期末复习易错题（50个考点）原卷版-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

期末复习易错题(50个考点)

【浙教版】

题型归纳

【考点1二次函数的定义】....................................................................2

【考点2二次函数丫=2*2的图象与性质】.......................................................2

【考点3二次函数丫=ax?+k的图象与性质】....................................................3

【考点4二次函数y=a(x-h)2的图象与性质】..................................................4

【考点5二次函数y=a(x—h)2+k的图象与性质】...............................................5

【考点6二次函数丫=ax2+bx+c的图象与性质】...............................................6

【考点7二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】...........................................6

【考点8二次函数的平移】....................................................................7

【考点9用“一般式”求二次函数解析式】........................................................8

【考点10用“顶点式”求二次函数解析式】........................................................9

【考点11用“交点式”求二次函数解析式】........................................................10

【考点12二次函数与一元二次方程】...........................................................11

【考点13根据实际问题列二次函数关系式】.....................................................11

【考点14二次函数的应用】....................................................................12

【考点15事件的可能性】......................................................................14

【考点16概率】...............................................................................14

【考点17用列举法求概率1.............................................................................................15

【考点18用频率估计概率1.............................................................................................16

【考点19图形的旋转】........................................................................17

【考点2()垂径定理】..........................................................................18

【考点21圆心角、弧、弦的关系】.............................................................20

【考点22圆周角定理】........................................................................21

【考点23圆内接四边形的性质】...............................................................22

【考点24点和圆的位置关系】.................................................................23

【考点25直线和圆的位置关系】...............................................................24

【考点26三角形的外接圆】....................................................................25

【考点27确定圆的条件】......................................................................26

【考点28切线的性质与判定】.................................................................27

【考点29切线长定理】.......................................................................28

【考点30三角形的内切圆】....................................................................29

【考点31正多边形和圆】......................................................................30

【考点32弧长的计算】........................................................................32

【考点33扇形面积的计算】....................................................................33

【考点34比例的性质】........................................................................34

【考点35比例线段】..........................................................................34

【考点36黄金分割】.........................................................................34

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【考点37相似图形】.........................................................................35

【考点38平行线分线段成比例】...............................................................36

【考点39相似三角形的判定】.................................................................37

【考点40相似三角形的性质】.................................................................38

【考点41相似三角形的判定与性质】...........................................................39

【考点42相似三角形的应用】.................................................................40

【考点43位似】..............................................................................41

【考点44锐角三角函数的定义】...............................................................43

【考点45特殊角的三角函数值】...............................................................44

【考点46解直角三角形】.....................................................................44

【考点47解直角三角形的应用】...............................................................45

【考点48投影］..............................................................................46

【考点49三视图】............................................................................47

【考点50简单几何体的表面展开图】...........................................................48

举一反三

【考点1二次函数的定义】

1.（25-26九年级上•江苏苏州•阶段练习）二次函数y=5必一©+2的一次项系数是（）

A.-4B.4C.-1D.1

2.（25-26九年级上•安徽安庆•阶段练习）把二次函数y=—（%+3）（%+4）+11变成一般形式后，其二次项

系数和一次项系数分别为（）

A.—19—1B.—191C.—17D.—19—7

3.（25-26九年级上・安徽安庆・阶段练习）若、=（。+3）%3—1一%+1是关于%的二次函数，则a的值是

（）

A.-3B.2C.3D.-3或3

4.如果函数y=（m-3）%m2-3m+2是二次函数，那么”的值一定是（）

A.0B.3C.0或3D.1或2

【考点2二次函数丫=ax?的图象与性质】

1.（25-26九年级上•青海西宁•期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么如，a2,。3,的大小关系

是.（请用">"连接排序）

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2.（25-26九年级上•新疆•期中）若原点是抛物线〉=。/+（。-2）%的顶点，则抛物线的开口向.

3.（25-26九年级上•陕西榆林•月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2分别交抛物线丁二炉色工。）,

y=20）于点4B,且4B=1,则Q的值为（）

A.0.5B.1.5C.6-4V2D.6+4V2

4.（25-26九年级上•吉林四平•月考）已知二次函数y=/的图象与直线y=Q%+2（Q为常数）的图象如图

所示.

