2025-2026学年下学期甘肃兰州高三数学3月模拟试卷（含答案）

2026年兰州市高三模拟考试数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.集合A={xA.{2,C.{1,2.已知函数fx=2xA.14−14iB.3.下列函数中,既是奇函数又在区间0,1A.y=exB.y=4.Sn为等差数列an的前n项和.若S9−A.0B.1C.2D.35.在△ABC中,AB=2,BC=23,∠ABC=90∘,E为ACA.163B.143C.106.已知直线l,m,平面αA.若α//β,m//α,则m//C.若m⊥α,m⊥n,则n//α7.为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A,B,C,D共4个不同的国家立场,由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同,则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是A.4B.8C.12D.248.已知曲线C:x=3−3A.322,522二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分)9.某校高一年级开设了文学社、科创社、体育社、艺术社、辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图(1)，(2)，其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查.图(1)图(2)根据以上信息,下列说法正确的是A.艺术社的学生人数有120人B.文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人C.从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为7D.调查结果显示文学社、科创社的满意率均为0.7,其他社团的满意率均为0.9,则社团活动总体满意率为0.8110.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2bcosC=2a−A.△ABC的面积为332B.当b=C.当a=3时,C=π611.已知函数fx是定义在R上的偶函数且在区间0,3上单调,函数gx=xA.fB.若g1=−1C.若gx在区间0,2上是增函数，则gx在区间D.若f32=0，则gx在区间三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.双曲线C:x2a2−13.正四面体ABCD的棱长为6，过棱AB作平面α与棱CD平行，则平面α截该正四面体的外接球所得截面的面积为_____.14.已知函数fx=1,x≥12,−1,x<12,向量四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知数列an中，a1=1，当n≥2时，an(1)求数列an(2)设数列bn满足bn=1an，数列bn的前n项和为16.(15分)已知三棱锥P−ABC中，PB=PC=BC=2，PA=AC=5，面(1)求BM的长；(2)求平面PAC与平面PBC所成的锐角的余弦值.17.(15分)已知fx(1)若曲线y=fx在x=π2处的切线的一个方向向量为4(2)若fx>x对任意x∈0,18.(17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1(1)求椭圆E的标准方程；(2)P是椭圆E1上异于F1，F2的一点，过点P作直线PF1交椭圆E于点A，C，作直线PF2交椭圆i)证明:AC+BDii)若∠F1PF2=θ，四边形ABCD的面积为19.(17分)一项物理实验是向区域Ω中发射某种粒子,该粒子随机落于Ω中的任何位置,且任意两个粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于Ω中特定区域A内时,则需对其进行检测,已知每个粒子落于A内的概率均为1−1e((1)若一次向Ω中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率；(2)若向Ω中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于A内，就停止发射.X表示粒子首次落于A内的发射次数，PX=i表示第i次发射时粒子首次落于A内的概率，若k=1mPX=k>(3)若一次向Ω中发射nn∈N∗个粒子，X表示落于A内的粒子个数，PX=i表示有i个粒子落于2026年兰州市高三模拟考试数学试题参考答案及评分参考一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.B2.A3.D4.C5.C6.D7.B8.D8.已知曲线C:x=3−3y2,整理得:x+y+4=0距离可以转化为平行线间距离,做平行直线l1,过椭圆下顶点时距离最大,此时l1:x+y+1=0故选:D二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分)9.ABD10.BCD11.BC11.因为函数fx是定义在R上的偶函数,所以f−x=fx,又因为函数gx=x即3+x−3f3+x+3所以f3+x=f3−x,结合f对于选项A:由前推导知A错误.对于选项B:因为g1=−1,即g1=又因为fx是定义在R上的偶函数,所以f5=12对于选项C:gx在0,2上是增函数,当x∈4,6时,又因为g6−x=−gx,所以gx在对于选项D:因为函数fx是在R上的偶函数且在(0,3)单调,且f32=0又因为fx+6=f又因为gx=x−3fx所以函数gx在x∈−5,6,三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)14.因为函数fx=1,x又因为向量e1,e2是相互垂直的单位向量可得:e1⋅e2所以fe2⋅e3=1且在平面直角坐标系中,设e1则有cosθ≥12,又因为e1可得e1+3e2四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(1)因为当n≥2时,二项式1+xnn∈N∗的展开式中,第3项的二项式系数为Cn2=nn−1所以当n≥2时,an=nn−12,而n=(2)因为数列bn满足bn=1an，所以bn=1,n=1,2nn−1=21n−1−1n,n16.(1)因为在△PAB和△CAB中，PB=CB，PA=CA，PC=PC，所以△PAB≅△CAB,所以PM=CM3分因为面PAB⊥面ABC,面PAB∩面ABC=AB,PM⊥AB,则又因为在直角△PBM中,PB=2,PM=(2)向量法:由(1)中得证明可得，以M为坐标原点，以MC所在直线为x轴，以MB所在直线为y轴，以MP所在直线为z轴建立空间直角坐标系M−xyz,如图所示,易得P0,0设平面PAC的一个法向量为n1,则n1⊥PA,n1设平面PBC的一个法向量为n2,则n2⊥PB,n2设平面PAC与平面PBC所成锐角为θ,则cosθ几何法:△PAC和△PBC均为等腰三角形,取PC中点为H,则AH⊥PC,BH⊥PC,则∠AHB为平面PAC与平面PBC所成二面角的平面角,AH=322,BH=6217.(1)因为切线的一个方向向量为4,π2,所以切线的斜率为所以f′x=x2−(2)由fx>x对任意x∈0,π2恒成立可得令gx=13x令hx=x2−由于x−sinx′=1−cosx≥0,故h则hx在0,π2为增函数,所以hx当1−a≥0即a≤1时,g′x>0当a>1时,必存在x0,使x∈0,x0时综上可知,当a≤1时,fx>x对任意18.(1)解:由于F1，F2在椭圆E1:x2+3y2=4上，因此椭圆E的焦点为±2,0，又由于椭圆∴椭圆E的方程为x26(2)i)证明:设直线AC,BD的斜率分别为故直线AC的方程为y=k1x+2,直线设Px0,y0由x2+3y2=6,y=k1xx