第17章勾股定理练习题+2020－2021学年陕西省部分地区人教版数学八年级下学期期末试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第17章：勾股定理练习题一、单选题1．（2021·陕西·西安市曲江第一中学八年级期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A． B． C． D．2．（2021·陕西凤翔·八年级期末）如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（

）A．＋1 B．－1 C． D．1－3．（2021·陕西·西安市第八十六中学八年级期末）已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（）A．20 B．40 C．80 D．1004．（2021·陕西凤翔·八年级期末）下列各组数是勾股数的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．，，5．（2021·陕西金台·八年级期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，便点与点重合，折痕为，则的面积为（

）．A．12 B．10 C．6 D．156．（2021·陕西渭滨·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝（

）A．2.1 B．1.4 C．3.2 D．2.47．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）有长为5cm，13cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（

）A．10cm B．12cm C．18cm D．20cm8．（2021·陕西·西安东仪中学八年级期末）如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（

）A． B． C． D．9．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（

）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：610．（2021·陕西王益·八年级期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（

）A． B． C． D．211．（2021·陕西西乡·八年级期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：12．（2021·陕西城固·八年级期末）在中，已知，AD是的角平分线，于点E．若的面积为S，则的面积为（

）A． B． C． D．13．（2021·陕西雁塔·八年级期末）下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，14．（2021·陕西·西安市浐灞第一中学八年级期末）已知的三边长分别为9，40，41，则的面积为（

）A．171 B．180 C．820 D．不能确定15．（2021·陕西澄城·八年级期末）在中，的对边分别是，下列条件中，不能说明是直角三角形的是（

）A． B．C． D．16．（2021·陕西扶风·八年级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（

