相似三角形的性质（闯关练习）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

27.2.2相似三角形的性质闯关练2025.2026学年

下学期初中数学人教版九年级下册

一、单选题

1.若（其中点A和A、8和用、。和G分别对应），且A8=4,A4=6,则△48C

的周长和AAqG的周长之比是（）

A.9:4B.4:9C.2:3D.3:2

2.已知坟口迎口1?£月且相似比为2口1,若DABC的周长是8。小则E1DEP的周长是＜）

A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm

3.如图，心aABC中，/。=90。,4。=。。=8£）=人,。£148于£AE的长为（）

BDC

、12

A.3B.-C.—D.—

325

4.如果.ABCs山EF（其中顶点4、B、C依次与顶点。、E、”对应），那么下列等式中不一定

成立的是（）

cABDE

A.ZA=ZDB.ZB=ZEC.AI3=DED.-----=-----

ACDF

5.如图，在oABCO中，点E为AB的中点，点尸为BC的中点，i任接防，若随机向oABCD内投一

粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）

AEB

D

A.—B.—C.一-i

16128

AP

6.如图，在AABC中，点D,E分别在AB,AC上，且DE〃BCAD=1,BD=2,那么等的值为

AC

)

D,

B4-------------------1c

A.I：2B.I：3C.I：4D.2：3

7.如图，点尸是矩形ABC。的对角线AC上一点，过点尸作E尸〃BC,GH//AB.分别交AB、CD、

AD.BC于E、F、G、H,连接阳.若AE=3,PF=3.则图中阴影部分的面积为（）

A.8B.12C.16D.24

8.如图，在菱形48C。中，对角线AC与8。相交于点。，在8C的延长线上取一点E,连接。E交

CD于点F.已知/W=5,CE=1,则CF的长是（）

A.2D

3c5-7

二、填空题

9.如图，在AAOB中，NAOB=90。，点A的坐标为（2,1）,B0=2石，反比例函数y:一的图象

x

AB//DE,若AC=4,BC=2,DC=1,则£C=

R

II.如图，在V48C中，4Q为8c边上中线，将△A8D沿4）翻折得到VA*。，AB'交BC于点H,

连接B'C,已知5%所=3$4〃5=6,AC=6,则E到AC的距离是.

B'

12.如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=BC=2,点。是A8的中点，连接CO,点七是AC上

一点，且AE=；AC,点尸是8的中点，连接所,则"'的长为_________________.

C

ADB

13.如图，边长为4的正方形ABC。中，E为4。的中点,连接CE交47）于尸，连接4尸，过人作

/交CE的延长线于M,则。M的长为______.

*

CD

三、解答题

1二4.如图，在VABC中，DE〃BC、AD=4,BD=6,DE=3,求BC的长度.

BC

15.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点8和点C,观察者

在点K.适当调整，使得A〃与EC都与河岸8C垂直.此时人£与8。相交于点£>,若测得

80=100m,OC=50m,EC=45m,请利用这些数据计算河的宽度.

16.如图，在7x7的正方形网格中，点A,8均在格点上，请你借助格点，仅用无刻度的直尺按要求

作图.(保留作图痕迹)

图1图2

(1)如图1,作出线段AB的中点尸.

⑵如图2,作出线段A8的三等分点Q.

17.在平行四边形A8CQ中，M,N为对角线8。的三等分点，连接AM交3C于E,连接£N并延长

交AQ于凡

(1)试说明△AMDs^EMB；

(2)求签FN的值.

18.在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中A4=AC,DE=AE,

点A为公共顶点，NBAC=NAED=90°.如图②，若AAAC固定不动，把AADE绕点A逆时针旋转,

使A。、AE与边8c的交点分别为M、N,点用不与点8重合，点N不与点C重合.

A

A

⑴求证：即AN〜"MA、

⑵已知等腰直角三角形的斜边长为4.

①请求出用V・CM的值；

②若BM=CN,请求出MN的长.

19.如图，正方形A8CD的边长为4,点E在边A。上，AE=3,连接3七交AC于点尸，过点尸作

(1)求尸G的长；

⑵求DG的长.

