人教版初中数学九年级下册《位似图形的概念及画法》教案

人教版初中数学九年级下册《位似图形的概念及画法》教案

一、课标解读与核心素养落位分析

本节课隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域“图形的变化”主题。课标明确要求：“通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和位似图形；掌握基本作图：在坐标系中画出已知图形的位似图形。”这为本节课的内容定位提供了根本依据。

在核心素养层面，本节课承载着多重育人价值：

1.几何直观与空间观念：位似图形是相似图形在特殊位置关系下的直观体现。通过观察、操作、画图，学生需要从复杂的图形关系中抽象出“对应点连线交于一点且成比例”的本质特征，这将极大地发展其几何直观和空间想象能力。

2.推理能力与抽象思维：从全等到相似，再到位似，是图形关系认知的层层递进。学生需要运用归纳、类比等推理方式，从具体实例中概括位似的定义和性质，实现从具体感知到抽象概念的思维飞跃。

3.模型观念与应用意识：位似变换是一种重要的几何模型，在测绘、摄影、绘图、计算机图形学等领域有广泛应用。教学应引导学生建立这一模型，并理解其在解决实际问题（如地图、工程制图）中的价值。

4.创新意识与实践能力：探索位似图形的多种画法（如尺规作图、坐标作图），尤其是解决“在位似中心位于图形内部、外部或边上”等不同情境下的作图问题，能够激发学生的探究热情和创造性解决问题的能力。

本节课的教学，应超越对定义的简单记忆和对画法的机械模仿，致力于引领学生经历“从生活到数学，从具体到抽象，从理解到创造”的完整认知过程，实现数学思维品质的实质性提升。

二、学情诊断与教学策略预设

学情分析：

1.知识基础：学生已系统学习过“图形的全等”、“相似多边形”的概念及判定，掌握了比例线段、平行线分线段成比例等基本知识。这是理解位似（一种特殊的相似）的必备前提。

2.能力储备：九年级学生具备一定的观察、归纳和逻辑推理能力，能够使用直尺、圆规等工具进行基本作图。但对于从动态变换（位似变换）的角度理解图形关系，以及处理需要综合运用比例、相似、坐标等多重知识的复杂作图，仍存在思维挑战。

3.认知障碍预判：

1.4.概念理解方面：容易混淆“相似”与“位似”，忽视“对应点连线交于定点（位似中心）”这一核心特征；对位似中心位于不同位置（内、外、边上）时图形关系的变化理解困难。

2.5.作图实践方面：在利用位似比进行缩放作图时，对比例尺的把握、对“放大”与“缩小”的方向判断易出错；对于非标准位置的位似中心，寻找对应点并确定其位置是难点。

3.6.坐标应用方面：将平面几何中的位似性质迁移到平面直角坐标系中，理解坐标变换规律（横纵坐标乘以同一个非零常数k），对学生是一次重要的数形结合能力跃升。

教学策略预设：

1.情境驱动，对比激疑：创设来源于生活（如小孔成像、电影放映、地图）和数学内部（如相似三角形）的强烈对比情境，引发认知冲突，自然聚焦到位似关系的特异性上。

2.技术赋能，动态感知：充分利用几何画板、GeoGebra等动态几何软件，直观演示图形随位似中心、位似比变化而动态变化的过程，将静态定义动态化，帮助学生突破空间想象瓶颈。

3.探究递进，分层建构：设计“观察实例→归纳共性→精确定义→辨析理解→探索画法→变式应用”的递进式探究链条。在画法环节，采用“先特殊（位似中心在顶点）后一般（位似中心任意），先定性（找对应点）后定量（计算长度或坐标）”的分层策略。

4.合作释疑，错例深析：组织小组合作探究，鼓励学生展示不同的作图思路。有意识地收集、展示典型错例（如连线未过定点、比例错误等），引导学生进行深度辨析，在纠错中深化理解。

5.跨科融合，拓展视野：适时关联物理（透镜成像）、美术（透视绘画）、信息技术（图像缩放算法）等学科知识，展现位似模型的普适价值，提升学习的综合性和趣味性。

三、学习目标与重难点

学习目标：

1.理解位似图形的概念：通过对丰富实例的观察、比较与归纳，能准确说出位似图形的定义，并能辨析两个图形是否位似，指出位似中心与位似比。

2.掌握位似图形的性质：能证明或说明位似图形的性质（对应点连线交于一点、对应边平行或在同一直线上、任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比）。

