人教版九年级数学下册《相似图形的认识》练习课教案

人教版九年级数学下册《相似图形的认识》练习课教案

一、设计理念与理论依据

本教案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，秉承“以学生发展为本”的教育理念，深度融合建构主义学习理论与深度教学思想。设计立足于大单元教学视角，将“相似图形”置于“图形的变化”整体知识脉络中，超越孤立的知识点练习，致力于构建一个连通知识、方法与思维的立体化学习场域。

本课着重培养学生的几何直观、空间观念与推理能力，通过精心设计的问题链和梯度任务，引导学生从直观感知走向理性分析，从具体操作升华至抽象概括。教学强调数学与现实世界、跨学科领域的有机联系，融入项目式学习（PBL）元素与技术赋能（如动态几何软件），旨在打造一个互动、探究、反思的高阶思维课堂，使练习课不仅巩固双基，更成为促进学生数学核心素养生成与发展的关键环节。

二、课标与教材分析

（一）课标要求解读

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域第三学段（7-9年级）明确要求：

1.知识与技能：了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”；了解相似三角形的判定定理和性质定理。

2.核心素养：在认识相似图形的过程中，进一步发展空间观念和几何直观；经历探索相似图形的性质与判定的过程，发展推理能力；尝试用相似图形知识解决一些实际问题，发展模型观念与应用意识。

本练习课聚焦于“认识”层面，但通过深度练习，必然触及判定与性质的初步感知，为后续系统学习奠定坚实的观念基础。

（二）教材地位与作用

本节内容位于人教版九年级下册第二十七章《相似》的第一节之后，是学生初步接触“相似”概念后的首次系统性练习。它上承“全等图形”，下启“相似三角形的判定与性质”，是学生从“合同变换”思维迈向“相似变换”思维的关键转折点。教材通过一系列例题和练习，旨在帮助学生巩固相似图形（主要是相似多边形）的定义，理解相似比（即相似系数）的意义，并能进行简单的识别、判断与计算。

然而，传统练习往往局限于形状相同的图形辨识与简单计算。本设计将对此进行深化与拓展，着力于剖析相似概念的本质内涵，辨析相似与全等、位似、缩放的联系与区别，并初步搭建利用比例性质解决问题的思维框架。

（三）知识结构图

图形的变化

|

|——全等变换（平移、旋转、轴对称）：形状、大小不变

|

|——相似变换（核心）：形状相同，大小不一定相同

|

|——概念内核：对应角相等，对应边成比例

|——核心参数：相似比(k)

|——特殊情形：全等(k=1)、位似（一种特殊的相似变换）

|——应用前沿：测量、绘图、影像处理、物理建模等。

本练习课将围绕“概念内核”与“核心参数”展开深度探究与灵活应用。

三、学情分析

（一）认知基础

1.正面基础：九年级学生已完整学习了全等三角形的判定与性质，对“图形形状、大小完全相同”有深刻理解。具备了较强的观察、比较、概括能力。学习了比例的基本性质、平行线分线段成比例定理，掌握了比例计算的基本技能。在日常生活中，对“放大”、“缩小”、“看起来一样”等相似现象有丰富的感性经验。

2.潜在困难：

1.3.概念抽象性：从“完全相同”到“形状相同但大小可不同”的思维跨越存在障碍，容易忽略“对应”关系，仅凭视觉直觉判断。

2.4.语言转换困难：将几何语言（对应角相等，对应边成比例）、图形语言（图形本身）与符号语言（比例式、相似比k）进行自由转换与互译的能力有待加强。

3.5.比例复杂性：当涉及多组成比例线段或需要设未知数构造比例式时，学生可能感到棘手。

4.6.思维定势：容易将“相似”与“全等”混淆，或在非标准位置、复合图形中难以准确找出对应元素。

（二）学习心理特征

九年级学生抽象逻辑思维进入快速发展期，乐于接受挑战，对富有探索性和现实意义的问题感兴趣。但同时也存在注意力持久性面临的挑战，需要多样化的教学活动和及时的形成性评价来维持学习动机。他们初步具备了合作学习与自主探究的能力，但需要教师提供清晰的任务指导和思维支架。