）A．如果∠C－∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2－a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形二、填空题17．（2021·陕西金台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，为等边三角形，则点的坐标为______．18．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____．19．（2021·陕西长安·八年级期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为丈（丈尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是尺，根据题意，可列方程为__________．20．（2021·陕西·西安市浐灞第一中学八年级期末）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________．21．（2021·陕西·绥德县德群中学八年级期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．22．（2021·陕西渭滨·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠ADC＝90°，∠BCD＝60°，BC＝CD，P为四边形ABCD边上的任意一点，当AB＝4，∠APB＝30°时，BP的长是__________．23．（2021·陕西凤翔·八年级期末）已知：如图，ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，ABD是等边三角形，则CD的长度为______．24．（2021·陕西·西安博爱国际学校八年级期末）如图，在中，，为的角平分线，且于D，若，则的长为_________．25．（2021·陕西雁塔·八年级期末）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是___．26．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）等腰三角形一腰长为5，面积为10，则这个等腰三角形底边长为____．27．（2021·陕西韩城·八年级期末）已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是_________________．28．（2021·陕西·西安市曲江第一中学八年级期末）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为_________．29．（2021·陕西临潼·八年级期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠BAC的度数为___°．30．（2021·陕西榆阳·八年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB＝，AC＝2，BD＝4，则∠OAB+∠OBA的度数为___．三、解答题31．（2021·陕西·西安市第八十二中学八年级期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．32．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．求：△ABD的面积．33．（2021·陕西岚皋·八年级期末）如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9，（1）求DC的长；（2）求证：ΔABC是直角三角形．34．（2021·陕西王益·八年级期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另-停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且求修建的公路的长；若公路修通后，辆货车从处经过点到处的路程是多少?35．（2021·陕西秦都·八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10，求AC长．36．（2021·陕西莲湖·八年级期末）为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在中，，E是上的一点，，，．（1）判断的形状，并说明理由．（2）求线段的长．37．（2021·陕西凤翔·八年级期末）如图，在四边形中，，的面积为，，，，求的面积．38．（2021·陕西耀州·八年级期末）如图，铁路上、两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在距点多少千米处？39．（2021·陕西韩城·八年级期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．40．（2021·陕西长安·八年级期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）41．（2021·陕西·绥德县德群中学八年级期末）某中学、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．（1）求出四边形空地的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．42．（2021·陕西金台·八年级期末）如图，，，，，．求该图形的面积．43．（2021·陕西汉台·八年级期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：（1）如图1，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．（2）如图2，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，∠EAB＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，若AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45゜，求BD的长．（3）如图3，四边形ABCD中，连接AC，CD＝BC，∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，AB＝15，AC＝25，求AD的长．44．（2021·陕西·西安东仪中学八年级期末）如图，在中，，是延长线上一点，连接．（1）若，，，判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的度数．45．（2021·陕西·西安博爱国际学校八年级期末）如图所示，已知等腰的底边是腰上一点，且．（1）判断的形状，并说明理由；（2）求的周长．46．（2021·陕西·西安市浐灞第一中学八年级期末）如图在中，，点E，F分别在上，求证：．47．（2021·陕西·西安东仪中学八年级期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面(即AB=DB)，已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？48．（2021·陕西·西安市第八十六中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，求点的坐标．49．（2021·陕西·西安东仪中学八年级期末）如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点为米远的点处同时开始测量，点为终点．小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的空地斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了．你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由．50．（2021·陕西西乡·八年级期末）问题提出（1）如图1，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=5，若P是BC边上一动点，连接AP，则AP的最小值为______．问题探究（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AC=m，求边AB的长度（用含m的代数式表示）．问题解决（3）在图3中，若AC=8，点D是BC边的中点，若P是AB边上一动点，试求PD+的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝，∴，∴，∴BD＝，故选：D．