人教版初中九年级数学下册《图形的相似》单元教案

人教版初中九年级数学下册《图形的相似》单元教案

一、课标解读与单元大概念锚定

（一）课标要求深度解析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形的相似”领域提出了明确要求：

1.知识技能层面：了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段；通过具体实例认识图形的相似，理解相似多边形和相似比的概念；掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”；了解相似三角形的判定定理与性质定理，并用于解决一些简单的实际问题。

2.数学思想层面：经历从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程，体会类比、转化、数形结合的思想方法。

3.核心素养指向：本单元是发展学生抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识的绝佳载体。相似作为图形变换的一种（位似变换），沟通了“形”与“数”（比例），是学生从全等（保距变换）走向更一般几何关系的关键节点，为后续三角函数、投影视图等知识奠基。

（二）单元大概念提炼

本单元可提炼出贯穿始终的大概念：“图形世界中的‘家族关系’——形状相同、大小可异的数学刻画与统一建模”。这一大概念将相似从单纯的几何知识，提升为一种认识世界的普适视角，可迁移至地图绘制、模型设计、图像处理等广泛领域。

（三）单元结构重组与整体设计

打破传统按小节平铺直叙的模式，本单元设计为“总-分-总”的三阶进阶结构：

1.第一阶段：宏观感知与概念建构（第1-2课时）

1.2.核心任务：从生活现象中抽象出“形状相同”的数学本质。

2.3.达成目标：建立相似图形、相似多边形的定义，理解相似比的核心地位。

4.第二阶段：核心定理的探究与应用（第3-7课时）

1.5.模块一：相似三角形的判定（3课时）。以“如何证明两个三角形‘同族’”为驱动问题，探究平行线分线段成比例基本事实及三大判定定理（AA、SAS、SSS）。

2.6.模块二：相似三角形的性质及应用（3课时）。探究“同族”三角形的边、角、对应线段（高、中线、角平分线）、周长、面积之间的关系，并解决测量、建模等实际问题。

7.第三阶段：整合迁移与创新实践（第8-10课时）

1.8.核心任务：综合运用相似知识，完成“校园标志性建筑的微缩模型设计与制作”项目。

2.9.达成目标：深化理解，发展应用能力与创新思维，感悟数学建模全过程。

二、学情分析与学习障碍预设

（一）前概念分析

1.已有基础：

1.2.知识层面：已系统学习全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质，熟练掌握比例的基本性质，具备基本的几何证明能力。

2.3.经验层面：在生活中对“放大”、“缩小”、“像与不像”有直观感受（如照片、地图）。

4.潜在迷思：

1.5.容易将“相似”与“全等”混淆，认为相似是全等的“弱化版”，而非更一般的概念。

2.6.对“对应”关系的理解可能停留在全等中的“完全重合”，难以迁移到“比例相等”。

3.7.认为“形状相同”是模糊的直观感受，难以接受用精确的“角相等、边成比例”来定义。

（二）认知关键点与突破策略

1.关键点一：从“全等”到“相似”的认知飞跃。

1.2.突破策略：设计对比性活动。提供一组全等图形和一组相似图形，让学生先寻找异同。引导提问：“全等要求‘一模一样’，如果只要求‘形状一样’，哪些条件可以放松？”从而自然引出“大小可以不同，但角与边的比例必须相同”。

3.关键点二：对“对应关系”的再建构。

1.4.突破策略：使用动态几何软件（如GeoGebra）。在屏幕上拖动一个三角形的一个顶点，使其变形，但保持与另一个三角形的角对应相等。让学生观察动态变化中，哪些量变了（边长），哪些量没变（角、边长之比），直观建立“对应”与“比例”的联系。

5.关键点三：判定定理的必要性与充分性理解。

1.6.突破策略：采用“猜想-验证-证明-反驳”的科学探究路径。例如，对于“两边成比例且夹角相等（SAS）”，先让学生用软件画图验证满足条件的两个三角形是否总是相似，再尝试构造反例（如改变角的位置），最后引导严格的几何证明，体会数学的严谨性。

三、单元教学目标（核心素养导向）

1.抽象能力：能从丰富的现实背景中，抽象出“形状相同”这一共同属性，并用数学语言（对应角相等、对应边成比例）精确定义相似多边形。

2.几何直观：能够通过观察、操作、想象，直观感知图形的相似关系；能利用方格纸、尺规或几何软件构造相似图形。

3.推理能力：能通过观察、测量、实验，归纳并证明相似三角形的基本判定定理和性质定理；能运用相似知识进行逻辑推理，解决几何证明与计算问题。

4.应用意识：认识到相似在现实世界中的广泛应用（如测量、制图、视觉设计）；能有意识地运用相似模型解决简单的实际问题，并能解释结果的合理性。

5.创新意识：在项目化学习中，能创造性地综合运用相似知识设计解决方案，并优化模型。

四、单元教学实施环节（核心内容详案）

第一课时：走进“相似家族”——相似图形与相似多边形

（一）课前任务（导学案）

1.观察收集：请在家中或网络上寻找三组你认为“形状完全相同，但大小可能不同”的实物或图片（如不同尺寸的国家地图、同款汽车模型与真车、你的不同尺寸证件照）。

2.思考记录：你是根据什么判断它们“形状相同”的？请尝试用尽可能精确的语言描述你的标准。

（二）课中实施

环节一：情境激疑，揭示课题（8分钟）

1.活动：播放短片，内容涵盖：埃及金字塔高度的古今测量方法、电影《流浪地球》中空间站与模型的对比、手机照片的放大与缩小功能。

2.教师提问：“这些截然不同的场景背后，隐藏着同一个数学原理，它是什么？”

