圆教材分析资料

第二十四章圆教材分析

一.教学目标：

1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并

了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。

2.探索圆的性质，掌握圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周

角的特征。

3,了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的位置关系,

能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线。

4.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同

一直线上的三点作圆。

5,了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形

的方法；会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和

全面积。

6.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养学生的合情推

理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过

这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过

的知识解决问题的能力。同时对学生进行辩证唯物主义世界观的

教育。

二.教学重点与难点：

教学重点：

1.利用圆的轴对称性研究垂径定理和它的推论。

2.利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理。

3.探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。

4.探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为

圆的切线。

教学难点：

1.使学生通过折叠、旋转、图形运动等多种方法观察、操作、推

理证明圆的有

关性质；利用思考方式的多样化进一步认识和理解研究圆的性质

的各种方法；解决问题的策略及转化、分类、类比、归纳等数学

思想方法。

例如：（1）利用圆的轴对称性推理垂径定理时，它的推论“平分

弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”

为什么强调弦的条件，学生常忽略不记，让学生类比得出答

案。

垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性

的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，

也为进行圆的计算和作图提供了方法。学习后，让学生探究：①

如何找到一条弧的圆心；怎样把一条弧四等分；②怎样测得桥

拱的半径；③你怎样测得公路的弯道的半径。在活动中让学生会

用所学知识解决问题，总结出方法。

459题、儿8例3、练习2、片题

（2）在探究圆与圆的位置关系时，让学生制作两个半径不等的

圆，在课桌上作平移运动，观察两圆在运动中出现的位置关系，

①有儿种？②与公共点的个数？定义外离、内含时，语言的严谨

性和准确性。③圆心距与两圆的半径的关系中的数量关系转化。

特别是两圆相交时，学生对存在的数量关系不好把握，可通过图

形运动时，交点与两圆心恰好构成一个三角形，这样就可以月旧

知识解决新问题。

同时利用类比的方法：

'外切［外离

归纳：相切［内切相离［内含相交

2.将实际生活中的各种问题抽象成数学问题，建立数学模型。

鸟513、&14、/3例2、&4习题24.4中2题、P1255>6>7>8>P1321L12J3；

3•实现点和圆、直线和圆、圆和圆位置关系与数量关系的相互转

化。

三.课时安排：（共17课时）

24.1圆——5课时

24.2与圆有关的位置关系一一6课时

24.3正多边形和圆-----2课时

24.4弧长和扇形的面积一一2课时

数学活动

小结--------2课时

四、知识框架图:

六.教学建议：

1.明确全章的教学内容，知识构建框架图：

2.注重图形的性质的探索过程，重视观察、动手操作和逻辑推理

的有机结合。

在教学中，枳极引导学生从事观察、测量、折叠、平移、旋

转、推理证明等活动，探索图形的性质。

例如；（1）利用圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；

（2）利用圆的旋转不变性，发现圆中弧、弦、圆心角之间

的关系；

（3）通过观察、度量、发现同弧所对的圆心角与圆周角、

同弧所对的圆周角之间的数量关系；

（4）利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间

的位置关系；等等。

在多种实验活动中，探究出图形的性质，然后对发现的性质

进行推理论证，使动手操作与理论证明整合为一体，培养学生的

观察、实验、探究能力。使学生有意识地反思其中的数学思想

方法，发展学生有条理的思考及表达能力。（见课件）

工注重联系实际，创设学习、探究、运用知识的平台。

圆是人们日常生活和生产中应用较广的一种几何图形，不仅

日常生活中许多物体是圆形的，而且在工农业生产、交通运输、

土木建筑等方面都可见到圆，教材中列举了大量的实例，增强学

生对圆的认识，引发学生思考，探索圆的性质及相关知识。并从

实例中，发现数学问题，进行数学建模。同时运用所学知识解决

实际问题，增强运用数学的意识。

4.重视渗透数学思想方法。

教学中不仅要教知识，更重要的是教方法，本章中涉及的

数学思想方法比较多，如；分类的思想、转化的思想、归纳、

类比的思想，等等。

5.重视知识间的联系与综合，把握好教学要求。

圆是学生在学习了直线型图形的有关性质和证明的基础上，

学习的第一个曲线形，学生由学习直线型到曲线形，在认识上是

一个飞跃。教学中，要注意圆与直线型的联系，知识之间的内在

关系，相互转化，综合应用解有关的问题。

例如：垂径定理及推论；圆的弧、弦、圆心角、圆周角；切线

长定理等；为几何中证明线段相等、垂直，角相等，弧相等，提

供了依据，在几何计算中，常常把圆提供的条件转化为直角三角

形知识，使学生接受起来容易，解决起来方便。

本章教学内容与旧教材内容相比，删减幅度比较大，教学时

要注意把握好教学要求，教学内容应当限制在课标和教材所出现

的范围，按照课标要求删减的内容，教学中不要再拣回。要注意

基础知识的学习与应用。控制证明题、综合题的难度。

关于反证法，在本章，结合“过同一直线上的三点不能作圆”,

正式提出了反证法，并且在后续内容，如“圆的切线垂直于过切

点的半径”的证明时也有应用。反证法是一种间接证法，学生接

受起来较困难，教材主要是要求让学生理解反证法的思想，后续

习题没有安排相应的习题。教学中要注意把握好对反证法的要

求，不要让学生作过多过难的关于反证法的习题。主要使学生了

解反证法的基本思路和一般步骤。

反证法是一种间接证法，一般当使用直接证法比较困难时，

采用间接证法一反证法。使用反证法推理论证时，要注意推理

的严密性，必须步步有据。推出矛盾，要真正理解矛盾在哪里，

这是学生最感到困难的地方，教学时要帮助学生克服这个困难。

6.结合教学，重视培养学生探究式学习的方法，形成良好的思维

品质。

本章中，有很多内容的学习，都是在探索中发现，分类讨论

后归纳得出结论，如：弧、弦、圆心角之间的关系；圆周角定

理；过三点作圆；探究与圆有关的位置关系；数学活动中，探究

四点共圆的条件；等等，都是教学的素材，教学中要给于足够的

重视。这也是备战中考必要的能力。

7.计算机辅助教学。

有条件的学校，应重视信息技术工具的使用，利用信息技术

工具，制作图形，让图形动起来，引起学生更大的兴趣，促进学

生积极地去思考。

本章中许多图形的性质都可以利用计算机软件设置一些探

究活动，让图形动起来，在运动变化中发现图形的性质。（见课

件）

在数学活动课中，利用等分圆周和正多边形镶嵌平面，结合

平移变换、轴对称变换、旋转变换设计图案

七.单元教学中强调的要点：

24.1和圆有关的性质：

L垂径定理及其推论的外延:

（1）经过圆心

（2）垂直于弦

⑶平分弦

如果一条直线具有中的两个性质，那么

(4)平分弦所对的优弧

（5）平分弦所对的劣弧

这条直线也具有其余的三个性质。（简说成：“知二有三”）

这里要特别强调：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平

分弦所对的两条弧的条件中的弦的条件。

垂径定理是证明线段相等，弧相等的重要定理，同时也为圆

的计算和作图问题，提供了思考方法和依据。

2.弧、弦、圆心角定理要强调在“同圆或等圆”这个前提下，三

组量的关系成立的条件。

3•注意强调弦所对的弧有两条：优弧和劣弧。

4,强调等弧的条件：重合的两条弧相等。

5.重视同弧所对的圆周角与圆心角的关系。

例如：1.选择题：

（1）已知。O的直径为10,圆心O到弦AB的距离为3,则弦

AB的长为（）

A.4B.6C.7D.8

(2)如图，AB是0O的直径，弦CDJLAB于E,若AB=10,CD=8,

则AE的长为()