四、学习目标

基于以上分析，确立本课三维学习目标如下：

1.知识与技能：

1.2.能准确复述相似多边形的定义，并能用几何语言和符号语言进行表述。

2.3.能根据定义，通过计算或推理，准确判断两个多边形是否相似，并找出对应顶点、对应角、对应边。

3.4.能熟练运用相似比的概念进行计算，已知相似比和一组对应边长，求其他边长；或已知所有边长，求相似比。

4.5.能初步解决涉及相似图形的简单综合问题。

6.过程与方法：

1.7.经历从实物、图片中抽象出相似图形数学模型的过程，增强数学抽象能力。

2.8.通过动手测量、计算、猜想、验证、说理等活动，体会从具体到抽象、从特殊到一般的探究方法，发展合情推理与演绎推理能力。

3.9.学会运用动态几何软件（如GeoGebra）进行观察与验证，感受技术对数学探究的赋能作用。

4.10.在解决跨学科情境问题的过程中，初步体验数学建模的一般过程。

11.情感、态度与价值观：

1.12.通过感受相似图形在自然、艺术、科技等领域的广泛应用，体会数学的实用价值和文化内涵，激发学习兴趣。

2.13.在小组合作与交流中，养成敢于质疑、乐于探究、严谨求实的科学态度。

3.14.在克服练习难点的过程中，锻炼坚韧的意志品质，获得成功的体验。

五、教学重难点

1.教学重点：相似多边形定义的深度理解与应用；相似比的概念及计算。

2.教学难点：在复杂图形或非标准位置中准确识别对应元素；灵活运用比例性质解决与相似图形相关的综合问题。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含丰富的图片、动画、问题链）、GeoGebra动态几何文件、实物投影仪、不同比例的地图或图纸、设计好学案（含前置诊断、课堂探究、分层练习）。

2.学生准备：复习比例性质、直尺、量角器、计算器、课堂练习本。提前分组（4人异质小组）。

3.教学环境：具备多媒体演示和互联网接入的教室，桌椅便于小组合作排列。

七、教学过程实施

第一阶段：诊断前置，激活旧知（预计时间：8分钟）

活动1：概念快问快答（思维热身）

1.教师口述或投影出示判断题，学生快速手势（√/×）或抢答。

1.2.(1)所有的正方形都相似。（）

2.3.(2)所有的矩形都相似。（）

3.4.(3)所有的等边三角形都相似。（）

4.5.(4)两个菱形，若有一个内角相等，则它们相似。（）

5.6.(5)相似图形的面积比等于相似比。（初步感知，埋下伏笔）

7.设计意图：通过高频率、易错点的辨析，快速激活学生对相似定义（角与边两个条件）的记忆，特别是澄清“形状相同”的数学本质，为后续练习扫清概念障碍。第(5)题为学有余力者提供思考空间。

