2024-2025学年广东深圳宝安区高一(上)期末数学试题含答案

2024-2025学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题15分）已知全集U＝{﹣21，0，1，2}，集合A＝{x∈Z|x2≤1}，则∁UA=()35分）命题“∃x∈R，x2＞x”的否定是()45分）记函数=lg2x−的零点为x0，则x0∈()A0，1）B1，2）C2，3）D3，4）55分）已知a＝e﹣1，b=lg22，c＝x2﹣x+1x∈R则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．a＜c＜b65分）“y＝log（m﹣1）x在定义域内是增函数”是“函数f（xm2﹣7m+13）xm是幂函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件75分）已知函数=2sin下列说法正确的是()A．f（x）的周期为2π上单调递减C．当x=kπ+取得最大值85分）已知定义在R上的奇函数f（x当0≤x≤1时，f（x4x+2x﹣1，若f（x）=﹣f（x+2）恒成立，则函数g（x）＝f（x）﹣x+1的零点个数为()二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）96分）下列关于角α的说法中，正确的为()A．若α的终边在y轴上，则α=kπ,k∈ZB．若α是第二象限角，则不是第二象限角C．若tanα=3，则sinα=D．若扇形的圆心角为α,半径为2，则该扇形的面积为2α（多选）106分）下列选项正确的是()B.∃α∈R，使sin3α+cos3α>1C．若sin，则cos D．曲线y＝sinx与y＝2cosx在x∈(−π,π)有6个交点A．的最大值为B．+b2的最小值为C.−b的最小值为2−1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。125分）设不等式的解集为（a，b则b﹣a=.已知y=ln为奇函数，则实数a的值是.145分）若α+2α﹣1＝5，β+log2β=4，则α+β=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（1）当a=﹣2时，求A∪B；（2）当a＞0，且A∩B=∅时，求实数a的取值范围.1615分）设函数（1）用定义证明：f（x）在区间（0，+∞)上单调递增；（2）设x＞1，求不等式的解集.1715分）已知函数f（xax﹣5ax﹣3a＞0，a≠1）.（1）求函数f（x）的最小值；（2）当且仅当x＝2时，f（x）取得最小值，求f（x）在x∈[﹣1，3]的值域；（3）若a＝3，对∀x∈[1，2]，f（x）≥m•3x﹣1恒成立，求m的取值范围.1817分）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水且单株施用肥料及其它成本总投入为20x+10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f（x单位：元）.（1）求函数f（x）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？1917分）已知函数f(x)=l0g2[(a−2)x+]和g（xlog[x+（2a﹣3）]，且a∈R.（1）若f（x）的最小值为，求实数a的值.（2）若f（x）与g（x）的图像有且仅有一个交点，求实数a的取值范围.2024-2025学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）题号12345678答案DACCABCD二．多选题（共3小题）题号9答案BDACACD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题15分）已知全集U＝{﹣21，0，1，2}，集合A＝{x∈Z|x2≤1}，则∁UA=()【分析】结合补集的定义，即可求解.【解答】解：全集U＝{﹣21，0，1，2}，集合A＝{x∈Z|x2≤1}＝{﹣1，0，1}，则∁UA＝{﹣2，2}.故选：D.【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题.【分析】结合诱导公式先进行化简，然后结合特殊角的三角函数值即可求值.解：cos＝cos1050°=cos30°=故选：A.【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题.35分）命题“∃x∈R，x2＞x”的否定是()【分析】直接利用含有量词的命题的否定即可求解.【解答】解：命题“∃x∈R，x2＞x”的否定是∀x∈R，x2≤x.故选：C.【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题.45分）记函数=l0g2x−的零点为x0，则x0∈()A0，1）B1，2）C2，3）D3，4）【分析】求出函数的定义域，判断函数在定义域内的单调性，然后结合函数零点的判定得答案. 解：函数f=l0g2x−的定义域为（0，+∞),且函数在（0，+∞)上单调递增，又=l0g22−故选：C.【点评】本题考查函数零点的判定，是基础题.A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．a＜c＜b【分析】结合函数的单调性，以及配方法，即可求解.【解答】解：a=e−1＜2−1=b=l0g22，c＝x2﹣x+1=综上所述，a＜b＜c.故选：A.【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题.65分）“y＝log（m﹣1）x在定义域内是增函数”是“函数f（xm2﹣7m+13）xm是幂函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出对应的m的范围，再结合充分条件和必要条件的定义判断.