⑴判断y=好的图象的开口方向，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标：

⑵设直线'=。工+2与抛物线、=%2的交点分别为力（2环）、8（〃/），试确定4、8两点的坐标及Q的值；

（3）连接。4、OB,求aAOB的面积.

【考点3二次函数y=ax2+k的图象与性质】

1.（25-26九年级上•江西南昌•月考）若抛物线L:y=/+8经过点p（—1,4）,则下列各点，必在抛物线L上

的是（）

A.（-1,-4）B.（2,3）C.（1,-4）D.（1,4）

2.（25-26九年级上•广西防城港•期中）二次函数y=2/-3的图象经过4（一2,%）、B（—1%）两点，则力，

力的大小关系是（）

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yz>y无法判定

A.yi=B.yi2c.yi<y2D.

3.（25-26九年级上•天津•月考）对于二次函数y=-2x2+4,当一2<xW1时，y的取值范围是

4.（24-25九年级上•北京通州•阶段练习）在平面直角坐标系宜力中，存在抛物线y=+3（m工0）.

⑴求该抛物线的顶点坐标；

⑵若该抛物线经过点力（-2M），求此抛物线的表达式；

⑶存在两点4（一1,一1）和若抛物线y=mx2+3（mH。）与线段48只有一个公共点，结合图象,

求用的取值范围.

【考点4二次函数y=a（x—h）2的图象与性质】

1.（25-26九年级上•河南信阳•阶段练习）对于二次函数y=—3（%—1）2,下列说法正确的是（）

A.开口向上B.对称轴是直线式=-1

C.顶点是（1,0）D.函数有最小值D

2.（24-25八年级下•北京•期中）对于二次函数月=。（无+2）2和、2=。（无一2）2（。>0）,其自变量和函数值

的两组对应值如下表所示：

X-4m

yi=a(x+2)2bb+5

72=-2)2db

根据二次函数图象的相关性质可知：m=,d-b=.

3.（24-25九年级上•浙江台州•期末）如图，平行于工轴的直线与两条抛物线力=Q。-h）2和及二伏》-13户

Ca<b）相交于点儿B,C,D.若力8=8,8c=3,CD=6,则%的值为.

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4.如图，在平面直角坐标系中，过点4（0,4）、8（5,9）两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上.

⑵求点。的坐标；

（3）P3y）为线段48上一点，1WKW4,作PM||y轴交抛物线于点求产M的最大值与最小值.

【考点5二次函数〉=2年一1】）2+1<的图象与性质】

1.（2S-26九年级上,安徽阜阳•期中）若二次函数y=（丫一秋）2-3,当XV4时，y随.丫的增大而减小，则m

的取值范围为（）

A.m<—4B.m>—4C.m>4D,m<—4

2.（25-26九年级上•北京•期中）当一3工工工2时，二次函数？=Q（x—2尸+1—4Q（Q00）的最大值为8,

则a=.

3.（25-26九年级上•江苏南京•期中）已知二次函数的图象过点.4（0,8）,它的顶点坐标为

⑴求该二次函数的表达式.

⑵设该二次函数的图象与“轴交于点以C（8在C的左侧），则△力BC是什么特殊的三角形？说明理由.

4.（25・26九年级上•浙江杭州•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=aQ-l）2

-4（a*0）.

⑴求二次函数与y轴的交点坐标（用含有。的代数式表示）；

（2）当041.5时，y的最大值为-3,请求出。的值；

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⑶在（2）的条件下，若点P（%i，yD，（?（%2，及）是二次函数图像上的两点，当心刈工£+1,称23时，均满

足月工丫2,请结合函数图像，直接写出/的取值范围.

