福州市2025届高三下学期第三次月考试卷数学试题试卷

福州市2025届高三下学期第三次月考试卷数学试题试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/（x）=-lnx+x+m在区间ke上任取三个实数b,c均存在以〃。），以外,/（c）为边长的

三角形，则实数〃的取值范围是（）

A.B.（，-l,e-3C.D.（e-3,+oo）

2.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.

问几何Id而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草

每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）

（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：他3X0.4771,但2ko.3010）

A.2B.3C.4D.5

3.抛物线u/=2p.\的焦点〃是双曲线上=/（0.、〃./）的右焦点，点p是曲线的交点，点（遂抛物线的准

线上，夕尸0是以点产为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线门的离心率为（）

A・&+1B.2g+3C-2410-3D-2410+3

，v2

4.已知双曲线C：4一%=1（4〉0/>0）的实轴长为2,离心率为2,耳、外分别为双曲线。的左、右焦点，点尸

在双曲线C上运动，若△ZP鸟为锐角三角形，则归用+归用的取值范围是（）

A.（2〃8）B.（2百,7）C.（2技8）D.（277,7）

5.若复数z满足2z—5=3+123其中i为虚数单位，区是二的共机复数，则复数忖二（）

A.36B.26C.4D.5

6.一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在［20,60）上的频率为0.8,则估计

样本在［40,50）、［50,60）内的数据个数共有（）

分组110.20)[20,30)[30.40)

r

频数345

A.14B.15C.16D.17

x3〃InJC

7.已知函数/（x）=——3+-~在区间（1,+8）上恰有四个不同的零点，则实数。的取值范围是（）

\nxx

A.（e,3）J（3,~KO）B.[0,e）C.（^2,+oc）D.（YO,G）U{3}

8.已知函数/*）的图象如图所示，则/*）可以为（）

9.过点P（2卡,2后）的直线/与曲线），=而二7交于AB两点,若2E4=5A8,则直线/的斜率为（）

A.2一后B.2+>/3

C.2+方或2—百D.2—石或G—1

10.盒子中有编号为L2,3,4,5,6,7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中

位数恰好为5的概率是（）

28

B.D.,

35357

11.如图，四面体A3C。中，面的和面8c。都是等腰直角三角形，AB=五,4BAD=4CBD=g且二面

角4一的大小为了，若四面体ABC。的顶点都在球。上，则球。的表面积为（）

22兀287r71c2产

B.---D.—

—3~23

12.已知双曲线。：5■-强■=1（4＞。/＞（））的一个焦点为产，点A,6是c'的一条渐近线上关于原点点称的两点，以A6

为直径的圆过歹且交。的左支于M,N两点，若|MN|=2,AABb的面积为8,则。的渐近线方程为（）

A.y=±V3xB.y=±x

C.y=±2xD.y=±^x

二、填空题，木题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若零函数/（X）=V的图象经过点则其单调递减区间为.

22

14.如国，已知圆内接四边形A3CD,其中AB=6,BC=3,CO=4,AO=5,则——+——=_________

sinAsinB

1R22

15.己知实数。为2—，且/一。二8一/由〃=生+土的最大值是_________

2ab

16.设尸（x,y）为椭圆工+上二1在第一象限上的点，则白+#二的最小值为_______.

16124-x6-y

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）椭圆W：£+马=1＞0）的左、右焦点分别是毋，K,离心率为且，左、右顶点分别为A,

a-lr2

反过F,且垂直于入轴的直线被椭圆W截得的线段长为1.

（1）求椭圆W的标准方程；

（2）经过点2（1,0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D（不与点A、5重合），直线C8与直线x=4相交于

点M,求证：A、D、M三点共线.

18.（12分）如图，在三棱柱A8C-A由iG中，4A_L平面45C,NAC方=90“，AC=C“=GC=1,M,N分别是A8,

4C的中点.

(1)当”。时,求函数/(x)的单调区间：

(2)设方为实数，若不等式22/+笈对任意的。之］及任意的工>。恒成立，求/,的取值范围;

(3)若函数〃(x)=〃x)+g(x)(X>0,XGR)有两个相异的零点，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】

利用导数求得了(x)在区间-,e上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得〃的取值

e

范围.