3.学生基于课前任务讨论，引出“形状相同”——“相似”。

环节二：操作探究，初建概念（15分钟）

1.探究活动1（个体操作）：提供一组图形卡片（包括大小不同的正方形、等边三角形、圆形、五角星，以及形状不同的矩形、菱形）。

2.任务：请将它们分为两类：一类是“形状完全相同的家族”，一类是“不同家族”。

3.讨论聚焦：你们分类的依据是什么？引导出“直观上形状一样”。

4.探究活动2（小组协作）：给每个小组发两个形状相同、大小不同的多边形（如三角形）的透明胶片和测量工具。

5.任务：①重叠两个图形，能完全重合吗？②分别测量它们的各个内角和各边长度。③记录数据，寻找规律。

6.小组汇报：发现“角都相等”、“边好像按某个倍数放大/缩小了”。

7.教师引导数学化：角相等——对应角相等；边的倍数关系——计算每组对应边的比值，发现相等，引出对应边成比例。

环节三：精确定义，辨析理解（12分钟）

1.教师板书相似多边形的定义，并逐词解析“对应”。

2.辨析练习（使用希沃白板拖拽功能）：

1.3.给定两个四边形，一组对应角已标记相等，请学生上台标记出可能的其他对应角和对应边。

2.4.判断正误：①所有的圆都相似。（√）②所有的矩形都相似。（×）③所有的等边三角形都相似。（√）

3.5.给出两个边长已知的相似四边形，已知一个边长，求其相似比及另一图形的未知边长。

6.关键对话：

师：全等图形是相似图形吗？相似比是多少？

生：是，相似比为1。

师：所以，全等是相似的一种特殊情况。相似家族更庞大。

环节四：归纳小结，勾连生活（5分钟）

1.学生总结：今天我们用“对应角相等，对应边成比例”这两把尺子，精确地定义了“形状相同”。

2.教师展示：一张本市地图，指出比例尺1:10000就是一种“相似比”。我们下节课将探究，如何更方便地判定两个三角形这个“家族”的成员。

（三）课后分层作业

1.基础层：课本练习题，巩固定义与相似比计算。

2.拓展层：寻找生活中利用相似原理的一个实例（非地图、照片），并尝试分析其“相似比”。

3.挑战层：思考：要判断两个五边形相似，需要测量所有5个角和5组边吗？有没有更简化的方法？（为三角形相似的判定埋下伏笔）

第四课时：判定“家族成员”的捷径（一）——平行线分线段成比例与相似预备定理

（一）课前任务

1.复习平行线的性质。

2.在方格纸上画两条直线被三条平行线所截，用刻度尺测量被截得的各线段长度，计算比值，你有何猜想？

（二）课中实施

环节一：实验发现基本事实（15分钟）

1.分组实验：各小组利用几何画板（预装）或精确绘制的图纸，探究“一组平行线截两条直线”的情形。

2.实验任务：①拖动平行线改变间距；②拖动两条被截直线改变夹角。③记录每次改变后，所得对应线段的长度，并计算比值AB/BC

与DE/EF

。

3.小组汇报：无论怎么变化，比值AB/BC

与DE/EF

始终相等。平行线间的距离变化，影响的是比值的大小，但不影响相等关系。

4.教师升华：这就是几何世界中的一个基本事实——平行线分线段成比例。它是不需要证明的公理，是我们推理的起点。并用标准数学语言和图形进行表述。

环节二：从基本事实到预备定理（15分钟）

1.情境特化：如果两条被截直线相交于A点，会出现什么特殊图形？（三角形）

2.动态演示（GeoGebra）：展示直线DE平行于BC，截△ABC的两边AB、AC于D、E。显示数据：AD/AB

,AE/AC

,DE/BC

。

3.学生观察并猜想：AD/AB=AE/AC

，且DE/BC

也等于这个比值。即△ADE与△ABC的对应边成比例。

4.追问：它们的角有什么关系？由平行线性质，同位角相等，故对应角相等。

5.推理归纳：因此，我们得到了一个非常重要的定理——平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。此即“预备定理”（AA判定的雏形）。