20.如图，矩形ABC力的对角线AC、BQ相交于点F,延长到点E,使CE=BC,连接。石，连

接AE交于点G,交CD于点H.

⑵求证：DG2=FGBG\

⑶若4)=14,8c=24,求线段G”的长度.

参考答案

题号12345678

答案cBACCBBD

1.C

【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，对应边比等于相似比，求出相似比即可解题.

【详解】由题可知：aABC和&ABG的相似比等于AB：A|B|=2:3,

「相似二角形周长比等于相似比，

AABC的周长和AAIBIG的周长之比是2:3,

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的周长比和相似比的关系，属于简单题，熟悉概念是解题关键.

2.B

【详解】VAABC^ADEF,且相似比为2：1,

CAABC：CADEF=2：1,

8

则CDEF=-=4cm.

A2

故选B.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比.

3.A

【分析】先证明△48〜找出再利用勾股定理求解即可.

【详解】解：由题意知：/BED=NC,

**•t^ACB~&DEB,

.BEDE

••=,

BCAC

*/AC=CD=BD=5

.BEDE

，，>/5+5/5-'

:・BE=2DE,

由勾股定理知：BE2+DE2=BD2,

代入计算得：BE=2,

^AB=y]AC2+BC2=5>

AAE=5-2=3,

故答案为：人

【点睛】此题考查三角形相似，涉及到勾股定理求解，难度一般.

4.C

【分析】根据相似三角形对应用相等，对应边成比例解答即可.

【详解】AABCSADEF,故：

A.NA=ND正确，故本选项错误；

B.二/E正确，故本选项错误；

C.不一定成立，故本选项正确；

AD

D.芸二=正确，故本选项错误•

ACDF

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例，作出图

形更形象直观.

5.C

【分析】连接AC,根据中位线定理得到即可得到即可得到面积比，即可

得到答案：

【详解】解：连接AC,

••・四边形A3co是平行四边形，

••SABCD=2SABC，

•・•点E为A8的中点，点r为8C的中点,

AAC\\EFEF=-AC,

t2

AABCSWF,

•5MFBFF=/（E--Fy2=_1

FscAC4，

.S&EBF_（EF）2_J_

••SABCJAC-8'

故选c；

【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是

根据中位线得到相似.

6.B

【分析】由。。判定△得出比例式，进一步求得答案即可.

.AD_AE

【详解】9：DE//BC,：.XADEs丛ABC,

"AB-AC

1AE.AE1

*：AD=\,DB=2,.•=一

3-ACAC3

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定方法是解答本题的关键.

7.B

ACUp

【分析】根据题意证明△AEPs^CFP,则有；77=不，整理得，FC・EP=AE・PF=8X3=24,通过矩形

FClr

性质可得到阴影部分的面积为g・FC・EP,从而得到答案.

【详解】解：•・•四边形ABCD是矩形

AAB/7CD

/.△AEP^ACFP

.AEEP

^~FC~~FP

.•・FC・EP=AE・PF=8x3=24

XVEF/7BC

，四边形EFCB为矩形

AEB=FC

•・•阴影部分的面积为g・BE・PE

,阴影部分的面积为g・BE・PE=\・FC・PE=\x24=12

故选：B.

【点睛】此题t要考查矩形的性质，相似三角形的性质.关铤能把相似三角形的比例关系与三角形的

面积联系起来进行解题.

8.D

【分析】作OG〃CD交BC于点、G,根据平行线分线段成比例定理证明BG=CG,根据菱形的性质可

得。8=。。，则GO是△BCO的中位线，可求出8G、CG和OG的长，再求出GE的长，由Cf〃G。

可得AECFs^EGO,根据相似三角形的对应边成比例即可求出b的长.

【详解】解：如图，作OG//CD交6c于点G,

:四边形A8CQ是菱形•月入8=5.