【题目详解】

/(X)的定义域为(0,+纥)，/(x)=--+l=—,

X-X

所以/。)在化1］上递减，在(㈤上递增，/(力在X=1处取得极小值也即是最小值，/(l)=-lnl+l+/2=l+/2,

Ie/

<iAIIi(

f-=-ln-+-+/?=-+l+/z,f［e)=-\ne-\-e-\-h=e-\+h,f-</(e),

所以/")在区间上的最大值为"e)=e-l+九

要使在区间上任取三个实数〃，b,c均存在以/(〃)，/0),/(c)为边长的三角形，

则需/(〃)+/(〃)>/(c)恒成立，且/(1)>0，

也即也即当a=b=l、>=e时，2〃l)>〃e)成立，

即2(l+/?)>e-l+/?,且/(1)>0,解得〃>e-3.所以〃的取值范甩是,一3,48).

故选：D

【题目点拨】

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.

2、C

【解题分析】

2n-1

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：2x△―解出即可得出.

1-12-1

2

【题目详解】

由题意可得莞草与蒲草第〃天的长度分别为q=3x(^〕h=\xT~x

〃cft

、乙)

据题意得:解得2〃=12,

1.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

3、A

【解题分析】

先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心

率.

【题目详解】

由题意知，抛物线焦点”(/#),准线与X轴交点///.人。尸双曲线半焦距c=/，设点/依0是以点〃为直角顶点

的等腰直角三角形，即如山=历。|，结合产点在抛物线上，

所以P0l抛物线的准线，从而所」.\轴，所以0(/,2)，

-2a=\p^-\PF\=272-2

即0=S./.

故双曲线的离心率为，一，一、5+7

故选A

【题目点拨】

本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.

4、A

【解题分析】

由己知先确定出双曲线方程为f一二二1,再分别找到△GP&为直角三角形的两种情况，最后再结合

3

|户用一归国=2即可解决.

【题目详解】

由已知可得勿=2,?=2,所以a=i,c=2,b=Jc2—a2=拒,从而双曲线方程为

/_?=],不妨设点尸在双曲线。右支上运动，则归制-归周=2,当俨用J_|P周时，

此时附尸图2=[6=也岑曰尸闾）2+2归周|尸国,所以归同仍闻=6,

（|尸制+仔闾）2=附『+归段2+2阀||尸国=28,所以|P制+|尸闾=2万；

当归周_L五轴时，|PG「=|尸段2+16,所以归用+归国二4=8,又△月夕巴为锐角三

角形，所以|尸国+归周£（2万,8）.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到△"P6为锐角三角形的临界情况，即△£P5为直角三角形,

是一道中档题.

5、D

【解题分析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.

【题目详解】

解：复数z=a+bi,a、b£R；

V2z-z=3+12z,

A2Ca+bi')-Ca-bi)=3+12/,

即《2a-a=3，

［2b+b=\2

解得a=3,b=4t

，z=3+4i,

；•|z|=J乎+4?=5,

故选。.

【题目点拨】

本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题.

6、B

【解题分析】

计算出样本在［20,60)的数据个数，再减去样本在［20,40)的数据个数即可得出结果.

【题目详解】

由题意可知，样本在［20,60)的数据个数为30x0.8=24,

样本在［20,40)的数据个数为4+5=9,

因此,样本在［40,50)、［50,60)内的数据个数为24-9=15.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

7、A

【解题分析】

r3/7In3〃In

函数/")=——-3+--------x---。的零点就是方程一一x一3+-~^x一。=0的解，设g(x)=—匚x，方程可化为

Inxx\nxxInx

(g(x)-3)(g*)-o)=。，即g*)=3或g(x)=%求出g(x)的导数g'(x),利用导数得出函数的单调性和最值，由

此可根据方程解的个数得出。的范围.

【题目详解】

由题意得三-3+①2-。=0有四个大于1的不等实根，记晨幻=丁匚，则上述方程转化为

InxxInx

(3)

(g(x)—3)+a--1=0,

Uw)

即(g(x)—3)(g(x)—。)=。，所以g(x)=3或g(x)=。.

因为g(x)=],当x£(l,e)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x£(e,+o。)时，g[x)>0,g(x)单调递增;

(inX)

所以g")在x=e处取得最小值，最小值为g(e)=e.因为3>e,所以g(x)=3有两个符合条件的实数解，故

X3〃Inv

fM=-—―3+——在区间(L+8)上恰有四个不相等的零点，需a>e且。。3.