【解答】解：若y＝log（m﹣1）x在定义域内是增函数，则m﹣1＞1，即m＞2，若函数f（x）＝（m2﹣7m+13）xm是幂函数，则m2﹣7m+13＝1，因为{3，4}⫋{m|m＞2}，所以“y＝log（m﹣1）x在定义域内是增函数”是“函数f（xm2﹣7m+13）xm是幂函数”的必要不充分条件.故选：B.【点评】本题主要考查了对数函数和幂函数的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.75分）已知函数=2sin下列说法正确的是()A．f（x）的周期为2πB．f（x）在x∈[kπ−,kπ+]，(k∈Z)上单调递减C．当x=kπ+取得最大值【分析】由已知结合正弦函数性质检验各选项即可判断.解：因为f=2sin当kπ−≤x≤kπ+时，2kπ−≤2x+≤2kπ+，k∈Z，此时f（x）单调递增，B错误；当x=kπ+，k∈Z时，2x+=2kπ+，k∈Z，此时f取得最大值，C正确；因为＝2sin=−1，f＝2sin，D错误.故选：C.【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题.85分）已知定义在R上的奇函数f（x当0≤x≤1时，f（x4x+2x﹣1，若f（x）=﹣f（x+2）恒成立，则函数g（x）＝f（x）﹣x+1的零点个数为()【分析】由题意可得函数y＝f（x）的周期为4，关于x＝1对称，令g（x）＝0，则有f（x）＝x﹣1，作出两函数的图象，结合图象即可得答案.【解答】解：因为f（x）=﹣f（x+2）恒成立，所以f（x+4）=﹣f（x+2f（x所以函数的周期为4，又因为函数为R上的奇函数，所以f（x）=﹣f(﹣x所以f（x+2f(﹣x所以函数的图象关于x＝1对称，又因为当0≤x≤1时，f（x）＝4x+2x﹣1，所以当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，所以f(﹣x）＝4﹣x﹣2x﹣1，即﹣f（x）＝4﹣x﹣2x﹣1，所以f（x）=﹣4﹣x+2x+1，作出函数y＝f（x）的部分图象，如图所示：令g（x）＝f（x）﹣x+1＝0，则有f（x）＝x﹣1，由图可知，函数y＝f（x）与y＝x﹣1有5个交点，所以函数y＝g（x）有5个零点.故选：D.【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于中档题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）96分）下列关于角α的说法中，正确的为()A．若α的终边在y轴上，则α=kπ,k∈ZB．若α是第二象限角，则不是第二象限角C．若tanα=3，则sinα=D．若扇形的圆心角为α,半径为2，则该扇形的面积为2α【分析】根据终边在y轴上的角的表示即可判断A的正误；根据α是第二象限角写出α的范围，然后即可得出的范围，进而判断B的正误；根据正切和正弦在第三象限的符号即可判断C的正误；根据扇形的面积公式即可判断D的正误.【解答】解：若α的终边在y轴上，则α=+kπ,k∈Z，A错误；若α是第二象限角，则+2kπ<α<π+2kπ,+kπ＜＜+kπ,k∈Z，则在第一或第三向限，不在第二象限，B正确；tanα=3时，α在第一或第三象限，α在第三象限时，sinα＜0，C错误；若扇形的圆心角为α,半径为2，则扇形的面积为α⋅22=2α,D正确.故选：BD.【点评】本题考查了终边在y轴上的角的表示，正切和正弦在第三象限的符号，扇形的面积公式，是基础题.（多选）106分）下列选项正确的是()B.∃α∈R，使sin3α+cos3α>1C．若sin，则CosD．曲线y＝sinx与y＝2cosx在x∈有6个交点【分析】选项A，利用诱导公式化简即可；选项B，由sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1，即可作出判断；选项C，先求得再利用诱导公式化简所求式子，即可得解；选项D，令sinx＝2cosx，得tanx＝2，将原问题转化为求函数y＝tanx与直线y＝2的交点个数，再结合正切函数的图象，求解即可.【解答】解：选项A，sin（x+π)=sin（x++1012π)=cosx，即选项A正确；所以sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1，所以不存在α∈R，使sin3α+cos3α>1，即选项B错误；所以cos（x+）=1−sin2(x+)=，所以cos(−x）＝cos[π﹣（+x）]=﹣cos（x+）=−,即选项C正确；选项D，令sinx＝2cosx，则tanx＝2，当x∈(−π,π)时，函数y＝tanx与直线y＝2只有2个交点，所以曲线y＝sinx与y＝2cosx在x∈(−π,π)有2个交点，即选项D错误.故选：AC.【点评】本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的基本关系，正切函数的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.A．的最大值为D．a+的最小值为4【分析】由已知结合二次函数的性质及基本不等式检验各选项即可判断.根据二次函数性质可得，当t=时，取得最大值，A正确；选项B：由b=1−,可得+b2=2b2−2b小值，B错误；利用基本不等式+m≥2×当且仅当m=时取等号，aa利用基本不等式，(1−b)b≤,因此a+≥4，当b=时，等号成立，D正确.故选：ACD.【点评】本题主要利用基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。125分）设不等式＞2的解集为（a，b则b﹣a＝1.【分析】由已知结合分式不等式的求法求出a，b，进而可求.解得﹣1＜x＜0，因为解集为（a，b）＝故答案为：1.