19.5 二次根式的加减（同步练习）（解析版）-人教版(2024)八下

专题19.5二次根式的加减教学目标掌握能合并的二次根式的概念，并能够熟练地进行二次根式的合并。掌握二次根式的加减法运算，并能够熟练对二次根式进行加减运算。掌握二次根式的混合运算法则并能够熟练进行混合运算。教学重难点重点能合并的二次根式；二次根式的加减运算及混合运算。2.难点（1）根据同类二次根式求值；（2）二次根式的混合运算及其化简求值。知识点01能合并的二次根式（同类二次根式）同类二次根式的概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：只合并根号外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。即a+bm【即学即练1】1．下列二次根式与3是同类二次根式的是（）A．2 B．6 C．9 D．12【答案】D【解答】解：2与3不是同类二次根式，则A不符合题意，6与3不是同类二次根式，则B不符合题意，9=3，它与3不是同类二次根式，则C12=23，它与3是同类二次根式，则D故选：D．【即学即练2】2．最简二次根式2b+1与7-bA．2 B．3 C．0 D．4【答案】A【解答】解：根据最简二次根式与同类二次根式的定义，得2b+1＝7﹣b，解得：b＝2．故选：A．【即学即练3】3．若18与最简二次根式m+1能合并，则mA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解答】解：18=32∵18与最简二次根式m+1∴m+1＝2，∴m＝1．故选：B．知识点02二次根式的加减二次根式的加减运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。具体步骤：①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。②对二次根式进行化简。③合并同类二次根式。【即学即练1】4．计算：（1）1345+5315-【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式=5+45=-5（2）a＝2a2a-2a2•2a＝2a2a-12a=9知识点03二次根式的混合运算二次根式的混合运算法则：同有理数的混合运算法则相同，先去乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。【即学即练1】5．计算：（1）48÷（2）(32【答案】（1）4+6（2）9+25．【解答】解：（1）原式=48÷3-＝4-6+＝4+6（2）原式＝18﹣3﹣（1﹣25+5＝18﹣3﹣6+25＝9+25．【即学即练2】6．求当x=6+3，①x2﹣y2；②xy【答案】①243；②433【解答】解：当x=6+3，y=6-3时，x+y＝12，x﹣y＝23，①x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝12×23＝243；②x=xy=x=xy=33=4【即学即练3】8．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=（1）从270m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？（2）从高空抛出的物体，经过32【答案】（1）从抛出到落地所需时间是36（2）所抛物体下落的高度是90m．【解答】解：（1）由条件可得t=答：从抛出到落地所需时间是36（2）由条件可得32解得：h＝90；答：所抛物体下落的高度是90m．题型01判断同类二次根式【典例1】下列二次根式中与2是同类二次根式的是（）A．50 B．12 C．10 D．4【答案】A【解答】解：A、50=52，与B、12=23，与C、10与2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D、4=2，与2故选：A．【变式1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（）A．3和9 B．a和2aC．12和13 D．a2【答案】C【解答】解：A、9=3，3与3B、a与2aC、12=23，13=3D、a2b=ab，a故选：C．【变式2】下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．0.7与7 B．a+b与1a-b（其中a＞C．24与16D．x3y与xy2（其中x＞0，【答案】C【解答】解：A、0.7=7010B、1a-bC、24=26，D、x3y=故选：C．题型02根据同类二次根式求值【典例1】若最简二次根式8-3k与8能合并，则kA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：8=2∵最简二次根式8-3k与2∴8﹣3k＝2，∴﹣3k＝2﹣8，∴﹣3k＝﹣6，∴k＝2．故选：C．【变式1】若最简二次根式1+a与4-2A．a=-34 B．a=43 C．a＝1【答案】C【解答】解：∵最简二次根式1+a∴1+a＝4﹣2a，解得：a＝1，故选：C．【变式2】若最简二次根式2a-1与3+A．4 B．1 C．﹣4 D．0【答案】A【解答】解：∵最简二次根式2a-1∴2a﹣1＝3+a，解得a＝4．