Inxx

故选：A.

【题目点拨】

本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本

题考查了学生分析问题解决问题的能力.

8、A

【解题分析】

根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在(0,+。)上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出.

【题目详解】

首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，/(的=1_为偶函数，不符合题意，排除B；

X

其次，在剩下的3个选项，对其在(0,+8)上的零点个数进行判断./(x)='在(0,+8)上无零点,不符合题意，排除

X

2

D；然后，对剩下的2个选项，进行单调性判断，/(幻=--1在(0,y)上单调递减，不符合题意，排除C.

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题.

9、A

【解题分析】

利用切割线定理求得|/科,|明，利用勾股定理求得圆心到弦A3的距离，从而求得/40。=30。，结合NPQx=45，

求得直线/的倾斜角为15，进而求得/的斜率.

【题目详解】

曲线)，=Jl3-/为圆/+,2=]3的上半部分,圆心为(0,0),半径为内.

设尸Q与曲线y=，13—f相切于点Q,

则忙0『二|以卜归却二|啊.(|削+,那=(归川2=怛。『—|00|2二35

所以|列=5,|明=2,

_28_2百_1

。到弦人8的距离为JI5=1=26，sin/AP。

|0P|-2x/6x>/2~2所以NAPO=30。，由于NPQx=45，

tan45tan3

所以直线/的倾斜角为45-30=15，斜率为tanl5=tan（45-30）=~0=2-73.

'71+tan45xtan30

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

10、B

【解题分析】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有CG，所有的情况有C种，由古典概型的概率公式即得解.

【题目详解】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有CG，所有的情况有C种

由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：

尸一生1J

C；35

故选：B

【题目点拨】

本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

11、B

【解题分析】

分别取B。、CD的中点M、N,连接AM、MN、AN,利用二面角的定义转化二面角A—8。一。的平面角为

27r

ZAMN=—然后分别过点M作平面低）的垂线与过点N作平面8CO的垂线交于点。，在即AOMN中计算出

3t

OMf再利用勾股定理计算出。4,即可得出球。的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案.

【题目详解】

如下图所示,

分别取6力、CO的中点M、N,连接AM、MN、AN,

由于AABD是以N班。为直角等腰直角三角形，M为BD的中点，..AM上BD,

ZCBD=-且M、N分别为30、CO的中点，所以，MNHBC,所以，MN工BD,所以二面角

2t

的平面角为=

vAB=AD=\f2则BD=JAB?+AD?=?,且8C=2，所以，AM=^-BD=lfMN=^BC=1,

JJ

•・・△钻。是以血D为直角的等腰直角三角形，所以，AAB。的外心为点同理可知，MC力的外心为点N,

分别过点M作平面观的垂线与过点N作平面BCO的垂线交于点0,则点。在平面AMN内，如下图所示，

由图形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO=—--=-

326f

在3中'器—咚"詈竽,

2

所以，0A=SM2+AM?=叵

3

所以，球。的半径为R=YH,因此，球。的表面积为4乃/?2=4乃x［叵］=—.

3I3J3

故选：B.

【题目点拨】

本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等

题.

12、B

【解题分析】

由双曲线的对称性可得即机・=8,又|MN|=(>=2,从而可得C的渐近线方程.

【题目详解】

设双曲线的另一个焦点为尸、由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以5g吩=5必”,，即8c=8,由

997

厂+)广=U

,犬y_，得：y=±—f所以|MN|=^=2,所以从=C,所以。=2,c=4,所以〃=26，C的渐近

~2~~7TCC

［a-h-=1

线方程为y=±立x.

3

故选B

【题目点拨】

本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(0,-oo)

【解题分析】

利用待定系数法求出骞函数的解析式，再求出fW的单调递减区间.

【题目详解】

解:幕函数/。）二尸的图象经过点（&T）,

则（扬W，

解得〃=一2；

所以/。）=B2,其中X£（fO,0）U（0,+OD）；

所以f（X）的单调递减区间为（0,+8）.

故答案为：（0,+8）.

【题目点拨】

本题考查了第函数的图象与性质的应用问题，属于基础题.

14、处

3

【解题分析】

由题意可知A+C=〃，3+£>=〃，在AA加和ABCO中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cos8,求sinAsin4,代入求值.

