木条AC,BD的中点重

叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（）

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两组对角分别相等的四力形是平行四边形

C.两组对边分别相等的四力形是平行四边形

D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2.如图所示，在团ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点，当E,F

满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）

A.OE=OF

B.DE=BF

C.ZADE=ZCBF

D.ZABE=ZCDF

（第3题）

3.如图，在四边形ABCD中,AO=OC,BD=12厘米，则当OB=厘米时,四边形ABCD是平行

四边形.

4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,zCBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC

10,则四边形ABCD的面积为.

D

5.如图，在4ABC中，点D在AB边上,E是AC的中点，连接DE,CD,过点C作CF||BA,交DE的

延长线于点F,连接AF.

（1）求证：四边形AFCD是平行四边形;

(2)若NB=4ACF,BC=6,求AC的长.

第2关练准确率

6.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O,EF过点O且分别交AD,BC于点E,F,在

BD上找点M.N（点N在点M下方），使以点E,F,M,N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、

乙、丙三个方案中，正确的方案是（）

甲方案：

在BD上取BN=DM

乙方案：丙方案：

作EM_LBD于点M,作/DEF的平分线交BD于点M,作/BFE的平分

作FNJLBD于点N线交BD于点N

A.甲、乙、丙B.只有甲、乙

C.只有甲、丙D.只有乙、丙

7.如图，线段AB,CD相交于点0,且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成的

平行四边形的个数是

8.如图，在4ABC中，点H,F分别是边AB.BC上的点，连接CH,HF,点P是AABC右侧一点，连

接HP,PF,CP,BP,HF与BP交于点D,且DH=DF,BD=DP,如果AH:PF=1:2,那么4PBC的面积

与^ABC的面积的比值为

9.如图，在3K3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另外两个顶点也

在格点上，则这样的平行四边形最多可以画个，请一一在下图中画出来.

1().如图①mABCD中，点0是对角线AC的中点,EF过点0,与AD,BC分别相交于点E,F,GH

过点0,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)如图②，若EF||AB,GH||BC,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形

AGHD面枳相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外).

第3关练思维

11.在平行四边形ABCD中，点0是对角线BD的中点，点E在边BC上,EO的延长线与边AD

交于点F,连接BF,DE,如图①.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形.

(2)若DE=DC/CBD=45。,过点C作DE的垂线，与DE,BD,BF分别交于点G,H,P,如图②.

①当=同,CE=2时，BE的长为;

②求证:CD=CH.

DAD

第1课时平行四边形的判定（1）

LD解析：在拼组平行四力形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以

只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形，即两个全等三角形，一定可以

拼成一个平行四边形.故选D.

2.A解析：当平行四边形的两组对角分别相等时，可由角度关系得到两对边平行，故两组

对角分别相等的四边形是平行四边形，则只有A能判定是平行四边形.故选A.

3.D解析：A.四边形中一组对边平行且相等，可判定是平行四边形；B.四边形中两组对边

分别相等，可判定是平行四边形;C.由ABHCD且乙B=4D可推得ADIIBC，四边形中两组对边

分别平行，可判定是平行四边形；D.四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判

定是平行四边形.故选D.

4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

5.AF=CE（答案不唯一）解析:添加AF=CE;.•四边形ABCD是平行四边形,，AD||BC,即

AFHCE.vAF=CE,.•.四边形AECF是平行四边形（答案不唯一）.

6.②③解析：只有②③两块玻璃上角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延

长线的交点就是平行四边形的顶点，故带②③两块碎玻璃就可以确定平行四边形的大小.

7.⑴若选择①,•.NB=2AED,，DE||CB.：AB||CD,.•.四边形BCDE为平行四边形.

若选择②,•••AE=BE,AE=CD,，CD=BE.vAB||CD,.•.四边形BCDE为平行四边形.

（2）vAD±DC且AB||CD,；.ZA=4ADC=90。,由（1）得DE=RC=10,/.AE=^DE2-AD2=6.