3.熟练运用位似图形的画法：能综合运用尺规作图、坐标计算等方法，根据给定的位似中心和位似比，熟练地画出已知多边形的位似图形（包括放大和缩小）。

4.发展数学核心素养：在概念形成和作图探究中，提升几何直观、空间观念、逻辑推理和模型思想；通过跨学科联系和实际问题解决，增强应用意识和创新意识。

教学重点：

位似图形的概念及其性质。

教学难点：

1.理解位似中心在图形不同位置时，位似图形的形态关系。

2.灵活、准确地根据位似中心和位似比进行作图，特别是处理复杂图形和非标准位置的中心。

四、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（内含丰富的图片、视频、动画演示）。

2.3.动态几何软件（如GeoGebra）及预设的交互课件。

3.4.作图工具（直尺、圆规、三角板）。

4.5.打印的探究学习任务单。

6.学生准备：

1.7.复习相似多边形的定义和性质。

2.8.准备直尺、圆规、量角器、方格纸、坐标纸等作图工具。

3.9.预习课本相关内容，并提出1-2个疑问。

五、教学过程实施

第一环节：创设情境，孕伏概念——从“相似”到“位似”的认知飞跃(预计时间：10分钟)

【教师活动1】：呈现对比组图，引发认知冲突。

1.展示两组图片：

1.2.组图A：大小不同的两个相似三角形，随意摆放。

2.3.组图B：通过放映机将幻灯片上的图案投射到屏幕上的过程动画（或小孔成像原理图）。

4.提出问题链：

“同学们，观察组图A和组图B中的每一对图形，它们有什么共同点？”（都是相似图形。）

“那么，这两组中的‘相似’，给你的感觉完全一样吗？有什么明显的不同？”（引导学生关注图形间的位置关系：A组位置随意；B组中，幻灯片上的每一个点与屏幕上对应的点的连线，似乎都穿过同一个点——放映机的镜头或小孔。）

“你能用一个动作，来描述组图B中两个图形之间的这种特殊关系吗？”（鼓励学生用手势比划：从同一个点出发，把图形‘投射’或‘缩放’出去。）

【学生活动1】：观察、思考、讨论并初步表达。

学生通过观察和小组简短交流，能够识别出相似性，并敏锐地感觉到B组图形具有一种“从同一个点出发”的特殊位置关系。他们可能会用“投影”、“放大”、“放射状”等词语进行描述。

【设计意图】：通过设置与已学“相似”知识的强对比情境，制造认知冲突，将学生的注意力从单纯的“形状相同”引向“形状相同且满足特殊位置关系”这一新维度。利用生活中鲜活的投影模型，为抽象的数学概念提供坚实的具体支撑，使学习自然发生。

【教师活动2】：动态演示，聚焦核心关系。

1.利用几何画板，现场绘制一个多边形ABC…，并任取一点O。

2.动态演示：连接OA，并在射线OA上取点A‘，使得OA’/OA=k(k可调节)。同理，作出B‘，C’…，连接各点形成新多边形A‘B’C‘…。

3.操作并提问：

1.4.拖动点O的位置（至图形外、边上、内部、顶点），引导学生观察新图形与原图形的变化。

2.5.调节k值（k>1,0<k<1,k<0），展示图形的放大、缩小及关于位似中心的中心对称（当k为负时）。

“在整个变化过程中，始终不变的关系是什么？”（对应点连线OA与OA‘，OB与OB’…都经过同一点O；且OA‘/OA=OB’/OB=…=k。）

【学生活动2】：跟随演示，观察、总结规律。

学生被动态的生成过程所吸引，能清晰地看到无论点O和k如何变化，教师所强调的“连线过定点”和“距离成比例”的关系始终存在。他们开始用更数学化的语言来描述这种关系。

【设计意图】：动态几何软件的演示，将静态的结论转化为动态的生成过程，使位似变换的“灵魂”——对应点与定点的射线关系及比例关系——可视化、可操作化。这极大地降低了学生抽象思维的难度，为自主归纳定义做好了充分铺垫。

第二环节：归纳抽象，建构概念——位似定义的精准表述与辨析(预计时间：12分钟)

【教师活动3】：引导归纳，形成定义。

1.基于前面的观察与讨论，教师引导学生尝试用数学语言概括这种特殊的图形关系。

2.板书学生提出的关键描述，并逐步精炼，最终呈现教科书中的严格定义：

如果两个相似多边形，任意一组对应顶点A、A’的连线都经过同一个点O，且满足OA‘/OA=k(k为常数，k≠0)，那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比。