【考点6二次函数丫=2、2+以+<：的图象与性质】

1.（25-26九年级上・重庆沛南・月考）关于二次函数丫=-3/+12%—3,下列命题错误的是（）

A.开口向下

B.对称轴为％=2

C.与y轴交点坐标为（0,—3）

D.用配方法得到的解析式为：y=-3（x+2）2+15

2.（25・26九年级上•福建福州•期中）已知点A（m,yD，B（2m,yi）tC（2,c）在抛物线y=a/+〃+«。>。）

上，若则下列判断正通的是（）

A.c<yx<y2B.y\<c<y2C.y\<y2<cD.y2<yi<c

3.（25-26九年级上•浙江金华金考）已知二次函数y=-2a-t）（%+t-3）+7"为常数），点P（%i，%）,

Q（%2,y2）Qi<外）是其图象上两点，若y1>及，则不+外的取值范围为.

4.（25-26九年级上•河北沧州•期中）已知二次函数y=%2—THX—3m3〃为常数）.

（1）当〃1=6时，

①若2<X<5,二次函数y=x2-mx-3m的最大值记作,max，最小值记作ymin，求'max—ymin的值；

②若抛物线y=—n?x—3m经过点Q—l,p）,求证：2P—3q<51：

⑵某同学在尝试代入不同的〃，值后，提出了一个观点：“不论〃，取何值，抛物线y=%2-mx-3m必过一个

定点请你判断这个观点是否正确，并说明理由.

【考点7二次函数丫=ax?+bx+c图象与系数的关系】

1.（25-26九年级上•湖北襄阳•期中）二次函数丫=。%2+以+。的图象如图所示，有如下结论：（i）abc<0；

（2）2a+/?=0；③3Q+CV0；④cu/+力血？。+b（m为任意实数）；⑤方程a/+以+c=1的两根之

和为1.其中正确结论的个数是（）

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A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（25・26九年级上•山东临沂•期中）已知二次函数丫=奴2+必+。的图象如图所示，其对称轴为直线

x=b有以下结论：®abc<0；②/>4ac；③（a+c）2>炉；@a<4，其中正确的结论的序号是

3.（25・26九年级上硼北武汉•期中）二次函数y=ax2+bx+3（aH。），其图象经过点（4,3）,则下列说法:

①该函数图象过点（0,3）：

②ab>0；

③若点（1十小,〃）在该函数图象上，贝山3—〃⑺）也在该函数图象上；

④当3W%W4时，歹只有3个整数值，则\"1或一1VaW—|；

其中正确的是—（填序号）.

4.（25-26九年级上・湖北武汉・期中）抛物线丫=/+族+。经过4（7几1）,8（几1）两点，其中血>几>0.下

列五个结论：

①。>1；

②6V0；

③若m—〃=4,则抛物线的最低点的纵坐标为一3；

④若小，〃是关于x的方程以2+6一1二。的两个实数根，则儿二。+1；

⑤若点（1,力），（3,外）在抛物线上，且以之为，M0<m+n<4.

其中正确的是（填写序号）.

【考点8二次函数的平移】

1.（25-26九年级上•四川泸州•期中）把抛物线y=Q+2/向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位

长度，所得抛物线是（）

A.y=（x+2）2+2B.y=（x+I）2—2

C.y=x2+2D.y=x2—2

2.（25-26九年级上•安徽芜湖・月考）已知二次函数的表达式为y=》2+2x-3,将二次函数的图象沿着x

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轴平移使其经过坐标原点。（0,0），则二次函数图象向右平移的长度为.

3.（25-26九年级上•河北邯郸•期中）如图，一段抛物线：y=-x（x-4）（0<x<4）,记为它与x轴交

于点O,公；将Ci绕点4旋转180。得到。2,交工轴于点力2；将绕点左旋转180。得到。3,交x轴于点力3.・・・・・

如此进行下去，直至得到。22,若P（九,-3）在第22段抛物线02上，则九二.

4.（25-26九年级上•山东泰安・期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=Q%2-3"+2（。00）.

（1）当。=2时，求抛物线顶点坐标：

⑵在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当13无43时，求新

的二次函数的最大值与最小值：

⑶抛物线若经过点4（一1,一2）,已知P（%iM）和Q（%2，m）是抛物线上不同的两点，求证：空手=泞.

