福建泉州市2024届高考压轴卷数学试卷含解析

福建泉州市2024届高考压轴卷数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()

2.已知全集。=乙4={1,2,3,4},B={X|(X+1)(X-3)>(U£Z},则集合Ac(Q4)的子集个数为()

A.2B.4C.8D.16

3.如图所示点尸是抛物线8x的焦点，点A、4分别在抛物线N=8x及圆/+),2-4工-12=0的实线部分上

运动，且总是平行于x轴，则的周长的取值范围是()

A.(6,10)B.(8,12)C.[6,8]D.[8,12]

4.已知数列{q}为等差数列，S”为其前〃项和，4+%=4+6。，贝()

A.7B.14C.28D.84

(1V

5.-=+mx2的展开式中{的系数是・10,则实数〃，=()

7

A.2B.1C.-1D.-2

6.过抛物线/=4犬的焦点b的直线交该抛物线于A,8两点，。为坐标原点.若=3,则直线AB的斜率为()

A.±72B.-V2C.2近D・±272

7.已知A类产品共两件A，4，8类产品共三件用,生,修，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机

检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出〃

类产品，第二次检测出A类产品的概率为（）

8.等差数列｛%｝中，已知3%=7q0,且q<0,则数列｛2｝的前〃项和S“（〃wN*）中最小的是（）

A.&或S&B.兀C.工D.S、,

9.设i为虚数单位，z为复数，若目+i为实数〃?，则〃?=（

)

z

A.-1B.0C.ID.2

io.复数z=」一（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（)

2-/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”,

亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）,类比”赵

爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角

形.设。尸=24/=2,若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）

3x/f3

26

12.已知直线/：），=2x+10过双曲线,一点的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方

程为（）

22)，22

A.三-±=1广)'1r尸-1n厂)厂1

205169916

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知双曲线C:二-二的左、右焦点和点外2〃/）为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离

a~b~

心率为1

14.在数列｛〃“｝中，4=1,q产0,曲线y=f在点防处的切线经过点但用⑼，下列四个结论：①

।465

②/=力；③亍？；④数列｛/｝是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.

3/=127

x2+y2<1

15.设O为坐标原点,42,1),若点B(x,y)满足〈-<x<1，则。405的最大值是

2

0<y<l

16.定义在R上的偶函数/(x)满足/(e+x)=/(e-x),且f(0)=0,当x«0,e］时，/(x)=lnx.已知方程

/(_r)=：sin停］在区间［一d3同上所有的实数根之和为3肛将函数g(x)=3siM'fj+l的图象向右平移。个

(4)

单位长度，得到函数万(力的图象，贝匹=,网8)=,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数f(x)=sinx+1nx—1.

(I)求f(x)在点g处的切线方程；

1212〃

(II)求证：/a)在(0,不)上存在唯一的极大值；

<m)直接写出函数/a)在(。,2不)上的零点个数.

18.(12分)如图，在四棱锥〃中，四边形/tRCO为平行四边形，BD±DCf△PCO为正三角形，平面PCQ_L

平面E为尸。的中点.

(1)证明：4尸〃平面EBD；

(2)证明：HELPC.

19.(12分)已知函数/(司=41门一”，曲线y=〃x)在点0,f⑴)处的切线方程为2x-y-2-e=0.

(1)求“，(的值;

(2)证明函数/(“存在唯一的极大值点工,且/(%)<21。2-2.

x=cos0x'=2x

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，将曲线G：(。为参数)通过伸缩变换,，得到曲线C,,

y=sin0y=>

(x=2+tcosa

设直线/：〈百(/为参数)与曲线C?相交于不同两点A,B.

[y=，3+/sina

7T

(1)若。=求线段4/的中点M的坐标；

3

(2)设点P(2,同,若|「川疗用=|。叶，求直线/的斜率.

21.(12分)健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下:

济费次数第1次第2次第3次不少于」次

收费比例0.950.900.85o.w)

现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下:

消费次曾1次2次3次不少于4次

频数6025105

假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：

(1)估计1位会员至少消费两次的概率

(2)某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；

(3)假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两

位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X,求X的分布列及数学期望E(X)

22.(10分)己知椭圆E：W+£=l(a>〃>0)的左，右焦点分别为K，K,IGKI=2,M是椭圆E上的一个动

a~b~

点，且的面积的最大值为

(1)求椭圆E的标准方程，

(2)若八m,0),B(0,b),四边形/SCD内接于椭圆及AB//CD,记直线40,5C的斜率分别为勺，k2t求证:勺网

为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的,，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.

6

【详解】

因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2乃，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧

度数为一，x2乃=一：乃.