【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．2．B【详解】试题分析：首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．解：∵AD长为2，AB长为1，∴AC=，∵A点表示−1，∴E点表示的数为：−1，故选B.3．A【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．【详解】解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，即斜边的平方为，800÷2=400，∴斜边长==20，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．4．C【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意；B、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意；C、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意；D、不是勾股数，因为，，不是正整数，此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．5．C【分析】设AE=x，由折叠BE=ED=9-x，再在Rt△ABE中使用勾股定理即可求出x，进而求出△ABE的面积．【详解】解：设AE=x，由折叠可知：BE=ED=9-x，在Rt△ABE中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：3²+x²=(9-x)²，解得x=4，故AE=4，此时，故选：C．【点睛】本题考查了折叠问题中的勾股定理，利用折叠后对应边相等，设要求的边为x，在一个直角三角形中，其余边用x的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解x．6．B【分析】设CD=x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理列式表示出AC2，然后解方程即可．【详解】解：设CD=x，则BC=5+x，在Rt△ACD中，AC2=AD2-CD2=25-x2，在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=64-（5+x）2，所以，25-x2=64-（5+x）2，解得x=1.4，即CD=1.4．故答案为：B．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC2，然后列出方程是解题的关键．7．B【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵52+132=，132-52=122，∴木条长度适合的是12cm，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．B【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．【详解】解：∵∠C=90°，DA=12，∴S△DAB==60，∴BC=10，在Rt△BCD中，CD²+BC²=BD²，即CD²+10²=12²，解得：CD=（负值舍去），故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．9．D【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；C、由a2＝c2−b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．10．D【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB2，AC2，BC2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状，从而利用三角形面积求解．【详解】解：由题意可得：∵∴△ABC是直角三角形又∵是的高∴，，解得：故选：D．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键．11．B【分析】A、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；B、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；D、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状.【详解】A、因为a：b：c=3：4：5，所以设a=3x，b=4x，c=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，故为直角三角形，故A选项不符合题意；B、因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形，故B选项符合题意；C、因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形，故C选项不符合题意；D、因为a：b：c=1：2：，所以设a=x，b=2x，c=x，则x2+（x）2=（2x）2，故为直角三角形，故D选项不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．12．B【分析】根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，再根据AAS得出，从而得出的面积=的面积和BE的长，继而得出的面积和的面积比，即可得出答案【详解】解：∵，设AC=5k，BC=12k，AB=13k，∴AC2+BC2=AB2∴为直角三角形，∠C=90°，∵AD是的角平分线，，∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED=90°，∵AD=AD，∴，∴，AE=AC=5k，∴BE=13k-5k=8k，∵和同高，∴，∵的面积为S，∴．故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，根据同高得出是解题的关键．13．D【分析】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】A.∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B.∵62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；C.∵72+242=625=252，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；D.∵82+122=208≠152，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．14．B【分析】根据三边长度可利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再求面积．【详解】解：∵△ABC的三边分别为9，40，41，且92+402=81+1600=1681=412，∴△ABC是直角三角形，两直角边是9，40，∴△ABC的面积为：，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．C【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种：①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可．【详解】解：A、由得a2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；B、由得∠C+∠B=∠A，此时∠A是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∠A：∠B：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；D、a：b：c=5：12：13，此时c2=b2+a2，符合勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．16．D【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】解：∵∠C-∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°，∴2∠C=180°，即∠C=90°∴ΔABC是直角三角形，故A正确，不符合题意；∵c2=b2-a2，∴ΔABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴∠C=180°×=90°，故C正确，不符合题意；∵a2+b2c2，∴ΔABC不是直角三角形，故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，是解题的关键．