：.BC=CD=AB=5,OB=OD,

.BGBO

••==It,

CGDO

：,BG=CG=-BC=-,

22

，。。是^BCO的中位线

:・GO=』CD=，,GO//CD

22

•；CE=1,

57

・・・GE=CG+CE=-+1=-,

22

■:CFHG3

・•・ZECF=ZEGO

yZE=ZE

:.△ECFS^EGO,

.CFCE

**'

2

•••CF的长为,，

故选；D.

【点睛】此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定

与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

9.-8.

【分析】根据NAOB=90。，先过点A作AC_Lx轴，过点B作BD_Lx轴，构造相似三角形，再利用

相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值.

【详解】解：过点A作AC_Lx轴，过点B作BD_Lx轴，垂足分别为C、D,

则NOCA=NBDO=90。，，ZDBO+ZBOD=90°,

VZAOB=90°,/.ZAOC+ZBOD=90°,/.ZDBO=ZAOC,

AADBO^ACOA,

.BOBDOD

，，OA~OC~CA，

•••点A的坐标为(2,1),/.AC=I,OC=2,・・・AO=#7F=石，

=—=—,即BD=4,DO=2,AB(-2,4),

加2I

•・•反比例函数产上的图象经过点B,

X

，k的值为-2x4=-8.

故答案为-8.

10.2

【分析】根据A3〃OE,可得△A4Cs△的，从而得到笑=空，即可求解.

CECD

【详解】解：

，AABCSAEDC,

.ACBC

••----=-----，

CECD

*：AC=4,BC=2,£>C=1,

4_2

~CE~~\

解得：CE=2.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

“2+26

3

［分析］根据翻折的性质、中线的性质得到S”,w=S„，推出AD/JB'C,由此证明MHDsZHC，

根据三角形相似的性质可计算得2Ab,再根据三角形的面积公式列方程即可得解.

【详解】解：设9到AC的距离是近

由已知：S/w=6,S&CHK=1=2,

由翻折性质,

S△.［〉=S.AABD>

由三角形中线性质,BD=CD,

・q-v

AD/ZITC,

ZADH=/&CH，ZAHD=NB'HC,

/\AHDsWHC

T7yS/AI)H=-=3

S^BCH2

s

.DH=SN\DH_G,

CHS△人心

SgcH=£=2后,

S^ACB.=2+2G=gxACxh,

又已知4c=6,

解得〃=2吆叵，

3

故答案为：2'2、

3

【点睛】本题考杳了用三角形面积公式建立一元一次方程，平行线的判定和性质，三角形相似的判定

和性质，三角形中线的性质，翻折变换的性质；掌握好相关的性质，进行面积的转化是本题的关键.

12.1

2

【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线是斜边一半的性质,

证明AAE*△ABC是解题的关键.连接£7),证明八4£12/\45。得/4瓦)=N8=90。=NC££),

根据直角三角形斜边中线的性质可求得所的长.

【详解】解：如图，连接EO,

:.AC=2加,

••A£■1NT&

•AE=-AC=,

42

•・•£＞是AB的中点,

/.AD=BD=\f

由勾股定理得：CD=NBC2+BD?=@+12=5

AEADAD1_x/2

•AB~AC'AC~272-4'

.AEAD

••=9

ABAC

*/="

・•・

・•・ZAED=4=90。=NCED,

•・•/是。。的中点，

:.EF=-CD=—.

22

故答案为：逝.

2

13.V13

MNNF

【分析］作MN_LAD,先证明MA=ME,进而求出AN=NE=1,利用MN〃CD得：——=——

CDED

求出MN,在RTAMND中利用勾股定埋即可求出DM.

【详解】作MN_LAD垂足为N.

•・•四边形ABCD是正方形，

.\AB=BC=CD=AD,ZABF=ZCBF,BC〃AD,ZBAD=ZCDA=90°,

VBF=BF,

•••△BFA也△BFC,

JZBAF=ZBCF=ZCED=ZAEM,

VZMAF=ZBAD=90",

.\ZBAF=ZMAE,

AZMAE=ZAEM,

AMA=ME

VAE=ED=^-AD=2,

/.AN=NE=^-AE=1,

VZMNE=ZCDE=90°,

・・.MN〃CD,

AAMNE^ACDE,

.MNNEi

••==~9

CDED2

VCD=4,

AMN=2,

在RT^MND中，VMN=2,DN=3,

:.DMXDM+MN'=722+32=V13，

故答案为：Vi3

【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行成比例的性质、勾股定理等知识,

灵活运用这些知以是解题的关舞.