【题目详解】

由圆内接四边形的性质可得/。=180。一/4/。=180。一/人连接50,在AABD中,

有8£>2=AB2+AO2—2ABAOCOSA.在MCQ中，BD2=BC2+CD1-2BCCDcosC.

所以A*+AD2-2ABADcosA=BC2+CD2+2^CCDcosA,

22222222

AB+AD-BC-CD_6+5-3-4_32

则cosA=所以sinA=>/l-cosA=

2(ABAD+BCCD)2(6x5+3x4)-7

AB2+BC2-AD2-CD262+32-52-42_1

连接AC,同理可得cosB二

2(ABBC+ADCD)2(6x3+5x4)一历

76x/1022142x194而

所以sinB=A/1-COS2

B=19.加"sinAsinB2而6加3

故答案为：勺叵

3

【题目点拨】

本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是

熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.

15、

【解题分析】

将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值

【题目详解】

又实数〃力之1,图形为!圆,

由a2—4=。—A?化简得a——+HT

2I2)224

a2-a=b-b2,可得。？=a+b-b?,b1=a+b-a2

则M=匕a2a+b—a2u+b—b2.b,a.ba,八

—=----------1----------=1H-----67+1H----b=---------。一。+2

ababahab

由几何意义得：G[V2-L1+,则££[0-1,1+夜],为求最大值则当过点4或点〃时。+〃取最小值，可得

M=V2-l+l+V2-l-l-^+2=^+l

所以的最大值是述+1

ab2

【题目点拨】

本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然

后求出最值问题，本题有一定难度。

16、4

【解题分析】

利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性

质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值.

【题目详解】

解：设点P(4cosa,26sina),其中0＜。＜巳，

2

x3y/X3y、x-4+43()，-6)+18、

----+——=-(+——)=-(z+—)

4-x6-yx-4y-6J-4------y-6

,418、，418

=-4-(--+-----)=-4+-----+-----,

x-4y-64-x6-y

由x=4cosa,y=2\/3sincr,0<a<一,

4184।18

可设"二r

6-y4-4cosa6-2\/3sina

1।3百

1-cosa>/3-sina

sina3\/3cosa

导数为z'=_

(1-cosa)2(V3-sina)2

由Z'=0,可得35/58§0一668§22+3\/5803&-30吊仪一§加'a+25/^^1：：2

=(>/5cosa-sina)(3-6cosa-2Gsina+3coea+sin:a+2>/3sinacosa)=0,

可得Gcosa-sina=0或3-6cos。一2\/5sina+3cos*a+sin2a+2&sinocosQ=0,

由3-45/3sin(a+—)+2+cos2a+Gsin2a=5-4\/5sin(a+—)+2sin(2a+—)

336

=3-4\/3sin(a+—)+4sin2(a+—)=(2sin(a+—)-x/3)2>0,(0<a<—),

3332

71

可得Gcosa-sina=0,即tana=6，可得a=—

3

由()<a<2可得函数二递减；由可得函数z递增,

332

1+』=8

可得a=g时，函数z取得最小值，且为丁了

3I—

◊2

则三x十凸3的y最小值为八

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力,

属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)—+/=1；(2)见解析

4'

【解题分析】

2b2

(1)根据已知可得兰-=1,结合离心率和关系，即可求出椭圆W的标准方程;

a

（2）CD斜率不为零，设CO的方程为工=机），+1,与椭圆方程联立，消去x,得到纵坐标关系，求出8c方

程，令x=4求出M坐标，要证A、。、M三点共线，只需证心0-口”=0,将上短AW分子用C。纵坐标表示,

即可证明结论.

【题目详解】

（1）由于一步，将x=-c代入椭圆方程1+与=3

a2b1

得,，=±艺，由题意知更=1,即Q=2〃.

aa

又e，=B,所以a=2,b=\.

a2

所以椭［IW的方程为工+V=i.

4.

（2）解法一:

依题意直线CO斜率不为0,设。。的方程为1=机＞+1,

x=my+1

联立方程f,消去x得（加2+4）），2+2/町，-3=0,

—+y=1

由题意，得』＞0恒成立，设C（X］，X）,D（x21y2）t

s、r2m3

所以y+%=一一一一^-7

”+4〃广+4

直线C3的方程为y=」^（x—2）.令x—4,得M（4.2、）.