63

故选：B

【点睛】

本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.

2、C

【解析】

先求B.再求C*,求得4c（G8）则子集个数可求

【详解】

由题CU8={H（X+1）（X—3）«0/WZ}=3—10X43,/€Z}=={T（U2,3},则集合AC（Q4）={1,2,3},故

其子集个数为2'=8

故选C

【点睛】

此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题

3、B

【解析】

根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出|A/1；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得8点横坐

标的取值范围，即可由AEAB的周长求得其范围.

【详解】

抛物线）P=8x,则焦点*2,0）,准线方程为x=—2,

根据抛物线定义可得|A目=4+2,

圆（x-2『+y2=i6,圆心为（2,0）,半径为4,

点A、8分别在抛物线）3=8工及圆Y+y2—4x—]2=（）的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.

点A、B分别在两个曲线上，AB总是平行于x轴，因而两点不能重合,不能在x轴上,则由圆心和半径可知与$（工6）,

则的周长为|A目+|/1回+忸F|=/+2+马~XA+4=6+W，

所以6+/G（8,12）,

故选：B.

【点睛】

本题考直了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.

4、D

【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到%=4,利用求和公式和等差中项的性质，即得解

【详解】

・・・4+%=%+%），

4+6t|।—6d=q।—5d+q1—d

解得41=4.

.21（%+%］）=2］登4.

/2

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

5、C

【解析】

利用通项公式找到x5的系数，令其等于・10即可.

【详解】

15555

二项式展开式的通项为=G（/5）5-r（如2）r="c；户与，令5—一5=5,得r=3,

则4=〃/C"5=-10X5,所以〃「仁二一］。，解得m=T.

故选：C

【点睛】

本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

6、D

【解析】

根据抛物线的定义，结合|AF|=3,求出A的坐标，然后求出Ab的斜率即可.

【详解】

解：抛物线的焦点厂(1,。)，准线方程为工二一1,

设A(.*y),贝j|iA户|=*+1=3,故x-2,此时)，一±20,即A(2,±20).

则直线AF的斜率k=丝也=±2近.

2-1

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题.

7、I)

【解析】

根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出3类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A类产品的

概率，即可得解.

【详解】

A类产品共两件A，4，用类产品共三件片，坊,用，

3

则第一次检测出3类产品的概率为g；

2I

不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A类产品的概率为二二二；

42

313

故第一次检测出8类产品，第二次检测出A类产品的概率为jx-=—；

故选：D.

【点睛】

本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.

8、C

【解析】

设公差为d,则由题意可得3(“+4J)=7(4+94),解得d=-粤，可得q=(六丁必.令55-4n<(),可得当

〃上14时，an>0,当〃W13时，由此可得数列｛%｝前〃项和S“(〃uN”)中最小的.

【详解】

解：等差数列｛〃”｝中，已知3%=7砥，且4<0,设公差为d,

4〃

则3(q+4d)=7(q+9d),解得“=一寸，

.:,(55-4〃)q

..a„=q+(〃-l)d=-----L・

55-4/255

令*―-<(),可得〃〉三，故当/14时，凡>。，当〃S13时，应<0,

514

故数列｛册｝前〃项和S〃(〃£N”)中最小的是513.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质.等差数列的通项公式的应用，属干中档题.

9、B

【解析】

可设Z=Q+折①力£/?),将目+»化简，得到"("^一")’,由复数为实数，可得字后-b=0,解方程即

工V777

可求解

【详解】

7

设z=a，bi(a,bsR),则忖「Et―际^-町二+叫'.

za+bia2+h2J/+/

由题意有J?+/_〃=ona=(),所以/〃=().

故选：B

【点睛】

本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题

10、B

【解析】

利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.

【详解】

zi(2+j)-1+2!12.

解-2~-----=------------——=--------=-----1---I.

解，2-/(2-/)(2+/)555'

则复数z二一一（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：I-7»|h

2-z\557

位于第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.

11、A

【解析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.

【详解】

22

在AA50中，AD=3,BD=1,ZADB=\20°t由余弦定理，得=JAD+3D—24>8Qcosl20。=屈，

DF2

所以布=瓦.

所以所求概率为岂”二4

q

°AABC13

故选A.

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.

12、A

【解析】

V2V2

根据直线/：y=2x+l（）过双曲线］■一*_=的一个焦点，得。=5,又和其中一条渐近线平行，得到

b=2a,再求双曲线方程.

【详解】

22

因为直线/：），=2》+10过双曲线0-方=1（。>0/>0）的一个焦点，

所以尸（一5,0）,所以c=5,

又和其中一条渐近线平行，

所以〃=2。，

所以6p=5,b2=20f

所以双曲线方程为工-工=1.