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.根据。石〃4C,得到△AOES^ABC,列出比例式求

解即可.

【详解】解：・・・DE〃5C,

/.ZXADEcoAABC,

.DEADAD42

AD+BD-4+6-5'

BC=-DE=—.

22

15.90m

【分析】证明得丝=处，求得A4=9()m.

ECCD

【详解】解：VAB1BC,ECIBC,

・••ZABD=NECD=90°.

,/ZADB=NEDC,

/.AADBSLEDC.

.ABBD

''~EC~~CD'

*.*BD=100m,DC=50m,EC=45m,

.AB100m

••=•

45m50m

/.A4=90m.

答：河的宽度为90m.

【点睛】本题考查相似三角形的应用，判定相似三角形，得到线段间的数量关系是解题的关键.

16.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)取格点C，D,连接CO交A8于点P,点?即为所求；

(2)取格点E,F,M,N,连接£凡MN交A8于点Q,点/即可.

【详解】(1)解：如图，点P即为所求；

'：\D//CB.AD=5,CB=5,

\7ADPRBCP,

,APAD5

..-=--=—=It,

PBCB5

・•・点产是线段A8的中点；

（2）解:如图，点。或点。即为所求.

,:AE〃FB,AE=2,FB=4,

\VAEQ^BFQ、

.AQAE21

••砺一百一厂5，

・AQI

••---=-9

AB3

・•・点Q是线段AB的三等分点；

同理，点Q'也是线段AB的三等分点.

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用

数形结合的思想解决问题.

17.(1)见解析；(2)；.

【分析】(1)根据四边形48CO得出AD//BC,NADB=/DBC,根据对顶角相等得出N4M2A/4ME,

即可求证仆AMDs^EMB；

(2)根据四边形/WC。得出入。〃8。，求证△尸然后根据相似三角形对应边成比例即

可得出结果.

【详解】解：（I）・・F9C7）是平行四边形，

J.AD//BC,NADB=NDBC,

NAMD=NBME,

:.XAMDS^EMB；

（2）•・•四边形A8c。是平行四边形，

：.AD//BC,

:AENDs4ENB,

.FNDN\

*'~NE~~BN~2'

【点睛】本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质的理解和掌握，注

意掌握数形结合思想的应用.

18.⑴见解析

⑵①8②4a-4

【分析】（I）利用三角形外角的性质可证/BAN等于/AWC,再由N8等于/C,可证明结论.

（2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由MAN相似于ACM4，即可得出结论.②先求9V

等于CM,再求4N等于CM,从而得出答案.

【详解】（1）证明：••.△ABC为等腰直角三角形，ZBAC=90°,

・・・N8=NC=45。，

同理，ND4E=45。，

•/ZBAN=ZBAM+ZDAE=ZB4A/+450,

ZAMC=NBAM+NB=NBAM+45。，

，N8AN=NAMC,

:ZANsACMA；

（2）解：①•・•等腰直角三角形的斜边长为4,

*—AC—2^2，

,:XBANs/xCMh,

.BNAB

*'7c-CM'

.BN_2yf2

**272=GW，

:・BN・CM=3,

故的值为8；

②•：BM=CN,

:,BN=CM,

♦：BNCM=8,

:.BN=CM=2五,

MN=BN+CM-BC=472-4，

故MN的长为4夜—4.

【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用

前面的结论解决新的问题是解题的关键.

19.(14

1?

【分析】本题考查了相似二角形的判定和件质.正方形的件历.平行线分线段成比例：

(1)利用正方形性质，证明AA砂可得看=笑=黑=9,再根据平行线分线段成比