活动2：定义语言转换

1.请一位学生用自已的语言描述“两个多边形相似”是什么意思。

2.教师引导完善，并板书精确的三种语言表述：

1.3.文字语言：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

2.4.图形语言：（展示两个标有顶点字母的相似五边形图示）

3.5.符号语言：∵在五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'中，

∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠D=∠D'，∠E=∠E'，

且AB/A'B'=BC/B'C'=CD/C'D'=DE/D'E'=EA/E'A'=k，

∴五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，相似比为k。

6.强调：“∽”符号的书写，对应顶点写在对应位置；相似比k是有顺序的（前一个图形与后一个图形的对应边之比）。

7.设计意图：强化数学表达的规范性与精确性，帮助学生建立清晰的概念表征系统，这是进行严谨推理的基础。

第二阶段：探究深化，构建网络（预计时间：22分钟）

核心探究任务：解密“相似”的密码

情境导入：出示一组图片：不同尺寸的国旗、同一个人不同年龄的照片、地图与实地、电影放映机投出的影像。提问：这些现象背后的共同数学原理是什么？（相似变换）

探究一：定义的双重检验

【问题1】已知四边形ABCD和四边形EFGH的边长和角度如下：

四边形ABCD:AB=6,BC=4,CD=5,DA=3；∠A=90°，∠B=80°，∠C=70°，∠D=120°。

四边形EFGH:EF=9,FG=6,GH=7.5,HE=4.5；∠E=90°，∠F=80°，∠G=70°，∠H=120°。

(1)它们相似吗？为什么？

(2)如果相似，请写出对应关系，并求出相似比。

(3)如果保持四边形ABCD不变，只把四边形EFGH的∠H改为119°，它们还相似吗？这说明了什么？

1.学生活动：独立计算边长比（判断是否成比例），核对角度。小组交流对应关系（如何确定对应顶点？——通常从相等的角入手）。

2.教师引导：巡视指导，关注计算过程与对应关系的寻找方法。请小组代表上台讲解，重点展示如何通过“角定对应，边验比例”的步骤进行判定。强调定义中“对应角相等”和“对应边成比例”两个条件必须同时满足，缺一不可。

3.技术融合：教师用GeoGebra动态演示，当改变∠H的度数时，图形的形状发生改变，直观感受“角”对形状的决定性作用。

4.设计意图：巩固用定义判定相似的基本操作流程，突出“对应”思想，明确两个条件的逻辑关系（角等是前提，边成比例是保证）。

探究二：相似比“k”的玄机

【问题2】两个相似六边形的相似比k=2/3。

(1)若较小六边形的周长为15cm，求较大六边形的周长。

(2)若较大六边形的最长边为12cm，求较小六边形的最短边（已知其对应关系）。

(3)（拓展）猜想：相似多边形的周长比与相似比有何关系？如何证明你的猜想？

1.学生活动：独立完成(1)(2)，(3)进行小组讨论。鼓励用字母进行一般化推导。

2.教师引导：对于(3)，引导学生设出原始多边形各边为a1,a2,…,an，则相似多边形对应边为ka1,ka2,…,kan。计算周长比：(k*a1+k*a2+…+k*an)/(a1+a2+…+an)=k

。从而得出结论：相似多边形的周长比等于相似比。

3.设计意图：从简单的数值计算上升到一般规律的探索与证明，培养学生的符号意识与归纳推理能力。此结论是相似图形的一个重要性质，为后续学习面积比、体积比做好铺垫。

探究三：火眼金睛——复杂图形中的对应

【问题3】如图，已知矩形ABCD∽矩形EFGH，且AB=4，AD=2，EF=6。连接对角线AC和EG。

(1)矩形EFGH的宽EH是多少？

(2)对角线AC与EG的比是多少？为什么？

(3)图中还有哪些线段比等于相似比？请找出至少三组。

A______BE______________F

||||

||||

D|______|CH|_______________|G

（图示两个位置摆放不同的相似矩形）

1.学生活动：先确定相似比k=EF/AB=6/4=1.5。然后计算EH=AD*k=2*1.5=3。思考对角线是否也是对应线段？小组讨论，尝试说理（因为矩形对应角相等，△ABC与△EFG是否相似？由对应边成比例且夹角相等可证，故AC/EG=k）。

2.教师引导：这是本课难点突破的关键。引导学生认识到：相似图形中，任何对应线段的比都等于相似比。这里的“对应线段”包括边长、对角线、高、中线等。通过证明三角形相似来验证对角线成比例，将多边形相似转化为三角形相似，渗透转化思想。