520

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1aV10+2

2

【解析】

由等腰三角形及双曲线的对称性可知或6乙二,进而利用两点间距离公式求解即可.

【详解】

由题设双曲线的左、右焦点分别为耳（-G。），5（c,（））,

因为左、右焦点和点1）为某个等腰三角形的三个顶点，

当FFLPF?时2、=］（2”4+6，由〉=。2可得2c2+4〃c—3片=0,等式两边同除“可得

2/+4c-3=0,解得e=~~-<1（舍）；

2

当1鸟二尸片时,2c=y/（2a+c）'+b2，由/=/一/可得2c2-4ac-3a2=0，等式两边同除a2可得

2/—4e-3=0，解得e=+2，

2

故答案为:®E

2

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.

14、®@®

【解析】

先利用导数求得曲线），=V在点（%,。：）处的切线方程，由此求得与4的递推关系式，进而证得数列｛4｝是等比

数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.

【详解】

vy=3x2，：、曲线)，=V在点处的切线方程为y-4：=3axx-a,J,

则一4：=3。；(4加一可).

2

*：an^Ot••an+i=—ant

2

则｛qJ是首项为1,公比为§的等比数列,

2

1-

24465

从而。2=4，4=6，£%=⑶

427

故所有正确结论的编号是①③④.

故答案为：①③④

【点睛】

本小题主要考查曲线的切线方程的求法.考查根据递推关系式证明等比数列.考查等比数列通项公式和前〃项和公式.

属于基础题.

15、亚

【解析】

加

=2x+y,可行域如图，直线2x+)，=〃？与圆元2+)，2=1相切时取最大值，由詈=1,〃2>()=〃2=石

【解析】

根据函数为偶函数且/(e+x)=/(e—x),所以/(x)的周期为2e,/(x)=；sin[gx)的实数根是函数

幺12G)

/(X)和函数y=的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所

有实数根的和为6e,从而可得参数a的值，最后求出函数。(工)的解析式，代入求值即可.

【详解】

解:因为/(X)为偶函数且/(e+x)=/(e-x),所以/(x)的周期为2e.因为xw(O,e］时，/(x)=lnx,所以可作

出/(X)在区间［-e,3e］上的图象，而方程/(A-)=ysin［的实数根是函数/(X)和函数y=1singx的图象

的交点的横坐标，结合函数/(工)和函数y=gsin(5x)在区间［-c,3e］上的简图，可知两个函数的图象在区间

［—e,3e］上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e,所以6<=3M，故a=2.

M71l=-^cos71X5

因为g（x）=3sii?+~r+2f

14J2

兀5,、3,、5

-X+耳.故人（8）=5cos（4））+—=4・

12

【点睛】

本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17>(I)_y=-x+ln^-l；(II)证明见解析；(ID)函数/(幻在(0,2外有3个零点.

7T2

【解析】

(I)求出导数，写出切线方程；

(II)二次求导，判断了‘(X)单调递减，结合零点存在性定理，判断即可；

(01)lnx=l-sinx,数形结合得出结论.

【详解】

解：(I)f\x)=cosx+-f/百=1+1哼­1=1哼，r(1)=2,

x22227T

故/(x)在点(1,/(g))处的切线方程为y-\n^-=—(x-^-),

22212

art2।71.

即V=—x+In1；

.712

(II)证明：//(x)=cosx+-,XG(0,^),

X

fnM=-sinx--lr<0,故/'(幻在(0,4)递减,

AT

冗?1

又/'(<)=一>0，/'⑺=-]+_<0,

2717T

由零点存在性定理，存在唯一个零点，〃呜㈤，rw?+/o,

当xe(0,〃7)时，/(x)递增；当幻时，/(用递减,

故/")在(0,乃)只有唯一的一个极大值；

(!!!)函数〃函在(。,2为有3个零点.

【点睛】

本题主要考查利用导数求切线方程，考查零点存在性定理的应用，关键是能够通过导函数的单调性和零点存在定理确

定导函数的零点个数，进而确定函数的单调性，属于难题.

18、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)连结AC交"。于点O,连结利用三角形中位线可得AP〃。及从而可证AP〃平面£BD；

(2)先证明8O_L平面PCD,再证明PC_L平面BDE,从而可证BELPC.