8.C解析:根据题中的作图可得BH平分NABC,.・ZABH=/CBH「.・AB=AG,A

ZABG=ZAGB,/.ZCBH=ZAGB,.-.AD||BC.VABHCD,.-.四边形ABCD是平行四边形,CD=AB

=4.vAB||CD,/.zABH=zCHB.vZABG=ZAGB,ZAGB=ZHGD,.-.ZHGD=ZGHD,.-.DH=GD=5,A

CH=CD+DH=4+5=9.故选C.

9.D解析：如图，根据题意作图可发现符合题意的平行四边形有回ABCE1DEI、

0ABC：D0ACQBDI2AC[BD口、0ABDZ)C3>ciABD〕C□，共6个，故选D.

（第9题）(第10题)

10.28解析:连接EF,如图.•.四边形ABCD为平行四边形,.•.AB=CD,AB||CD,.♦.4BEC=NFCE.•.•Q

是BF的中点,•••BQ=FQ.在4BEQ和AFUQ中,•••4BEQ=£FCQ,zBQE=zFQC,BQ=FQ,：.

△BEQ=AFCQ(AAS),..BE=CF.VBEHCF,.".四边形BCFE是平行四边形，二S^BEF=jsA5CPE.v

AB-BE=CD-C居即AE=FD.vAE||FD,.'.四边形ADFE是平行四边形，二SAP£F=S„APD=

22

4cm之，:.S^ADFE=4sAHPD=16cm,:.SoBCFE=S“BCD~S^ADFE=64-16=48(c7n),.,.

S.BEF='SOBCFE=；x48=24(cm2),.-.阴影部分的面积为S&BEF+S“EF=24+4=28(CITI2).

1L2或6解析：①当点F在点C的左侧时，根据题意得AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BC-

BF=(6-2t)cm.•••AGIIBC,.•.当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形.即t=6-2t,解得t=2;

②当点F在点C的右侧时，根据题意得AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BF-BC=(2t-6)cm.

•••AGIIBC,.•.当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即1=21-6,解得t=6.

综上可得，当t=2s或6s时，以A,C,E,F为顶点的四边形是包行四边形.

12.(1卜•四边形ABCD是平行四边形,.•.AD=BC/A=4C.又

•.AE=CF,.-.AADE=ACBF(SAS),.-.ZAED=ZCFB,DE=BF.V四边形ABCD是平行四边形,二

DC||AB,••2CFB=4ABF,.•./AED=乙ABF,.••ME||FN.又•••M,N分另U是DE,BF的中点，且DE=BF,.・.

ME=FN,.•.四边形ENFM是平行四边形.

(2)v四边形ABCD是平行四边形，，4A+zABC=180。又•.2ABC=24A,，34A=180°,.・2A=60O.

13.(1)3解析:如图①，过点F作GFIIAD,交BD于点G,AZDAE=ZGFE,ZADE=ZEGF.V

AE=EF,，△ADE^AFGE,/.AD=FG,EG=DE=1,V四边形ABCD是平行四边

形,.••AD||BC,AD=BC,J.FG||BC,FG=BC,.•.四边形BCFG是平行四边形,••.CF=BG.T

BD=5,.-.BG=BD-EG-DE=3ACF=3.

⑵V5解析:如图②，过点B作BEIIAC,过点C作CE||AB,BE与CE相交于点E,连接DE.v

BE||AC,CE||AB,

•••四边形ABEC是平行四边形,BE=AC=2,CE=AB.

•-•AC±BD,BEIIAC,.-.BE1BD,.-.zDBE=90°.

vAC=2BD=2,.*.BD=1,由勾股定理得DE=7BE?+BD2=V22+I2=m.•:CD+ECN

DE,,当D,C,E三点共线时，CE+CD取得最小值，・•.AB+CD取得最小值，最小值等于DE的

长，，AB+CD的最小值为遥

14,(1)PE+PF=AB解析:”E||AC,PF||AB,.•.四边形PFAE是平行四边形,二PF=AE.v

PE||AC,.-.Z.BPE=zCC.vAB=AC..-.zB=zC..-.zB=zBPE..-.PE=BE,.-.PE+PF=BE+AE=AB.

(2)PD+PE+PF=AB.证明如下:•••PEIIACPFIIAB,.•.四边形AEPF是平行四边形/ANM=4EPM,；.