A.2B.3C.4D.5

(3)如图,AB是。0的直径，AB=4,NCDB=30”,则BC的长为

()

A.2B.3D.5

A

(4)已知。。的半径为6cm,。。的一条弦AB的长为6百，则弦

AB所对的圆周角是()

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

2.已知。0中,AB交圆0于C、D,且AC=BD,

求证：OA=OB

3.(2006年北京中考题：19题：6分)

已知如图，Z\ABC内接于点D在0C的延长线上，sinB=l,

2

ZCAD=30°,

(1)求证：AD是。。的切线;

D

A

(2)若ODLAB,BC=5,求AD的长.

4.(北京07中考题)己知：如图，A是。。上一点，半径0C的

延长线与过点A的直线交于B点,0C二BC,AC[°B.

(1)求证：AB是。0的切线；

(2)若NACD=45",002,求弦CD的长.

24.2与圆有关的位置关系

1.强调位置关系与数量关系的相互转化。

2.强调证明一条直线是圆的切线的两个条件：

(1)经过半径外端；(2)与这条半径垂直；

在证明有关题时，要分析清楚已知条件是什么，需要证出什

么条件，怎样添加辅助线，辅助线的说法很是关键。

例L如图，已知00的半径OA_LOB,NOAE=30。，

AE交0B于D,交。0于E,C为0B延长线E

一点，且CE=DE,/鼠

求证：CE与0()相切。(

例2.如图,在△ABC中，ADIBC于D,AD=1BC,E、F分别为AB、

2

AC的中点,EF与AD交于M,以EF为直径作。0,

求证：BC是。。的切线。

BDC

3.切线长定理在应用中，包含着一些隐藏的结论应让学生要清

楚。

4,强调三角形的外接圆、内切圆的概念，让学生对照理解“接”

与“切”的意义。

注重课本习题的解法，要给学生解题方法的指导。

如尸侬练习：2题；利用三角形内切圆与三边都相切的关系,

把求AABC的面积，转化求三块小三角形的面积，从而用半径八

周长L表示了三隹形的面积。

5.圆与圆的位置关系的五种情况可分类为:

外离

（1）相离［内含

仅卜切

⑵相切［内切

（3）相交

在探索两圆组成图形的有关性质时，结合图形，向学生介绍

圆心距、连心线等概念。

将两圆组成的图形沿连心线折叠后会怎样?

可让学生在纸上画出两个圆的各种位置关系，然后沿连心

线折叠，通过实验可以得出两圆组成的圆形是以连心线为对称

轴的轴对称图形；两圆相切时，切点在连心线上的性质。片皿思

考题。

6。8例3、《09练习2、4两圆在相切运动时，求圆的半径，圆

心距，体现了数学分类的思想。教学时要注重分类的思路方法。

匕。7题：已知三角形的三边长，以这个三角形的三个顶点

为圆心的三个圆两两外切，求这三个圆的半径是多少？

设三个圆A、B、C半径分别为小小与，列三元方程组：

解方程组求出三个半径长。体现方程的思想，解方程组

得解。通过此题指导学生利用方程（组）寻找解题思路，是

一种技巧、方便的方法。厂1

24.3正多边形和圆

L了解正多边形与圆的关系，理解正多边形的中心、中心角、半

径、边心距的概念及其内涵。

2.圆与正多边形的计算就是转化后的直角三角形求解。

3.要求学生会用尺规：三、四、五、六、八、十、十二等分圆周。

4.利用等分圆周利图形变换知识设计简单的图案。

如：

培养学生的动手操作能力，想象能力。

24.4弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积

1.让学生理解弧长、扇形与圆的联系，认清他们的区别所在，计

算中就不会出问题。

2.掌握了弧长、扇形面积的计算，对圆锥的侧面积、全面积计算

就不难了。

教学时，要讲清圆锥侧面展开后的扇形中的各元素与圆锥

各元素之间的关系，即：扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧

长是圆锥底面圆的周长。

例如：选择题：

(1)/\ABC中,/O90°,AB=5,周长为12,则此三角形的内切

圆的面积是()