【考点9用“一般式”求二次函数解析式】

1.（25-26九年级上•安徽六安•期中）根据条件求二次函数的解析式

⑴抛物线过（一1,一1），（1,3）,（0,2）三点；

（2）抛物线的顶点坐标为（-1,-1）,且与y轴交点的纵坐标为-3.

2.（25-26九年级上•山东烟台•期中）（1）已知一个二次函数的图象经过（一1,21）,（1,7）,（0,12）三点,求

这个二次函数的表达式；

（2）已知抛物线y=-%2+b%+c（b,c是常数）经过点做一1,1）,且对称轴为直线％=—彳，求b,c的值.

3.（25-26九年级上•浙江杭州•期中）已知二次函数y=-x2+bx+c经过点力（3,0）与3（-1,6）.

（1冰b,c的值.

⑵求该二次函数图象的顶点坐标.

⑶若0<xv3,求函数值y的取值范围.

4.（25-26九年级上•浙江杭州•期中）如图，已知一次函数yi=-x-l与二次函数及=。/+以一3的图象

相交于点力（一1M）、以几一3）,且二次函数与y轴相交于点C

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⑴求丫2的函数表达式.

(2)根据图象，当yiN'2时，请直接写出自变量X的取值范围.

(3)当0<xV3时，求”的取值范围.

【考点10用“顶点式”求二次函数解析式】

1.(25-26九年级上•浙江绍兴•期中)经过点(3,—8)的抛物线的对称轴是直线x=2,其顶点在直线y=工一1

上.当0W%工1时，此时抛物线的最大值为.

2.(25-26九年级上•陕西安康•阶段练习)二次函数、=。%2+加+。(①，c为常数，月。<0)与x轴的

一个交点的横坐标是一2,顶点坐标为(1,9),则下列关于二次函数7=。工2+取+。的说法中正确的是()

A.二次函数图象的对称轴是直线％=—1

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3

C.当％V1时，，随x的增大而减小

D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8

3.(25-26九年级上•江苏苏州•期中)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为4(3,—4),且过点8(0,5).

⑴求该二次函数的解析式；

⑵当IV%V4时，求y的取值范围；

⑶将二次函数的图象向左平移m(m>0)个单位后恰好经过坐标原点，求m的值.

4.(25-26九年级上•广东江门•期中)已知抛物线经过顶点(4,一8)及点(6,0)

⑴求该抛物线的解析式；

⑵当X时，y随41勺增大而增大；当yvo时，x的取值范围是.

【考点11用“交点式”求二次函数解析式】

1.(25-26九年级上•云南玉溪•期中)小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过

(1,0),(3,0),(0,3)三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是()

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A.y=(x+2)2—1B.y=(x+2)2+1

C.y=(x—2产-1D.y=(x—2)2+1

2.(24-25九年级上•江苏苏州•月考)如图，已知抛物线，=%2+故+。经过4(一1,0),伏3,0)两点.

⑴求抛物线的解析式和顶点坐标；

⑵当0vx<3时，直接写出y的取值范围；

(3)点尸为抛物线上一点，若SAPAB=10,求出此时点。的坐标.

3.抛物线经过点做2,0),5(-1,0),且与y轴交于点C.若。C=2,则该抛物线解析式为.

4.(24-25九年级下•湖南•期末)已知抛物线与x轴交于4(2,0),8(—3,0)两点，与)，轴交于点。(0,—6).

⑴求抛物线的表达式及顶点的坐标.

(2)如图1,若。是x轴下方抛物线上的一个动点(不与点4C.8重合)，过点。作OFJL》轴于点凡交

直线BC于点E.设点。的横坐标为机，试用含〃?的代数式表示DE的长.

(3)如图2,若点^(一1,0),/7(—24)在抛物线上，则在)，轴上是否存在点0,使4MQN=45。？若存在，请直

接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点12二次函数与一元二次方程】

1.(25-26九年级上•浙江杭州•期中)二次函数、=Qx2+bx+c的部分图象如图所示，则方程Q(X—2)2+匕

。-2)+。=2的根是()

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X

x=0.5

A.X\=­3,x2=0B.=2,r=3

C.=3,x2=4D.Xi=4,x2=5

2.（25-26九年级上•河南驻马店•期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y=（%—2025）（%—2026）+5的

图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与不轴有两个公共点P,Q,则PQ=.

