模型11手拉手模型（原卷版）

大招

手拉手模型

模型介绍

共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的

两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下:

0(1)寻找公共的顶点

0(2)列《两组相等的边或者对应成比例的边

0(3)将两组相等的边分别分散到两个三箱形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形

*常见结论：

连接BD、AE交于点E连接CF,则有以下结论：

(1)△BCD二A4CE

(2)AE=BD

(3)ZAFB=ZDFE

(4)FC平分NBFE

【专题说明】

两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的

图形称作共点旋转模型：为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】

【基本模型】

一、等边三角形手拉手一出全等

BBE

图3图4

二、等腰直角三角形手拉手一出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有:

①ZXBCDgaACE；©BD1AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分NBFE；

BEE

图3图4

考点一：等边三角形中的手拉手模型

【例1]如图，C为线段AE上一动点（不与点4,E重合），在AE同侧分别作正三角形A8C和正三角形

CDE,AD与BE交子点、0,4）与8c交于点P,BE与CD交于点Q,连接尸Q.有下列结论:

①AD=BE；®AP=BQx③NAOB=60°；®DC=DP；⑤为正三角形.

》变式训练

【变式1T】.如图，AAEC都是等边三角形，则4OC的度数是（）

A.135°B.125cC.120°D.110°

【变式1-2].如图，△D4C和△EBC均是等边三角形，AE.BD分别与CQ、CE交于点、M、N,有如下结

论:

①△ACEgZSOCB；②CM=CN；③AC=DN；④NDAE=/DBC.其中正确的有（）

C.①②④D.①②③④

【变式1-3].如图，△ABC和△〃）£：都是等边三角形，点。在BC上，OE与AC交于点凡若A8=5,BD

=3,则DF=

EF

考点二：等腰直角三角形中的手拉手模型

【例2】.如图，A4CA和AECD都是等腰直角三角形，ZACA=NE6=90。，。为边上一点，若4）=5，

I3D=\2,则力E的长为

A变式训练

【变式27].如图，A3=3,AC=及，连结BC,分别以AC、3c为直角边作等腰RtAACD和等腰RtABCE,

连结AE、BD,当AE最长时，BC的长为（）

A.2&B.3C.x/TTD.V17

【变式2-2].如图，在RtAABC中，AB=AC,点。为比•中点，点石在AB边上，连接DE,过点。作。石

的垂线，交4c于点八下列结论:①MED二ACFD；②EF=4）；③BE+CF=AC；④S四边形=-AD2,

ryAUHz/iEiyr2

其中正确的结论是（填序号）.

考点三：任意等腰三角形中的手拉手模型

【例3].如图，在△408和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,NAOB=NCOD=36；连接AC,

B。交于点M,连接OM.下列结论：

①N/U"=36°,②AC=BD,③OM平分NAO。，④MO平分/AMO.其中正确的结论是.

》变式训练

【变式3-1].如图，等腰A48C中，ZACB=120°,AC=4,点£>为直线至上一动点，以线段CQ为腰在

右侧作等腰△CQK，且NDC£=120°,连接AE,则AE的最小直为（）

A.2GB.4C.6D.8

【变式3-2].如图，在△4BC中，/18=AC=5,ZBAC=\20°,以CA为边在NAC8的另一侧作N4CM=

NAC8,点。为边(不含端点)上的任意一点，在射线CM上截取CE=B。，连接AO,。石，设

AC与DE交于点F,则线段CF的最大值为

【变式3-3】•【问题背景】

(1)如图1,等腰A43C中，AB=AC,NB4c=120°,AQ_L8C于点Q,则器=；

【知识应用】

(2)如图2,AABC和AA。石都是等腰三角形，ZBAC=ZDAE=\20°,。、E、C三点在同一条直线上,

连接80.求证：MDB^MEC.

(3)请写出线段4),BD,C。之间的等量关系，并说明理由.