【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.135分）已知y=ln(+1)为奇函数，则实数a的值是﹣2.【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（x）+f(﹣xln+ln0，变形分析求出a的值，验证即可得答案.【解答】解：根据题意，设f（xln（+1则f（xln（+1ln(),若f（x）为奇函数，则f（x）+f(﹣x）＝ln（）+ln（）＝ln（）＝0，必有变形可得a=﹣2或0，当a=﹣2时，f（xln其定义域为{x|x<﹣1或x＞1}，又由f(﹣x）+f（x）＝0，f（x）为奇函数，符合题意，当a＝0时，f（xln（+1其定义域为{x|x≠﹣1}，不是奇函数，不符合题意，故a=﹣2.故答案为：﹣2.【点评】本题考查奇函数的性质和应用，涉及函数的定义域，属于基础题.145分）若α+2α﹣1＝5，β+log2β=4，则α+β=5.【分析】由已知等式令γ=α﹣1，则α+2α﹣1=γ+1+2γ=5，β+log2β=4，可得2γ=4﹣γ,log2β=4﹣β,结合等式特点构造函数f（x2x，g（xlog2x，h（x4﹣x，则γ,β可分别看作f（xg（x）与h（x）交点的横坐标，结合互为反函数的图象对称特点即可求解.【解答】解：令γ=α﹣1，则α+2α﹣1=γ+1+2γ=5，β+log2β=4，所以γ+2γ=4，β+log2β=4，所以2γ=4﹣γ,log2β=4﹣β,令f（x）＝2x，g（x）＝log2x，h（x）＝4﹣x，则γ,β可分别看作f（xg（x）与h（x）交点的横坐标，因为f（x）与g（x）互为反函数，图象关于y＝x对称，联立x+4可得x＝y＝2，所以β+γ=4，故答案为：5.【点评】本题主要考查了互为反函数的函数对称性质的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（1）当a=﹣2时，求A∪B；（2）当a＞0，且A∩B=∅时，求实数a的取值范围.【分析】（1）把a=﹣2代入可求A，B，然后结合集合并集运算即可求解；（2）结合集合的交集运算即可求解.【解答】解1）因为A={x|＜2x＜2}={x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|（x﹣1ax﹣20}，当a=﹣2时，B＝{x|x＞1或x<﹣1}，所以A∪B＝{x|x≠1}；（2）当a＞0，B＝{x|（x﹣1ax﹣20}＝{x|（x﹣1x−)＜0}，因为A∩B=∅,所以0＜a≤2.故实数a的取值范围为（0，2].【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.1615分）设函数（1）用定义证明：f（x）在区间（0，+∞)上单调递增；（2）设x＞1，求不等式f(log2x)＞的解集.【分析】（1）利用单调性的定义，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）根据换底公式及对数的运算性质得到−logx2=log2x−从而不等式化为f（log2xf（2再根据函数的单调性及对数函数的性质计算可得.【解答】解1）证明：设x1，x2是任意实数且0＜x1＜x2，因为x1，x2∈（0，+∞)且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以f（x1f（x20，故f（x）在（0，+∞)上单调递增；（2）根据题意，因为logx2==，而=log2x，又f（2）＝2−=，当x＞1时，log2x＞0，且f（x）在（0，+∞)上单调递增，则不等式−logx2即f（log2xf（2则有log2x＞2，解得x＞4，即该不等式的解集为（4，+∞).【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及对数的运算，属于中档题.1715分）已知函数f（xax﹣5ax﹣3a＞0，a≠1）.（1）求函数f（x）的最小值；（2）当且仅当x＝2时，f（x）取得最小值，求f（x）在x∈[﹣1，3]的值域；（3）若a＝3，对∀x∈[1，2]，f（x）≥m•3x﹣1恒成立，求m的取值范围.【分析】（1）结合二次函数的性质即可直接求解；（2）结合（1）的结论先求出a，然后结合指数函数及二次函数性质可求；（3）先分离参数，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解.【解答】解：令t＝ax，（1）f（xax﹣5ax﹣3）可化为F（tt2﹣8t+15，t＞0，根据二次函数的性质可知，当t＝4时，函数取得最小值﹣1；（2）当且仅当x＝2时，即a2＝4时，f（x）取得最小值，根据二次函数的性质可知，当2x＝8时，函数取得最大值15，当2x＝4时，函数取得最小值﹣1，故f（x）在x∈[﹣1，3]的值域为[﹣1，15]；（3）若a＝3，则f（x3x﹣53x﹣3对∀x∈[1，2]，f（x3x﹣53x﹣3）≥m•3x﹣1恒成立，所以m≤3x+−8对∀x∈恒成立，当x∈[1，2]时，3≤3x≤9，根据对勾函数单调性可知，当3x＝4时，3x+−8取得最小值0，所以m的范围为{m|m≤0}.【点评】本题主要考查了指数函数及二次函数性质的综合应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题.1817分）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水且单株施用肥料及其它成本总投入为20x+10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f（x单位：元）.（1）求函数f（x）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）由已知f（x10W（x20x+10分段代入后整理得答案；（2）分段求出函数的最大值，取最大值中的最大者得结论.【