3.设计意图：打破学生认为只有“边”才成比例的思维局限，深化对“对应线段成比例”的理解。训练学生在非标准摆放的图形中识别对应关系，提升空间想象与推理能力。

第三阶段：分层演练，巩固拓展（预计时间：12分钟）

练习设置遵循“基础巩固→能力提升→拓展创新”三层次。

A组：基础巩固（全体必做）

1.教材课后练习精选：侧重于直接应用定义判断和简单计算。

2.填空：两个相似五边形的相似比为3:5，已知其中一个五边形的最短边为6cm，则另一个五边形的最短边为______cm。（注意两种情况）

B组：能力提升（大部分学生完成）

1.（易错题）下列说法正确的是（）

A.有一个角为100°的两个等腰三角形相似。

B.四条边对应成比例的两个四边形相似。

C.有一个角相等的两个菱形相似。

D.将一个图形放大2倍得到的新图形与原图形相似，相似比为2。

2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O。若△AOD与△COB的面积比为1:9，且AD=2，求BC的长。（提示：先证△AOD∽△COB，面积比与相似比有何关系？）

C组：拓展创新（学有余力者挑战）

【跨学科项目初探】你是一名城市规划实习生，拿到了一张比例尺为1:5000的城区地图。在地图上测量得一个拟建公园的形状为一个不规则五边形，其周长为28cm。现在需要根据此形状，在实地上用石灰线画出公园的边界。

(1)实地中这个公园边界的实际周长是多少米？

(2)若在地图上该公园的一个角为135°，在实地画线时，这个角应画多少度？为什么？

(3)（进阶）如果地图上该公园的面积为11.2cm²，那么它的实际占地面积约为多少平方米？（提示：相似图形的面积比与相似比有什么关系？你可通过画两个相似正方形来发现规律）

1.实施方式：学生独立完成A组，同桌互查。B组可在小组内协作完成，教师抽取典型思路讲解。C组作为课后研究项目或课堂快速头脑风暴，激发兴趣。

2.设计意图：实现差异化教学，让不同层次的学生都能获得发展。A组保底，B组提能，C组链接真实世界，初步渗透相似在测量、绘图领域的应用，并自然引出面积比与相似比的关系（k²），为下节课埋下伏笔。

第四阶段：总结反思，提炼升华（预计时间：5分钟）

活动：绘制思维导图与反思日志

1.知识梳理：引导学生以小组为单位，用思维导图的形式总结本节课的核心内容（相似图形的定义、判定方法、相似比的性质、应用注意事项）。请一组同学上台展示并讲解。

2.思想方法提炼：教师提问：通过今天的练习，我们运用了哪些重要的数学思想方法？（学生可能回答：对应思想、转化思想、从特殊到一般、数形结合、模型思想等）教师予以肯定和强调。

3.反思与质疑：鼓励学生提出本节课仍存在的困惑或联想到的新问题。例如：“不规则的图形怎么判断相似？”“生活中还有哪些地方用到了相似比？”等。

4.教师总结陈述：今天我们不仅巩固了相似图形的基础知识，更深入探究了其内涵与外延。相似，是描述图形“形状”同一性的强大数学工具。从古希腊的帕特农神庙到现代的数码变焦，从地图测绘到晶体结构，其背后都有相似变换的数学之美。希望大家带着这双“相似”的眼睛，去发现和探索更广阔的数学世界。

第五阶段：分层作业，持续发展（预计时间：课后）

1.必做作业：完成练习册上对应本节的基础题和中档题。

2.选做作业（二选一）：

1.3.实践调查：寻找生活中3个应用了相似图形原理的实例，拍照或绘图，并简要说明其中蕴含的相似比。

2.4.数学写作：以“如果世界上没有‘相似’……”为题，写一篇300字左右的数学短文，阐述相似概念的重要性。

5.研究性学习预备：查阅资料，了解“黄金矩形”与相似的关系，为本章的“阅读与思考”环节做准备。

八、板书设计

主板书（左侧）：

人教版九年级数学下册《相似图形的认识》练习课

一、相似多边形的定义（内核）

1.文字语言：……对应角相等，对应边成比例……

2.符号语言：∵∠A=∠A‘，…，AB/A’B‘=…=k∴△ABC∽△A’B‘C’，k

（图示区：画两个标有字母的相似三角形示例）

二、相似比(k)的性质

1.对应线段之比=k

2.周长之比=