BC

B

图1图2

实战演练

1.风筝为中国人发明，相传墨在以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源.如图，小飞在

设计的“风筝”图案中，已知4=N£),ZBAE=^DAC,那么AC与AE相等.小飞直接证明

他的证明依据是()

A

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

2.如图，^ABD,AAEC都是等边三角形，则NBOC的度数是，：)

A.135°B.I25cC.120°D.110°

3.如图，点A是x轴上一个定点，点4从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段04为边在y轴右侧作

等边三角形，以线段/W为边在9上方作等边三角形，连接CO,随点6的移动，下列说法错误的

A.ABOA三ABDCB.NODC=150°

C.直线CD与尤轴所夹的锐角恒为60°D.随点片的移动，线段CO的值逐渐增大

4.如图，AB=3,AC=x/2,连结3C,分别以AC、3c为直角边作等腰RtAACD和等腰RtABCE,连结

AE.BD,当AE最长时，BC的长为（）

A.2夜B.3C.x/HD.V17

5.如图，线段04绕点O旋转，线段03的位置保持不变，在的上方作等边APA8,若。4=1,08=3,

则在线段QA旋转过程中，线段OP的最大值是（)

A.MB.4C.2石D.5

6.如图，。是等边△ABC内一点，04=3,。8=4,0C=5,将线段B0以点B为旋转中心逆时针旋转60°

7.如图，ZXABC与△/IDE均是等腰直角三角形，点8,C,。在同一直线上，AB=AC=2,AD=AE=3,

Z«AC=ZD/1E=9O°,则C0=

8.如图，Z\A4c和均为等腰直角三角形，连接C。、/法，点RG分别为。石、4E的中点，连接

FG.在△ADE旋转的过程中，当。、E、C三点共线时，若.44=3,40=2,则线段FG的长为.

9.如图，△ACO和△BCE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=90°,AE交CD于点、F,8。分别交

CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和3。的数量和位置关系，并说明理由.

10.如图，NBAD=NCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂足为尸.

(1)求证：△A8C0△AOE；

(2)求/以£的度数；

(3)求证：CD=2BF+DE.

II.已知△ABC和△4/)£：都是等边三角形，点。在射线B/上，连接CE.

(1)如图I,87)与CE是否相等？请说明理由;

(2)如图I,求NBCE的度数;

(3)如图2,当。在8c延长线上时，连接8E,AABE、ACQE与△4OE的面积有怎样的关系？并说

明理由.

图1图2

12.如图，在△ABC中，分别以AA、AC为腰向外侧作等腰RtZUOA与等腰RlZXAEC,ZDAB=ZEAC=

90°,连接。C、E8相交于点O.

(1)求证：BELDC；

(2)若BE=BC.

①如图1,G、尸分别是。B、EC中点,求空的值.

BC

②如图2,连接OA,若。4=2,求△OOE的面积.

13.如图（1）,在△4BC中，N/1C8为锐角，点。为射线上一动点，连接AD,以为一边在人。的

右侧作等腰直角△/IDF，ZADE=ZAED=45°,ND4E=90°,AD=AE,解答下列问题：

（1）如果人8=AC,ZBAC=W,ZABC=ZACB=45°.

①当点。在线段8c上时（与点8不重合），如图（2）,线段CE、8。之间的数量关系为—：位置关

系为—;（不用证明）

②当点D在线段8c的延长线上时，如图（3）,①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由.

（2）如果A8WAC,N34CW90°,点。在线段8c上运动.

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CELBD（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）

简述CE_L3Q成立的理由.

14.（注意：本题中的说理过程中的每一步必须注明理由，否则不得分）如图I,在△ABC中，NAC3为锐

角，点。为射线8c上一点，连接八/）,以八。为一边且在/V）的右侧作正方形人。石尸.

（1）如果A8=AC,NZMC=90°；

①当点。在线段3c上时（与点8不重合），如图2,线段CF、3。所在直线的位置关系为—,线段

CF、8。的数量关系