17．【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，再求出点D的横坐标，然后利用勾股定理列式求出AD的长度，再写出点A的坐标即可．【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，∵B、C两点的坐标分别为(-2，0)和(6，0)，∴BC=6-（-2）=8，∵△ABC为等边三角形∴AB=AC=BC=8，BD=CD=4，∴点D的横坐标为6-4=2，在Rt△ABD中，AD=，所以，点A的坐标为(2，)，故答案为：(2，)．【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．18．25【分析】由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：∴BD=15，AD=20，∴在Rt△ADB中，；②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：∴BD=25，AD=10，∴在Rt△ADB中，；∵，∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；故答案为25．【点睛】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．19．【详解】试题解析：设由题意可得：．故答案为．20．12【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．【详解】解：如图，∵，，，∴，∵在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS），∴AB=CD，BC=DE，∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，同理可证FG2+LK2=HL2=4，∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键．21．13【分析】如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．【详解】将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则，作A关于的对称点，连接，则此时线段即为蚂蚁走的最短路径，过B作于点，则，在中，由勾股定理得，故答案为：13．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．22．8或或4【分析】分三种情况考虑：（1）连接BD，由题意得到三角形BCD为等边三角形，根据等边三角形性质得到∠BDC=60°，进而求出∠ADB=30°，当点P与点D重合时，∠APB=30°，求出此时BP的长即可；（2）作∠APB=30°，利用两直线平行同旁内角互补求出∠ABC的度数，再利用等角对等边得到AB=BP，求出BP即可，（3）当点P在CD上时，同理可求BP=8．【详解】解：分三种情况考虑：（1）连接，如图所示：，，为等边三角形，，，，当点与点重合时，，在中，，；（2）作，如图所示：，，，在中，，，．（3）过作，连接，，可得四边形为矩形，，由（1）得为等边三角形，可得，平分，为中点，，，，此时，在中，，根据勾股定理得：，故答案为：8或或4．【点睛】此题考查了勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．23．【分析】由勾股定理求出AB，根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，证出AB⊥CD于E，且AE=BE=1，求出AE=CE=1，由勾股定理求出DE，即可得出结果．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=，∴AB=，∠CAB=∠CBA=45°，∵ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，∵AC=BC，AD=BD，∴AB⊥CD于E，且AE=BE=1，在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠EAC=45°，∴∠EAC=∠ACE=45°，∴AE=CE=1，在Rt△AED中，∠AED=90°，AD=2，AE=1，∴DE=，∴CD=．故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识．运用勾股定理求出DE是解决本题的关键．24．3【分析】根据勾股定理求AB的长，利用角平分线的性质，设CE=DE=x，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=＝＝10，∵AE为△ABC的角平分线，∠ACB=90°，ED⊥AB，∴CE=ED，又∵AE=AE∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC=AD=6，BD=AB-AD=4设CE=ED=x，则BE=8-x在Rt△BED中，DE2+BD2=BE2∴，解得：∴DE=3故答案为：3【点睛】此题考查勾股定理，掌握勾股定理及角平分线的性质正确列方程求解是解题关键．25．66【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1=42+52，S2=32+42，于是S3=S1+S2，即可得S3=16+25+9+16=66．故答案是：66．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键．26．或【分析】分等腰三角形腰上的高在三角形内部和外部两种情况，求出腰上的高，根据勾股定理求出底边长即可．【详解】解：如图，AB=AC=5，腰上的高为CD，因为等腰三角形面积为10，所以，，即，，，，；如图，AB=AC=5，腰上的高为CD，因为等腰三角形面积为10，所以，，即，，，，；故答案为：或【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题关键是会分类讨论，熟练运用勾股定理求线段长．27．【分析】根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解．【详解】解：∵，，∴，∴该三角形为直角三角形，∴其面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．28．【分析】连接BD，先利用勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，最后把四边形ABCD的面积当成两个三角形的面积和来求．【详解】解：连接BD，∵点E为AB的中点，于点E，，，∴EB＝AB＝3，∴，∵，即，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．29．90【分析】根据勾股定理可以得到AC、AB、BC的长，然后根据勾股定理的逆定理即可判断出△ABC的形状，从而可以得到∠BAC的度数．【详解】解：由图可得，AC=，AB=，BC=5，∵AC2+AB2=（）2+（2）2=52=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是会用股定理的逆定理判断三角形的形状．30．90°【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断出△AOB是一个直角三角形，从而可以得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝，AC＝2，BD＝4∴，在△AOB中，，∴∴△AOB是一个直角三角形，∠AOB=90°∴∠OAB+∠OBA=90°故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．31．（1）是，理由见解析；（2）2.5米．【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．【详解】（1）∵，即，∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，∵在Rt△ACH，∴，即，解得x＝2.5，∴原来的路线AC的长为2.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．32．42.【详解】试题分析：由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C=90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出结果．