故选：A．题型03二次根式的加减运算【典例1】计算：（1）212-613+（2）（12+20）+（【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝2×23-6×33+＝43-23+＝143；（2）原式＝23+2＝33+【变式1】计算：（1）80（2）18（3）(（4）2【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝45-25+5（2）原式＝32+72-33=102（3）原式=24+12-（4）原式＝2x+3x-2x=【变式2】计算下列各式：（1）5（2）12（3）27（4）23【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式=5-=-2（2）原式＝23-2=4（3）原式＝33=11（4）原式＝2xx+6xy+＝xx+7xy题型04二次根式的混合运算【典例1】计算．（1）（67-417）﹣（28+（2）18-22-82（3）48÷（4）20+【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝67-47（2）原式＝32-2-2（3）原式=48÷3-12×12+26=（4）原式=25+55-【变式1】计算：（1）8+3（2）50（3）(2（4）(2-5【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝22=3（2）原式=5=29（3）原式＝（25）2﹣（32）2＝20﹣18＝2，（4）原式＝（2-5）2011（2+5）2011（2＝[（2+5）（2-5）]2011（2＝﹣（2+5＝﹣2-5【变式2】计算与化简（1）50-（8+2（2）21（3）5x2xy÷12x3y⋅3（4）(5【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝52-22-25（2）原式=32×16（3）原式＝5x2÷12×3xy×yx（4）原式＝7+210-（7﹣210）＝410题型05二次根式的化简求值【典例1】已知：a=3-2，b=（1）a2+2ab+b2；（2）a2b﹣ab2．【答案】见试题解答内容【解答】解：当a=3-2，b=（1）a2+2ab+b2，＝（a+b）2，＝（3-2+3+2＝（23）2，＝12；（2）a2b﹣ab2，＝ab（a﹣b），＝（3-2）（3+2）（3-2＝[（3）2﹣22]×（﹣4），＝﹣1×（﹣4），＝4．【变式1】已知x=3+1（1）x2+2xy+y2；（2）1x【答案】（1）12；（2）﹣1．【解答】解：（1）∵x=∴x2+2xy+y2＝（x+y）2=(3（2）1=(=-＝﹣1．【变式2】已知a=23+3（1）a2b+ab2；（2）1a【答案】（1）-24（2）-2【解答】解：（1）由题意可得：a+b=(2∴a2（2）∵a=23+3∴b-1a=b=(=4=-2【变式3】先化简，再求值：(a+b)2-(a-【答案】2b，8．【解答】解：原式==a＝2b，当a＝3，b＝4时，原式＝2×4＝8．题型06二次根式的实际应用【典例1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=h5（不考虑风速的影响）．设从a（m）高空抛物到落地所需时间为t1，从2a（m）高空抛物到落地所需时间为t2A．2 B．5 C．22 D．【答案】A【解答】解：由题意得：t1∴t2故选：A．【变式1】有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加23cm（即DE=23cm），宽AB增加73cm（即BG（1）求长方形木板ABCD的面积；（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为62【答案】（1）18cm2（2）木工乙的想法可行，理由见解析．【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：192=8∴AD=83-∴矩形ABCD木板的面积为63（2）木工乙的想法可行，理由如下：从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为62∴裁出长为：12÷6由（1）得长方形ABCD的长为63cm宽为∵46=96，63=∴46＜6∴可以裁出所求的长方形木料．∴木工乙的想法可行．1．下列运算正确的是（）A．3+2=5 B．32-2=3【答案】C【解答】解：A.3与2不能合并，所以A选项不符合题意；B．32-2=22C.2×5=D.24÷6=24÷6故选：C．2．下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（）A．27a3b2和C．xy2和x【答案】A【解答】解：A、化简27a3b2=9×3×aB、52x和53x，被开方数分别为2xC、xy2=|y|x和D、a和1a2=故选：A．3．某同学做了以下四道习题，①16a4=4a2；②5a⋅A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解答】解：根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算逐项分析判断如下：①16a②5a③a1④3a故选：A．