【详解】

证明：(1)连结4C交8。于点。连结OE

因为四边形ABCD为平行四边形

，。为AC中点，

又£为「。中点，

故A尸〃0£,

又4尸二平面OEU平面EBO

所以AP〃平面EBD；

(2)•••△PCO为正三角形，E为PC中点

所以PCLDE

因为平面PCD_L平面ABCDt

平面PCD平面ABCD=CD,

又BOU平面ABC。，BDLCD

・"O_L平面PCD

又PCu平面PCD,故PCIBD

又BDDE=D,3OU平面BOE,O£u平面BOE

故PC_L平面BDE

又平面BDE,

所以BELPC.

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行

证明，傀重考查逻辑推理的核心素养.

19、(1)a=2yb=\(2)证明见解析

【解析】

(1)求导，可得r(1)=〃，/'(1)=-be,结合已知切线方程即可求得。，〃的值；

e"22

(2)利用导数可得/(•%)=2阮”——=2阮％--,XOG(1,2),再构造新函数/心)=2柝——-,l<x<2,利用导

•%-v-1

数求其最值即可得证.

【详解】

(1)函数的定义域为(。,+8),广")二色一如上二2,

Xx~

则(1)=arf(1)=-be,

故曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为依-丁-。-加=0,

又曲线丁=/@)在点(1,/(1))处的切线方程为2X-)，-2-6=0,

.\a=2tb=l；

(2)证明：由(1)知，f(x)=2lnx--f则广(x)=:,

xY

令g(x)=2x-x"+e1贝!19(幻=2-.这，易知g'O)在(。,+8)单调递减，

又父(0)=2>0,g1(1)=2—ev(),

故存在3w(0，D,使得g'(X)=(),

且当xe(0,~)时，gf(x)>0,g(x)单调递增，当工€(为，+8)时，^UXO,g(x)单调递减,

由于g(0)=l>0，g(1)=2>0，g(2)=4-6>2<0,

故存在天£(1,2),使得g(%)=0,

XE」Of

且当(O)时，g(x)>0,/。)>0,/(x)单调递增，当y)时，^(x)<0,f(x)<Ot/(x)单调递

减，

故函数存在唯一的极大值点见,且且(毛)=2/7。*+*=0,即*=用；与£(1,2),

*2

贝!|/(/)=2。叫----=2MA0---------,

仆飞-1

222

令h(x)=21nx-------,l<x<2,则"(x)=—+-r>0,

x-1XU-1)-

故力(x)在(1,2)上单调递增，

2

由于与€(1,2),故〃(*)<〃(2)=232,即2加。------<2bi2-2

七一It

.♦./(%)<2]〃2-2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题.

20、（1）（1|,_普）；（2）冬

【解析】

（1）由/参数方程与椭圆方程联立可得4、B两点参数和，再利用M点的参数为A、8两点参数和的一半即可求M

的坐标；

（2）利用直线参数方程的几何意义得到|胡卜|叫，再利用|必|促8|=四叶=7计算即可，但要注意判别式还要大

于0.

【详解】

[j=2COS0,r2

（1）由已知，曲线C2的参数方程为.c（0为参数），其普通方程为上+丁=1,

[y=sin0,4'

c1

x=2+?

42Y

当a二；时，将厂（，为参数）代入工+V=i得135+56『+48=0,设

3卜二肉裂4

直线，上A、8两点所对应的参数为乙小，中点M所对应的参数为4），则，o=4：'2=

所以M的坐标为(j|,-*)；

E-2+/COSOC2

(2)将r代入土+)P=i得90s2a++('8Gsina+4cosa)，+12=0,

y=yJ3+ts\na4

io«,

贝(J|PA|JPM=卬2l=y^---J.?—,因为Q可=7即12(85%+$抽％)=7(8$20+45抽%),

所以5cos2a=16sin2a，故tan2a=J,由△=(8石sina+4cosa)2-48(cos2a+4sin2a)

16

「，rj?5

=32(2\/3sinacosa-cos2a)>0得tana>——,所以tana=——・

64

【点睛】

本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道

中档题.

2249

21、(1)-(2)22.5(3)见解析，——

5200

【解析】

(1)根据频数计算频率，得出概率；

(2)根据优惠标准计算平均利润；

(3)求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望.

【详解】

解：(1)估计1位会员至少消费两次的概率〃=三需四=];

(2)第1次消费利润60x0.95-30=27；

第2次消费利润60x0.90-30=24；

第3次消费利润60x0.85-30=21；

第4次消费利润60x0.80-30=18；

27+24+21+18

这4次消费获得的平均利润:=22.5

4

327+24127+24+21

(3)1次消费利润是27,概率是g；2次消费利润是二25.5,概率是1；3次消费利润是——-——=24,

概率是4次消费利润是22.5,概率是

39

由题意：X=0,-,3,-

22

33111