九年级数学寒假作业10 二次函数的图象与性质（15大题型）（巩固培优）（原卷版）

限时练习：60min完成时间：月日天气：作业10二次函数的图象与性质一、相交线知识点一、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数知识点二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．知识点三、二次函数的图象及性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小知识点四、二次函数的平移二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．知识点五、二次函数与一元二次方程的关系1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一二次函数的相关概念1．（25-26九年级上·湖南怀化·月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是(

)A． B．C． D．2．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）若是关于的二次函数，则的值是（

）A． B． C． D．或3．（2025九年级上·四川眉山·专题练习）若函数的图象是抛物线，则m的值为．4．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．题型二二次函数的图象5．（25-26九年级上·广东·月考）已知二次函数图象的对称轴为，点，和都在该函数的图象上，当时，，和的大小关系是（

）A． B． C． D．6．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）一次函数和二次函数（a，b，c是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．8．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知二次函数．(1)直接写出该二次函数图像的对称轴是_______；(2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图像：(3)根据图像回答下列问题：①当时，的取值范围为；②当时，的取值范围为；题型三二次函数的性质9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知二次函数中的x，y满足下表：根据表中信息，下列判断不正确的是（）x…012…y…400…A．图象开口向上B．当时，C．图像的对称轴是直线D．函数的最小值是10．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表：…0134…y…242…下列结论：①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有．（只填序号）11．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式，观察表格：…0123……14710……0430…(1)【数学观察】根据表中信息填空：___________；(2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象；(3)【独立思考】方程的解集为____________；(4)【巩固应用】若方程无解，则的取值范围是____________.12．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知二次函数．(1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)认真观察图象，回答下列问题：①当时，的取值范围是_______．②若时，随的增大而减小，则的取值范围是_______；③已知点，，都在此二次函数的图象上，则，，的大小关系是_______（用“”连接）．题型四二次函数的一般式、顶点式、交点式13．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（）A． B．C． D．14．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．15．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，则该二次函数的表达式为．16．（25-26九年级上·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；(2)直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．题型五二次函数的最值17．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知：、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的坐标为，则二次函数（

）A．有最大值，最大值为3 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为318．（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值可能是（）A． B．1 C．2 D．19．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是．20．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知y关于x的二次函数．(1)当时，①求二次函数的顶点坐标．②当时，该函数的最小值是3，求m的值．(2)当时，该二次函数最大值与最小值的和为8，求a的值．题型六二次函数的图象与各项系数符号21．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点，二次函数图象的对称轴为直线，给出四个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；其中正确结论有（

）A．1个 B．4个 C．3个 D．2个22．（25-26九年级上·山东·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．423．（25-26九年级下·全国·期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③的解集是；④(m为任意实数)．其中正确的是．（填序号）24．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有个．题型七一次函数、二次函数图象综合判断25．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（

）A． B．C． D．26．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是（

）A．或 B． C．0 D．或27．（25-26九年级上·重庆永川·期中）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是．28．（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，直线和抛物线相交于点和点．(1)求点和点的坐标(2)直接写出不等式的解集．题型八二次函数的对称性29．（25-26九年级上·山东德州·月考）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（）A． B．或C． D．或30．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）二次函数的部分对应值如下表：x…0135…y…707…二次函数图象的对称轴为对应的函数值．则的值为（

）A． B．C． D．31．（25-26九年级上·吉林长春·期末）抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：x…012…y…0…则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是．32．（25-26九年级上·北京·月考）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：012．．．．．．004．．．(1)在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象：(2)结合图象回答问题：①抛物线的对称轴为直线___________；②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________；③当时，的取值范围是___________．题型九二次函数图象的平移33．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线表达式是．34．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转，所得抛物线的解析式是．35．（25-26九年级上·河南周口·月考）已知二次函数．(1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴；(2)将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式．36．（25-26九年级上·浙江温州·期中）在直角坐标系中，已知抛物线(1)当时．①求抛物线的对称轴和顶点坐标；②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线经过点和，求m的值．(2)已知点，都在抛物线上，且，求n的取值范围．题型十图象法解一元二次不等式37．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（

）A．或 B．或 C． D．38．（25-26九年级上·广东广州·期中）抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量x的取值范围为．39．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是40．（25-26九年级上·江西上饶·月考）已知二次函数．(1)二次函数图象与轴的交点坐标是______，与轴的交点的坐标是______，顶点坐标是______；(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；(3)结合函数图象，当时，的取值范围是______．题型十一根据交点确定不等式的解集41．（25-26九年级上·山东德州·月考）抛物线与直线相交于如图所示的A，B两点，则不等式的解集为（

）A．或 B． C． D．42．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或43．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是．44．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数．(1)此函数图象的对称轴______和顶点坐标______；(2)画出此函数的图象；(3)当时，的取值范围是______；(4)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围．题型十二待定系数法求二次函数解析式45．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式．46．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数的图象经过点．(1)求a，b满足的数量关系；(2)若点在该函数图象上，无论m为何值，始终有．求a的值．47．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线与轴相交于，两点，与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式；(2)求以点B、C、D为顶点的三角形的面积．48．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数(a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示：x…m1…y…00…(1)则；(2)求该二次函数的表达式；(3)当时，则y的取值范围是．题型十三二次函数与坐标轴的交点问题49．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（

）A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点50．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）将二次函数化成一般式为，图像与轴交点坐标为，当时，函数的取值范围是，若，则自变量取值范围是．51．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求该二次函数的顶点坐标及的面积．52．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数的图像顶点为，且经过点．(1)二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为_______．(2)已知点，在该抛物线图像上，则m______n（填“<”，“>”，“=”）(3)求这个二次函数的表达式；题型十四根据二次函数图象确定相应方程根的情况53．（25-26九年级上·北京海淀·月考）二次函数的部分图象和对称轴如图所示．(1)求该二次函数的表达式；(2)当时，直接写出x的取值范围；(3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围．54．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程式的两个根．(2)写出不等式的解集．(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．55．（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…0123…y…034a0…(1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象；(2)请写顶点坐标：________，_______(3)当时，写出方程的解．56．（24-25九年级上·江苏南京·月考）对于抛物线．(1)它与轴交点的坐标为____，与轴交点的坐标为____，顶点坐标为____；(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；…………(3)利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是____．题型十五二次函数与方程、不等式综合57．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点．根据图象回答问题：(1)______；(2)当时，二次函数的取值范围为______；(3)若一次函数的图象经过点，当时，的取值范围为______．58．（25-26九年级上·北京·期中）已知一次函数和二次函数．部分自变量和对应的函数值如表：0101233003(1)函数的对称轴为：；(2)根据表中数据，在坐标系中画出两个函数的图象；(3)根据函数图象直接写出关于的不等式的解集是．59．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数（为常数，且）．(1)若函数图象过点，求的值；(2)若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标；(3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．60．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图像，回答下列问题：(1)观察探究：①方程的解为：；②若方程有四个实数根，则的取值范围是．(2)延伸思考：①在同一个直角坐标系中画出函数的图像；②观察图像，直线与两个函数图像最多有个公共点；③直接写出当时，自变量的取值范围．1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．阴影部分的面积为42．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（

）x…01…y…1533…A． B． C． D．5．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数，当时，该函数图象与轴有且只有一个交点，则的取值范围是．6．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．⑥，其中正确的有．7．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为．8．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段上，与x轴交于C，D两点，若线段的最小值为2，则最大值为．9．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，，，若，求点的坐标．10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．

(1)求该抛物线的解析式；(2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标．11．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧．(1)请直接写出抛物线C的对称轴，并写出a的值；(2)在平面直角坐标系中放置一透明