玉_2*—2

又因为4一2,0）,。（々,见），

则直线AM的斜率分别为配=*,勤=缶'

%X3y2(占-2)-)心2+2)

所以k&D-k*A4

x2+23(Xj-2)3区一2)(X2+2)

上式中的分子3y2(X-2)-y(x2+2)=3y2(my-1)-y(眸+3)

。2/I、-6m+6相

=2〃%%-30+%)=^7r=。

・•・砥”一褊=0・所以4，D,M三点共线.

解法二:

当直线CO的斜率Z不存在时，由题意，得。。的方程为x=l,

代入椭圆W的方程，得。。二。（1,-

直线CB的方程为），=一书（x一2）.

则M(4,—g),4M=(6,—G),AD=(3-

所以4M=24。，即4，D,M三点共线.

当直线CO的斜率攵存在时,

设CD的方程为-1)6wO),C(MJ),D(x2,y2),

y=A(x-l),

联立方程Jr2,消去)L得(4产+1»2一8犬4+4代一4=0.

丁+y=L

4

8k24入4

由题意，得/>0恒成立，故玉十七=

诉？中2=7FTT

y

直线C8的方程为丁二（工一2）.令工=4,得

X]-2王一2

又因为4—2,（））,。（马，y2），

则直线AM的斜率分别为鼬=*，端=登，

所以心“一Kw二—)1二3%(%—2)一y(9+2)

3(%-2)-3(内-2)(%+2)

x2+2

上式中的分子3y2(X—2)-%(9+2)=3A(七—1)(王一2)—^-1)(^+2)

4炉一48&2

=2米声一5攵($+乂)+8攵=2kx-----5kx---+以=0

'-4/+14&2十1

所以原厂断=0・

所以A,D,例三点共线.

【题目点拨】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查

计算求解能力，属于中档题.

18、(1)证明见解析.(2)B

3

【解题分析】

(1)连接ACLBG,结合中位线定理可证〃“&，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证

BG_LBiC,即可求证直线MN平面4c8i；

(2)作交于点尸，通过等体积法，设G到平面3cM的电离为儿则有用Mc/=gs瓦结合

几何关.系即可求解

【题目详解】

(1)证明：连接AG,BClf则NGAG且N为4G的中点；

•・・M是4b的中点.

所以：MN〃BCi；

•・・Ai4_L平面48C,ACcYffiABCt

/.AiA±4C,

在三棱柱ABC・4iBiG中，AAi//CCt

AAClCCi,

VZACB=90°,BCnCCi=C,BCcYEBBiCiCfCGu平面BbCC,

，ACJ_平面BBCC,bCu平面BBiCiCt

：.AC±BCM又MN〃BCI

*：CB=CiC=\t

，四边形BBiGC正方形，

而ACn*C=C,且ACu平面AC31,5u平面ACSi,

・・・MN_L平面ACBi,

(2)作似〃_L4C交于点P,设G到平面BCM的距离为〃，

因为5用9=3，

所以匕/_用℃1=S.%ccjMP=—,

JJL4

因为CM=*，BiC=>/2；

RiM二逆~,所以

因为%-4MC=Vw-^qc，所以3SAMC，3S4GC,解得

r~

所以点C1,到平面81MC的距离为芋

【题目点拨】

本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距

离常用体积转化来求，属于中档题

22

rv

19、(1)—+2_=1()，工0)；(2)证明见解析.

43

【解题分析】

yV

(1)设点C(x,y),分别用一表示sin4、力表示sinB和余弦定理表示cosC,将sinAsin3+3cosC=0表

|AC|\BC\

示为x、)'的方程，再化简即可；

⑵设直线方程代入。的轨迹方程，得(3加+4卜，2+6冲一9二0,设点尸(N，y),R(W，%)，S(%,-y),表示

出直线RS,取y=0,得x=4,即可证明直线RS过x轴上的定点.

【题目详解】

(1)设C(x,y),由已知sinAsin5+3cosC=0,

.一13二|—收|2一|叫2「0

**\AC\-\BC\~2\AC\-\BC\

22

.Y2+3X(X+2)+/+(X-2)+/-16=Q("0),

22

化简得点C的轨迹。的方程为，工+上=1()，工0)；

43

(2)由(1)知，过点/(1,0)的直线/的斜率为0时与。无交点，不合题意

故可设直线/的方程为：x=my+\(〃?工0),代入。的方程得：

(3加2+4)J+6my-9=0.