解：在△ADC中，AD=15，AC=12，DC=9，AC2+DC2=122+92=152=AD2，即AC2+DC2=AD2，∴△ADC是直角三角形，∠C=90°，在Rt△ABC中，BC===16，∴BD=BC﹣DC=16﹣9=7，∴△ABD的面积=×7×12=42．33．（1）12；（2）证明见详解．【分析】（1）直接根据勾股定理求出CD即可；（2）根据勾股定理的逆定理即可证明出△ABC是直角三角形．【详解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9，∴根据勾股定理，得CD==12；（2）证明：Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2，∴122+AD2=202，∴AD=16，∴AB=AD+BD=16+9=25，∴AC2+BC2=202+152=625=AB2∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的内容，求出AB是解题的关键．34．（1）修建的公路的长是12千米；（2）货车从处经过点到处的路程是28千米.【分析】（1）先判断△ABC是直角三角形，利用面积相等，即可求出CD的长度；（2）利用勾股定理求出BD的长度，然后即可求出路程.【详解】解：（1）根据题意，AC=15，BC=20，AB=25，∴，∴△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴，∴，∴（km）；（2）在Rt△BCD中，由勾股定理得：，∴货车从处经过点到处的路程是：（km）.【点睛】本题考查了勾股定理得逆定理，勾股定理，以及利用面积相等法求边长，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确求出各边的长度.35．13.【分析】根据勾股定理逆定理，证△ABD是直角三角形，得AD⊥BC，可证AD垂直平分BC，所以AB=AC.【详解】解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，∴BD=BC=5．∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，又∵CD=BD，∴AC=AB=13．【点睛】本题考核知识点：勾股定理、全等三角形、垂直平分线.解题关键点：熟记相关性质，证线段相等.36．（1）是直角三角形；理由见解析；（2）线段的长为16.9．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；（2）设，则，由勾股定理列得，代入数值得，计算即可．【详解】解：（1）是直角三角形．理由：∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形．（2）设，则，由（1）可知是直角三角形，∴，∴，解得，∴线段的长为16.9．【点睛】此题考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的运算及应用是解题的关键．37．6cm2【分析】根据CD=12，S△ACD=30，易求AC，并易计算BC2+AB2=25=AC2，证明△ABC是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算即可．【详解】解：，，，，又，是直角三角形，是直角，()．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积．解题的关键是根据面积求出AC，证明△ABC是直角三角形．38．10千米【分析】设，则，利用勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：设，则，∵、两村到站的距离相等，∴．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，，∴，∴，站应建在距点A10千米处．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．39．（1）ABC为直角三角形，理由见解析；（2）2【分析】（1）根据题意，可以分别求得BC、AC、AB的长，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状；（2）根据等积法，可以求得AB边上的高．【详解】解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，，BC＝，AB＝＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．40．9米【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长度，然后根据题意得出CD的长，然后进一步即可得出AD的长，最后用AB减去AD即可得出答案.【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，AC=8（米），BC=17（米），∴（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，且BC=17（米），∴（米），∴在Rt△ACD中，（米），∴（米），答：船向岸边移动了9米.【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握相关概念是解题关键.41．（1）四边形空地的面积为234平方米；（2）学校共需投入28080元．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，再利用即可得出答案；（2）利用120乘以四边形的面积即可得出结论．【详解】解：（1）连接．在中，∵，，，∴（米）．在中，∵，，，∴．∴是直角三角形，且．∴平方米．∴四边形空地的面积为234平方米．（2）（元）．答：学校共需投入28080元．【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．42．．【分析】连接AC，利用勾股定理求AC的长，然后结合勾股定理逆定理判断△ADC为直角三角形，从而结合三角形面积公式求解【详解】解：连接．∵在中，，，∴．在中，∵，∴为直角三角形．∴该图形的面积为．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．43．（1）CE=BD，见解析；（2）6；（3）20【分析】（1）证△EAC≌△BAD即可；（2）证△EAC≌△BAD，得BD=CE，易得∠EBC=90゜，从而在Rt△EBC中运用勾股定理即可求得结果；（3）连接BD，把△ACD绕点D顺时针旋转60゜得到△EBD，连接AE，则可得BE=AC，△ADE是等边三角形，从而易得AB⊥AE，在Rt△BAE中由勾股定理可求得AE，也即AD的长．【详解】（1）∵∠EAB=∠CAD∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD即∠EAC=∠BAD在△EAC和△BAD中∴△EAC≌△BAD(SAS)∴CE=BD（2）∵∠EAB=∠CAD=90゜∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD即∠EAC=∠BAD∵△EAB、△CAD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠CAD=90゜∴AE=AB=4，∠EBA=45゜，AC=AD∴由勾股定理得：在△EAC和△BAD中∴△EAC≌△BAD(SAS)∴CE=BD∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=45゜+45゜=90゜∴在Rt△EBC中，由勾股定理得：∴BD=6（3）如图，连接BD∵CD=BC，∠BCD=60゜∴△BCD是等边三角形把△ACD绕点D顺时针旋转60゜得到△EBD，点E与点A对应，连接AE则BE=AC=25，△ADE是等边三角形∴∠DAE=60゜，AD=AE∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30゜+60゜=90゜即AB⊥AE在Rt△BAE中，由勾股定理得：∴AD=20【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转变换，第三问作旋转变换是关键，也是难点．本质上来说，前两问也可看成把△EAC绕A点逆时针旋转的角度一定角度而得到△BAD．44．（1）AB⊥BD，理由见解析；（2）62°【分析】（1）根据等边对等角得到AB=8，再利用勾股定理的逆定理证明AB⊥BD即可；（2）根据三角形内角和求出∠C，再根据等边对等角得到∠ABC，最后利用外角的性质得到结果．【详解】解：（1）∵AB=AC=8，AD=17，BD=15，满足，即，∴∠ABD=90°，即AB⊥BD；（2）∵∠D=28°，∠DBC=121°，∴∠C=180°-∠D-∠DBC=31°，∵AB=AC，∴∠C=∠A