3.（25-26九年级上•贵州黔东南•期中）二次函数y=ax2+bx+。的自变量x与函数值y的部分对应值列表

如下：

X•••1.11.21.31.41.5•••

y・・・-1-0.490.040.591.16・・・

则一元二次方程a/+bx+c=0的一个根的取值范围是（）

A.1.3<%<1,4B.1.1<%<1.2C.1.2<x<1.3D.1.4<x<1.5

4.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设

该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系是（）

A.y=x2+aB.y=a（l+x）2

C.y=（1—%）2+aD.y=a（l—x）2

【考点13根据实际问题列二次函数关系式】

1.（25-26九年级上•内蒙古赤峰•期中）2025年的“蒙超足球联赛〃燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网

上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），

设共有“个队参加比赛，比赛总场数为y,则y关于X的关系式为.

2.（25-26九年级上•浙江杭州•阶段练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元.经市场调查表明，当售

价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元.日均销售量减少50瓶.设每瓶售价为不元，

则日均毛利润为w=

3.某果园有100棵枇杷树.每棵平均产量为40下克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树,

那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所

有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，若设增种x棵枇杷树，投产后果园批杷的总产量为y千克，贝的

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与X之间的函数关系式为.

4.（25-26九年级上•江苏徐州•期中）抛物线y=（x-1）2+呜K轴的两个交点之间的距离为6,则t的值

是.

【考点14二次函数的应用】

1.（25-26九年级上•湖北武汉•期中）某校组织跳长绳体育锻炼.某科技小组开展了以“摇绳中的数学"为主

题的综合实践活动.

研究背景甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分.

建立方法以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄4处作垂直于地面的直线为歹轴，建立如图

所示的平面直角坐标系.

收集信息摇绳时，甲，乙摇绳机手柄力，4之间的水平距离是10m,手柄4,8离地面的高度4。，8c都是

1m.当绳子上。点与原点。的水平距离是1m时，其离地面的高度是1.45m.学生跳绳时，为了安全，学生

正上方的绳子距其头顶至少高0.1m.

建立模型求该抛物线的解析式.

应用模型

（1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为2.2m,能否让他参加跳绳活动？请说明理由：

（2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是1.7m,要求小组相邻成员之间

的水平距离不低于0.4m,不超过0.6m,直接写出同时跳绳人数i的取值范围.

2.（25-26九年级上•湖北孝感•期中）某数学兴趣小组经过市场周查，发现某款运动服的月销量与售价是一

次函数关系，具体信息如下表：

售价（元/件）200210220230•••

月销量（件）200180160140

己知该运动服的进价为每件160元，售价为X元，月销量为y件.

⑴求出y关于％的函数关系式；

（2）若销售该运动服的月利润为w元，试求出月利润w的最大值及此时的售价心

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⑶由于运动服进价降低了a元，商家决定调整售价，回馈顾客；假如现在月利润最大时的售价比调整前月利

润最大时的售价低10元，

①求a的值；

②如果商家希望多回馈顾客，同时月利润又为9600元，那么商家调整后的售价应为多少元？

3.（25-26九年级匕贵州遵义•期中）如图①，某校运动会上，小丽同学参加九年级女子组实心球比赛，她

投掷第1次，球的运动路径48。可看作抛物线的一部分，以边界线上的。为原点，分别以水平直线。配竖直

线04为工轴，y轴建立平面直角坐标系，如图②所示，球从与地面垂直距离为1.8m的4处出手，在距离地

面垂直高度2.7m,与出手点水平距离3m的8处到达最高点，最后在C处落到地面.