设尸(大，凹)，R(W，M)，则s(%,-)i),

6?n9

+，(，>?.y~~;­

3机+43m~2+4

，直线知：t+y=二+>(xf).

令y=o,得工=Y(、―一)I%—M+芯」—X(〃少2+1)+(阳y+1)%

，,%+x1为+y%+x

2tn(9]

2〃%乃+®+%)_2mxy2一:”〔?加+腐…

----------------------------------T1----------7---------1।——•

乃+，>2+>i6fn

3m2+4

直线RS过x轴上的定点(4,0).

【题目点拨】

本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的“算能力,

属于中档题.

20、(1)(i)证明见解析(ii)姮(2)存在，2=-

113

【解题分析】

(1)(i)连接AC交8G于点。，连接。例，CG,依题意易证四边形A8CG为平行四边形，从而有AO=OC,

MO\PC,由此能证明尸C〃平面BMG

(ii)推导出5GJ_GD,以G为原点建立空间直角坐标系O-Qz,利用向量法求解；

(2)设AM=/lAP=〃0,2,2)=(0,2Z2；l),2£(0』)，求出平面BMG的法向量，利用向量法求解.

【题目详解】

(D(i)证明：连接AC交8G于点。，连接OM,CG,

因为G为线段AO的中点，/皿=4

所以4G=，AD=2,

2

因为DC=BC=2,所以AG=BC

因为4O〃BC

所以四边形4BCG为平行四边形.

所以AO=OC

又因为R0=M4,

所以历。PC

又因为MOu平面8WG,PC6平面BMG,

所以PCP平面8WG.

(ii)解：如图，在平行四边形4cOG中

因为BG.CD,CD1GD,

所以BGLGD

以G为原点建立空间直角坐标系O-xyz

则G(0,0,0),P(0,0,2),2)(020),

A(0,—2,0),3(2,0,0),0(220),

所以PB=(2,0,-2),GB=(2,0,0),GM=(0,-1,1),BD=(-2.2,0),=(-2,-1,1)

平面PAD的法向量为n=(1,0,0)

设平面4的法向量为m=(x,乂Z),

」机80=0f-2x+2z=0

则｛——，即〈C,»取X=l,得"2=(1,1,3),

m•BM=0[-2x-y+z=0

|〃八〃|二1拒

设平面尸AO和平面力所成的锐二面角为e,则cos6二

|/n|-|n|VFT11

所以锐二面角的余弦值为巫

II

(2)设AM=2AP="0,2,2)=(0,24,2%),(0,1)

所以M(0,2几一2,22),BM=(-2,22-2,22),BG=(-2,0,0),

设平面BMG的法向量为p=(a,b,c),则

p-BG=-2a=0

,取。=/l,得〃=(0,41一；I),

p,BM=(2A.—2)b+22c=0

因为直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为巫,

5

所以也0=一善一团一厢

网•同通^储+(1-4)25

解得

所以存在4满足AM=XAP，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为叵.

35

【题目点拨】

此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考

杳空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考杳了推理能力与计算能力，属于中档题.

21、(1)%G(-OO,-3]J[7,-KO)(2)-4<tz<0

【解题分析】

(1)按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；(2)将问题转

化为/(力=|戈+。|+打-1区卜一5|在工£[0,2]时恒成立，按和x«l,2]分类讨论，分别得到不等式恒成立

时对应的。的范围，再取交集，得到答案.

【题目详解】

解：(1)当〃=2时，/(x)=|x+2|+k-l|〉x+8等价于

x>\-2<x<\x<—2

或《或*

2x+l>x+83>x+8—2.x—12x+8

解得工27或或-3,

所以不等式的解集为：X«TQ,-3]U[7,+8).

(2)依题意即/("二卜+4+,一1归忖一5|在xw[o,2]时恒成立,

当工£恨1］时，|X+4+1-X<57,gp|x+6t|<4,

所以一1一々工亲工4一。对工£[0,1]恒成立

-4-6/<0

得—4<6?<3；

1<4-a

当RE(1,2］时，|x+4+x-l<5-