A.4B.4万C.9兀D.-7T

4

(2)已知一个圆心角为120°的扇形，它的面积为3m则这

个扇形的弧长为（）

A.3cm2B.7icm2C.2cmD.271cm

（3）如图，一块含有30。角的直角三角板ABC,在水平桌面上

绕点C按顺时针方向旋转到A*C的位置，若BC的长为15cm,

则顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）

A.10农〃?B.\。6加m

C.157n?tnD.20的〃

（4）某种冰淇淋纸筒为圆锥形，其底面半径为3cm,母线长为

8cm,则制作这种纸筒所需纸片的面积（不计加工余料）为（）

A.24衣疗B.48/icm2C.307icm2D.36/rcm2

3.关于求阴影面积问题，教学时，要注重思考方法的指导，利用

图形变换，使条件集中；仔细观察整个图形的构成，应用数学的

整体思想进行计算，技巧、方便。

如：《1215题：求阴影面积；先让学生观察、思考求解的方法:

将小圆向右平移，使圆心与大圆的圆心重合，即两圆变成同心

圆，

设大圆和小圆的半径分别为R、r,则有:

R1-r2=4,

S阴影二g乐2—g"?二g4(R?—/)=2乃(cm?)

产1243题,阴影面积的求法体现技巧、整体思

考求解简便。

---a

(1)利用四个半圆的面积和减去正方形的面积计算阴影面积;

(2)正方形的面积减去两个半圆的面积

等于两个空白的面积，

2r?,Cl、21八71—\2

所以阴影部分的面积为，一【〃,一》(5厂b2=—^-4-

片317题，经过分析由图得到：三个扇

形的半径相等，

三个圆心角是三隹形的内角，和为180。，

所以阴影部分的面积和应为一个半圆的面积。

☆如图，以BC为直径，在半径为2,圆心角为90。

的扇形内作半圆，交弦AB于点D,连接CD,

求阴影部分面积。

利用整体思想组合、拆分，非常技巧的使问题得解。

木章的内容虽然减少，知识的难度降低，但涉及的数学思想

方法比较多，教学中要给予足够的重视。

本章中作图问题：

本章中出现了多处作图问题，教学时，要融入教学内容中，

让学生利用尺规会做这些图，掌握作图的方法。

(1)求作已知弧的圆心；

(2)把已知弧平分、四等分；

(3)经过已知两点作圆；过不在同一直线上的三点作圆；求作

三角形的外接圆；三角形内切圆；

(4)过圆上一点作圆的切线；

(5)已知三个圆的半径画圆，使它们两两相外切。

(6)已知两个圆，求作一个圆，使它与这两个圆都相切；

八.(中考题选)

1.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米,

当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水

面只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施？

(答案：圆弧的半径R=34,CD=32>30,不用采取措施)

AMB

2.如图，以等腰aABC的腰AB为直径的。()交底边BC于D,

过D点作DELAC于E.

(1)求证：DE是。。的切线。

⑵若点0在AB上向点B移动，以0为圆心，以OB为半径的

圆仍交BC于D,且DE1AC,那么DE还与。0相切吗？说明理由。

3.如图,在AABC中，BD_LAC于D,DC=2AD,以DC为直径作圆0,

交BC于E,且

ZCBD=60°,BE=1

⑴求圆0的半径R;(R=V3)

⑵在圆0上选取一点F,使NDBF=2NABD,并给予证明。

（提示：过B点作。。的切线，切点为F）

4.如图，如图，AB是。。的直径,BC切。。于B,AC交。0于

D,

E是BC边上的中点，连结PE,PE与OO相切吗？若相切,

请加以证明;若不相切,请说明理由。

5.如图,已知△ABC,AC=BC=6,NC=90°,0是AB的中点,©

。交OB于F,c

连结DF并延长交CB的延长线于Go