6.几何证明引导：师生共同完成基于“平行线分线段成比例”基本事实的证明过程书写。

环节三：定理论证与初步应用（10分钟）

1.例题精讲：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=2，BC=10，求DE的长。

2.学生板演，强调书写规范：先由平行得相似（△ADE∽△ABC），再列比例式。

3.变式训练：若DE∥BC，且AD:AB=2:5

，△ADE

的周长为12，求△ABC

的周长。引出“相似三角形周长比等于相似比”。

环节四：课堂总结与思维导图构建（5分钟）

1.学生总结：今天，我们从实验发现的普遍规律（基本事实），通过特化得到了一个强有力的相似判定工具（预备定理）。

2.教师构建思维导图分支：相似三角形的判定方法——目前有：定义法（繁琐）、预备定理（需有平行线）。引发新思考：如果没有平行线，怎么判定相似？下节课我们将探索更神奇的“AA”准则。

第八课时：项目实践——校园旗杆高度测量方案设计

（一）项目背景与任务发布（课前一周）

1.驱动性问题：学校即将举行运动会，需要精确知道旗杆的高度以准备升旗仪式。你能设计一个不使用专业爬高测量工具，仅利用简易器材（如皮尺、标杆、镜子等）和相似三角形原理的测量方案吗？

2.成果要求：以小组为单位，提交一份包含①原理图、②数学模型、③测量步骤、④误差分析与注意事项、⑤实际测量数据与计算结果的报告，并进行课堂汇报。

（二）课中实施（项目汇报与优化课）

环节一：方案百花齐放（20分钟）

1.各小组依次上台，展示本组方案。

2.典型方案举例：

1.3.影子法：在同一时刻，分别测量旗杆影长和一根已知长度的标杆影长。利用“太阳光线平行”得相似。

2.4.镜面反射法：在地面放置镜子，调整观察位置，使能从镜中看到旗杆顶端。利用光的反射定律（入射角=反射角）构造相似三角形。

3.5.标杆截线法：在适当位置立一标杆，通过调整观察点，使标杆顶端与旗杆顶端在视线上重合，利用“预备定理”构造相似。

6.教师角色：促进者、提问者。针对每个方案，引导其他组提问：“你们如何保证光线是平行的？”“镜面法中对地面平整度要求高吗？”“标杆法中人眼观测的误差如何减小？”

环节二：深度研讨与数学建模（15分钟）

1.聚焦一个方案（如影子法），进行深度数学建模。

1.2.抽象：将实际问题抽象为几何图形。画出两个直角三角形。

2.3.假设：假设太阳光线平行（关键），地面水平。

3.4.建立模型：由∠A=∠A'

（直角），∠B=∠B'

（太阳高度角相等），得△ABC∽△A'B'C'

。故AB/A'B'=BC/B'C'

。

4.5.求解：旗杆高AB=(BC*A'B')/B'C'

。

6.讨论误差来源：①光线并非绝对平行（但误差极小）；②地面未必绝对水平；③测量影长时的读数误差。如何减少误差？多次测量取平均值、选择正午前后测量等。

环节三：方案优化与跨学科联结（10分钟）

1.头脑风暴：如何让方案更精确、更智能或更有创意？

1.2.有小组提出：可以使用手机APP测量倾斜角，结合三角函数，将相似与三角初步结合。

2.3.有小组提出：利用无人机悬停拍照，在照片上通过比例测量，涉及透视与相似。

4.教师升华：相似是数学模型，工具在变（从标杆到手机到无人机），模型核心不变。这正体现了数学作为基础科学的威力。

环节四：评价与总结（5分钟）

1.采用小组互评与教师评价相结合的方式，从“数学原理准确性、方案可行性、创新性、汇报表现”等维度打分。

2.教师总结：今天我们不仅解决了旗杆高度问题，更经历了一次完整的数学建模过程：从现实问题出发→抽象为数学模型→求解模型→回到现实解释与检验。这就是数学应用的真实模样。

五、单元学习评价设计

（一）过程性评价（占比40%）

1.课堂观察记录：关注学生在探究活动中的参与度、合作情况、提出问题的能力。

2.学习单与导学案：检查课前任务的完成质量、课中探究活动的记录与思考过程。

3.项目化学习表现：根据项目报告和汇报表现，评价其应用能力、创新思维和表达交流能力。

（二）阶段性纸笔测评（占比40%）

1.设计理念：避免单纯记忆与套用，侧重理解与应用。

2.样题示例：

题目：如图，某同学为了测量校园内一棵古树AB的高度，他在与树底B同一水平面的地面上放置一面小镜子O，然后缓慢后退，直到在镜中看到树顶A的像。此时测得同学眼睛E离地面高度ED=1.6m，他离镜子距离OE=2m，镜子离树底距离OB=10m。请你根据这些数据，建立数学模型，并计算古树AB的高度。请说明你模型所依据的数学原理，并分析至少一个可能产生误差的原因。

1.3.考察点：相似三角形的判定与性质在实际情境中的应用、数学建模能力、反思评价能力。

（三）表现性评价（占比20%）

1.任务：“我是校园设计师”——为学校新建的景观花园设计一个缩比模型（比例自定）。

2.要求：提交设计图纸（需标注实际尺寸与模型尺寸，并显示相似比），撰写设计说明，解释模型中如何运用了相似图形的知识（如相似多边形、相似