4．若12与最简二次根式2t-1A．6.5 B．3 C．2 D．4【答案】C【解答】解：12=23，而12与最简二次根式2所以2t﹣1＝3，解得t＝2，故选：C．5．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A．78cm2 B．(43+30C．1210cm2 D．2410【答案】D【解答】解：由条件可知两个小正方形的边长为48=43cm∴大正方形的边长为(43∴余下部分的面积为：（43+30）2﹣30﹣48＝2×43×30=故选：D．6．若x是整数，且x-1+A．1或3 B．0或1 C．2或2 D．0或2【答案】C【解答】解：由条件可知x﹣1≥0且3﹣x≥0，即1≤x≤3．又∵x是整数，∴x可取1，2，3．当x＝1时，1-1+当x＝2时，2-1+当x＝3时，3-1+∴x-1+3-x故选：C．7．已知a-1aA．22 B．±22 C．23 【答案】A【解答】解：由条件可知a≥0且a≠0，∴a＞0，∴a＞∴a+∴a+∴a+1a故选：A．8．若5-11的整数部分为x，小数部分为y，则(A．-13-311 B．13+311 C．10 【答案】D【解答】解：∵3＜∴1＜∴x＝1，y=5-∴(x故选：D．9．已知x+y＝﹣9，xy＝9，则xyA．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3【答案】B【解答】解：∵x+y＝﹣9，xy＝9，∴x＜0，y＜0，∴x2=-x∴原式=-=-xy=-2xy=-29＝﹣6，故选：B．10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=14[a2b2-(a2A．1 B．2 C．1.5 D．0.5【答案】A【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，5，则△ABC的面积为：∴S=14故选：A．11．若最简二次根式2x-7与3x-2是同类二次根式，则x【答案】5．【解答】解：∵最简二次根式2x-7∴2x﹣7＝x﹣2，∴x＝5．故答案为：5．12．已知实数m，n满足m-2+(n-18)【答案】-2【解答】解：根据绝对值和平方的非负性可得：m-解得m=2∴m-故答案为：-213．定义运算“*”的运算法则为a*b＝2a+b，则18*32＝102【答案】102【解答】解：由题意得，18*32=218故答案为：10214．设a=7+6，b=7-6，则a2025【答案】7-【解答】解：设a=7+∴ab＝（7+6）（7-6）＝7﹣∴a2025b2026＝（ab）2025•b＝12025×（7-＝1×（7-=7故答案为：7-15．若m=20252026-1，则m3﹣m2﹣2027m+2025＝【答案】4050．【解答】解：有理化分母化简得：m=∴m-∴（m﹣1）2＝2026，整理得m2＝2025+2m，∴原式＝m（2025+2m）﹣（2025+2m）﹣2027m+2025＝2m2+2025m﹣2025﹣2m﹣2027m+2025＝2m2﹣4m＝2（2025+2m）﹣4m＝4050，故答案为：4050．16．计算：（1）75-（2）(312【答案】（1）43（2）143【解答】解：（1）原式=5=53=53=43（2）原式=(6=28=1417．如图，小华家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为72m，宽BC为32m，小华准备在空地中划出一块长为(10+1)（1）求出长方形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）（2）求种植青菜部分的面积．【答案】（1）202（2）39m2．【解答】解：（1）2×(72（2）将大矩形面积减去阴影面积可得：72×＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）．答：种植青菜部分的面积是39m2．18．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到35，23，352323以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知x=1（1）求x+y，xy的值；（2）求x2+y2﹣xy的值．【答案】（1）x+y=23；（2）9．【解答】解：（1）先对x、y分别进行分母有理化，分母有理化可得：x=y=∴x+∴x×（2）原式＝（x+y）2﹣3xy=(2＝12﹣3＝9．19．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式t=h（1）求物体从80m的高空落到地面的时间；（2）小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由；（3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．某质量为0.2kg的小球经过3s落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量）【答案】（1）物体从80m的高空落到地面的时间为4s；（2）她的说法不正确，理由：当