图②

⑴求此抛物线的函数表达式；

⑵小丽第1次投掷的成绩是多少米？

⑶小丽计划在第2次投掷时将成绩提升到9m以上，且保持球的最高点位置与第1次相同，请问她需要升

高还是降低球的出手点？至少升高（降低）多少米？（不考虑其他因素的影响）

4.（25-26九年级上•河北廊坊•期中）嘉嘉同学准备一条绳子晾晒衣被，他在两棵与地面垂直的树力8,CD

之间悬挂一条绳子，绳子下垂近似成抛物线y=ax2-x+2.8,建立如图1所示的平面直角坐标系.已知树4B

与CD等高，且4B,8之间的水平距离BD为6米.

⑴树A&CD的高度是米，抛物线的顶点坐标为：

（2）如图2,为了更好地晾晒衣被，嘉嘉把绳子从点M处用一根木棍撑起，将抛物线分成抛物线尸1和尸2两部

分，并使得点M到树的距离为2.5米，使抛物线匕的最低点距树力B的距离为2米，离地面2米，求点M

到地面的距离.

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【考点15事件的可能性】

1.（25-26九年级上•湖南长沙•期中）下列事件是随机事件的是（）

A.在标准大气压下，水在100久时沸腾

B.当湘江水位高于橘子洲亲水平台，江水必然会漫上洲岸

C.在同一平面内任意画一个三角形，它的内角和为180。

D.使用手机绿色出行小程序，在一次碳积分抽奖中赢得奖励

2.（24-25八年级下•江苏泰州•期中）生活中“水涨船高"描述的事件是.（填"不可能事件〃，“随机事

件"或“必然事件”）

3.（25-26九年级上•浙江绍兴•期中）下面四个事件中，不可能发生的是（）

A.某运动员跳高的最好成绩是1.67米

B.任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地

C.在纸上任意画两条线段，这两条线段相交

D.在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球

4.（24-25七年级下•河南驻马店•期末）事件“若a是有理数，则同V0〃属于事件.（填“随机”或“必

然"或"不可能"）

【考点16概率】

1.（2S-26九年级上•浙江绍兴•期中）某饮料厂举办促销活动，在一箱（24瓶）饮料中有4瓶的瓶盖内印有

“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，那么他打开下一瓶中奖的概率

是.

2.（25-26九年级上•广东河源•期中）龙川县历史悠久，是广东最早立县的四个古邑之一，有"千年古县〃之

称，龙川县有许多旅游景点，如佗城景区，霍山景区，九龙湾景区.周末，小明与小佳两人准备从这3个景

区随机选一个景区前往游览，他们恰好选择同一景区的概率（）

|C-ID.g

3.（25・26九年级上•广东深圳•期中）如图，转盘中四个扇形的面积都相等.小明随意转动转盘1次，指针

指向的数字为偶数的概率为（）

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4.用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（）

A.摸到黄球的概率是去摸到红球的概率是g

B.摸到黄球的概率是*摸到红球、白球的概率都是3

•3

C.摸到黄球、红球、白球的概率是；

D.摸到黄球的概率是今摸到红球的概率是g摸到白球的概率是:

Zoo

【考点17用列举法求概率】

1.（25-26九年级上•浙江杭州•期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现

从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（）

13-2八3~12

A・元B-5C.gD.元

2.（25-26九年级上•陕西咸阳•期中）己知有四张正面分别标有数字一2,0,—3,4的卡片，这四张卡片除

正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记

下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张.则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是.

3.（25-26九年级上陕西榆林•期中）陕西波浪谷景区是44级景区，是摄影爱好者的天堂.如图是该景区停

车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为48,C,D,现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从

这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放.

ABCD

⑴甲停放在C位置的概率为：

⑵请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率.

4.（25-26九年级上•广东深圳•期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动〃为主题的手抄报评比活

动中，共设置了"交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全〃四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，

若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同.

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A.交通安全B.消防安全C.食品安全D.校园安全

⑴甲选择“食品安全〃主题的概率为：

⑵若我们学校现有九年级900人,请你估算出选择交通安全的同学有人：

⑶请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用4、8、C\D表示）.

【考点18用频率估计概率】

1.（25-26九年级上•广东深圳•期中）如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方

形二维码的边长为10cm,为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大黄重复试验,

发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为cm2.