AE=PF.vMN||BC,PF||AB,.-.四边形BDPM是平行四边形/ANM=4C,.zEPM=ZANM=

4c.•••MN||BC,rzEMP=NB.乂•••AB=AC,，ZB=ZC,AZEMP=ZEPM,/.PE=EM,.-.

PE+PF=EM+AE=AM.v四边形BDPM是平行四边形,MB=PD,，PD+PE+PF=MB+AM=AB,

即PD+PE+PF=AB.

(3)14解析:如图，过点P作MNHBC分别交AB,AC的延长线于M,N两x

点.•••PE||AC,PF||AB,.•.四边形PEAF是平行四边形,.•.PF=AE/.AB=AC,/.」A

ZABC=ZACB.VMN||BC,.-.4ANM=ZACB=ZABC=ZAMN.VPE||AC,.-.ZEPM=Mp.......飞

zFNP..-.zEPM=zEMP,/.PE=ME.vME+AE=AM,<PE+PF=AM.：MN||CB,DF||AB,.••四边形

BDPM是平行四边形,.•.MB=PD.，PE+PF-PD=AM-MB=AB,，PE+PF=AB+PD=6+l=7,./p行四

边形PEAF的周长为14.

第2课时平行四边形的判定(2)

1.A解析:设AC,BD交于点0,由已知可得A0=C0,B0=D0,所以四边形ABCD是平行四

边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选A.

2.B解析:A:四边形ABCD是平行四边形,，0D=0B.又•OE=OF,.••四边形DEBF是平行四

边形.能判定是平行四边形;c.在AADE和ACBF

中,•.2ADE=4CBF,AD=BC/DAE=NBCF,••.△ADE三△CBF,.•.AE=CF,.•.OE=OF,故C能判定是

平行四边形；D.同理可得AABE三ACDF,••.AE=CF,；.0E=0F,故D能判定是平行四边形，故选

B.

3.6解析:必0=0。,.••当OH=OD时,四边形ABCD是平行四边形.•••BL)=12厘米，:.08=

\BD=1x12=6(厘米).

4.24解析:在RtABCE中，易得CE=5.・；BE=DE=3,AE=CE=5,.•.四边形ABCD是平行四边形.四

边形ABCD的面积为BCBD=4x(3+3)=24.

5.(1)：E是AC的中点,••.CE=AE.：CF||AB,.,.NCFE=ZADE,?E4CFE和aADE中/CFE

=ZADE,ZCEF=ZAED,CE=AE,.-.ACFE^AADE(AAS),.-.FE=DE.又•••CE=AE,J.四边形AFCD

是平行四边形.

(2)VCF||AB,.-.^ACF=Z.BAC.VZB=ZACF,AZ.B=Z.BAC,AAC=BC=6.

6.A解析:在平行四边形ABCD«|>,OB=OD,DE||BF,.-.ZEDO=ZFBO,在aBFO和aDEO中，

乙FBO=乙EDO,

{OB=OD,.△BFO^ADEO(ASA),/.OE=OF.

乙FOR=Z.EOD,

甲方案:•：BN=DM,；.0N=0M.由对角线互相平分可知四边形EMFN为平行四边形；

Z；^^：VEM1BD,FN1BD,.-.ZEMO=ZFNO=90O,?E

乙EMO=乙FNO=90°,

△EMO和aFNO中，{4E0M=乙F0N,：心EMO=AFNO(AAS),

0E=OF,

MO=NO.由对角线互相平分可知四边形EMFN为平行四边形；

丙方案:•••AD||BC,.ZDEF=4BFE.「EM平分4DEF且FN平分4BFE,.ZOEM=4OFN4AEMO

和AFNO中，

乙OEM=AOFN,

{OE=OF,..△EMONAFNO(ASA),，MO=NO.由

乙EOM=Z.FON,

对角线互相平分可知四边形EMFN为平行四边形.综上所述，中、乙、丙三种方案均可使

以点E,F,M,N为顶点的四边形为平行四边形.故选A.

7.4解析:如图所示,•••线段AB,CD相交于点0,且图上各点把线段AB,CD四

等分,••.CF=FO=NO=ND=^C0=\D0=^CD,AM=MO=EO=EB=

=：B0=2/18,..四边形ACBD、四边形MFEN、四力形AF