回蒙回

回

2.（25-26九年级上•陕西榆林•期中）一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外

都相同.搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到

蓝球的频率稳定在0.3,则估计口袋中蓝球的个数为（）

A.18个B.16个C.6个D.4个

3.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合

这一结果的试验最有可能的是（）

本频率

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0----1-----1-----1-----1-----1------>

100200300400500次数

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀〃的概率

B.任意写一个整数，它能被2整除的概率

C.掷一-枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率

D.不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随

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机取出1个球，则它是绿球的概率

4.（24-25九年级上•福建厦门•期末）十八世纪法国的博物学家。•布丰做过一个有趣的投针试验.如图，在

一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为口<d）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概

率为可以通过这一试验来估计立的近似值.某数学兴趣小组利用计算机模拟布干投针试验，取］='，

ndL

得到试验数据如下表：

【考点19图形的旋转】

1.（25-26九年级上•云南曲靖•期中）如图，在△力风:中，^.BAC=111°,将△ABC绕点力按逆时针方向旋

转得到△4BO.若点夕恰好落在BC边上,且4B'=CB',则”'的度数为（）

2.（24-25八年级下•福建福州•期末）把边长为5的正方形48CD绕点力顺时针旋转45。得到正方形力所。。,

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3.在△ABC中，AB=6,AC=BC=5,将△力BC绕点力按顺时针方向旋转得到△/DE,旋转角为a

（0。<口V180。），点"的对应点为点。，点C的对应点为点£

⑴如图，当a=60。时，连接8。、EE,并延长BE交4。尸点凡则BE=」

⑵当a=90。时，请画出图形并求出BE的长；

⑶在旋转过程中，过点。作DG垂直于直线/从垂足为点G,连接CE.当ND4G=〃CB,且线段DG与线段

AE无公共点时，请猜想四边形4EUC的形状并说明理由.

4.（2024•广东江门•二模）综合运用

如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，做10,0）,穴0,5）,以。4。。为邻边构造矩形4BC0,以点4

为旋转中心，顺时针旋转矩形48C。（旋转角为a,0<a<360°）,得到矩形机圮心点8,C,。的对应点分

别为点。，E,F.连接CE,BE,BF.

⑴当点b在线段BC上时，求乙4FB的度数；

⑵当点月在直线CE上时，求点尸的坐标；

⑶当CE与矩形ADE厂的任意一条边垂直时，求△8EF的面积.

【考点20垂径定理】

1.（25-26九年级上•黑龙江齐齐哈尔•月考）如图，在O。中,弦48=6,圆心。至必8的距离为4,则。。

的半径为（）

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2.如图，为。。的直径，点。是弧力。的中点，过点。作于点E,延长0E交。。于点凡若

AC=12,AE=3,则。。的直径长为.

3.（25-26九年级上•湖北武汉•期中）如图1是化学实验中制取蒸储水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面,

阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度＜8=8cm,最大深度CO=2cm,则圆底烧瓶截面0。的半径为

进水嗓锥形瓶

D

图2

4.（25-26九年级上•广东汕尾•期中）如图，四边形48C0内接于。0,对角线8。是。。的直径，连接。4

CA,若0A1BD.

⑴求证：C4平分/BCD；

（2）若8（?=遍，CD=^2,求4B的长.

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【考点21圆心角、弧、弦的关系】

1.（25・26九年级上•浙江•期中）如图，在。。中，若丽=而，则下列判断错误的是（）

A.AB=CDB.AC=CB

C.蕊=丽D.乙40c=乙BOD

2.（25-26九年级上•浙江绍兴•期中）如图，C是以为直径的半圆上一点，比上一点。关于直线BC对称的

点落在上，若4c=3,BC=4,贝帕。的长是.

3.（25-26九年级上•江西赣州•期中）如图，已知。，E分别为半径04。8的中点，C为通的中点.

⑴求证：CD=CEx

（2）若乙408=120。，0A=6,求△。力C面积.

4.（25-26九年级上•河北保定•期中）如图，在。0中，宜径CD垂直于弦力8,交AB于点E,连接