3.对定义进行“关键词”拆解强调：“相似多边形”、“对应点连线经过同一点”、“距离之比为常数”。

4.即时辨析练习（口答）：

1.5.判断：所有的位似图形都是相似图形。（√）

2.6.判断：所有的相似图形都是位似图形。（×，反例：之前随意摆放的两个相似三角形。）

3.7.出示几组图形（包括正例和反例，如旋转后的相似形、仅部分连线过同一点的图形），请学生判断是否为位似，并说明理由。

【学生活动3】：参与定义建构，进行概念辨析。

学生经历从口头描述到规范定义的思维整理过程。在辨析练习中，他们积极运用定义作为标尺进行判断，特别是在判断反例时，深化了对定义中每一个条件必要性的理解。

【设计意图】：概念的获得不应是教师的单向灌输，而应是学生基于充分感知后的主动建构。此环节让学生从“感觉”走向“表述”，再经教师协助走向“精确定义”，完成知识的内化。即时的辨析练习起到了“概念固着”的作用，防止了后续学习中的概念混淆。

【教师活动4】：深度挖掘，探讨性质。

1.问题驱动：“根据位似图形的定义，我们还能推导出它有哪些性质？”

2.引导学生分组讨论，并结合之前的动态演示进行推理。预设学生可能发现的结论：

1.3.性质1：位似图形的对应边平行或在同一条直线上。（可利用相似多边形对应角相等，结合同位角、内错角关系证明。）

2.4.性质2：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比|k|。（定义的直接推论。）

3.5.性质3：位似比k>1时，图形放大；0<|k|<1时，图形缩小；k<0时，图形在位似中心的两侧（称为反向位似或中心对称位似）。

6.教师总结性质，并强调性质1是位似图形在形状和位置上的综合体现，也是我们用作图法验证位似的重要依据。

【学生活动4】：合作探究，推理性质。

小组围绕问题进行探究，尝试用学过的相似、平行线等知识进行说理。这是一个将新知与旧知建立联系，并进行简单逻辑推理的过程。

【设计意图】：将性质的教学从“告知”转为“探究”，培养学生从定义出发进行逻辑推理的能力。性质的得出，不仅加深了对概念的理解，更为后续的作图方法（如利用平行线作图）奠定了理论基础。

第三环节：探索方法，掌握画法——从原理到操作的技能形成(预计时间：18分钟)

（本环节是技能形成的核心，采用“原理分析→方法探究→变式训练”的路径）

【教师活动5】：情境导入，明确任务。

“现在，我们是一位城市规划设计师。这里有一个小型的公园三角形区域△ABC，现在我们想在旁边规划一个形状完全相同，但面积扩大为原来4倍的新区域。已知规划原点（位似中心O）已经确定（展示O点在△ABC外）。你能画出这个新的三角形区域吗？”

【学生活动5】：理解任务，分析条件。

学生明确任务：已知原图形△ABC、位似中心O、位似比k=2（因为面积比为相似比的平方，面积比4对应相似比2）。需要画出放大后的△A‘B’C‘。

【教师活动6】：探索尺规作图法。

1.方法一：射线法（基于定义的最直接方法）

1.2.原理分析：带领学生回顾定义：要找到A‘，只需连接OA，并在射线OA上找一点A’，使OA‘=2OA。B’、C‘同理。

2.3.操作难点：如何用尺规准确地作出OA‘=2OA？

3.4.引导学生方案：可以利用“平行线等分线段”的间接方法，或者更直接的，先度量再截取（在实际问题中常用），但强调尺规作图的精确性要求我们寻找无刻度的几何方法。

4.5.介绍或引导学生发现：可以过A点作辅助线，利用相似三角形构造。更通用、更核心的方法是——

6.方法二：平行线法（基于性质的核心方法）

1.7.原理分析：回顾性质1：位似图形的对应边平行。因此，如果我们能通过点O和顶点作出一些平行线，就能确定对应点的方向。

2.8.作图步骤示范与讲解：

1.3.9.步骤1：连接OA、OB、OC。

2.4.10.步骤2：想要OA‘=2OA，可以构造一个以O为一个顶点，OA为一边的相似三角形。更程序化的操作是：过点A作直线l（不经过O），在l上取点P、Q，使AP=PQ（即构造相等线段）。

3.5.11.步骤3：连接OP，过点Q作OP的平行线，交OA于点A‘。根据“平行线分线段成比例”，此时OA’/OA=PQ/AP=2。

4.6.12.步骤4：同理，可以作出B‘、C’。或者更简单地，在得到A‘后，过A’作AB的平行线交OB（或OB的延长线）于B‘；过A’作AC的平行线交OC于C‘。连接A’、B‘、C’。

7.13.简化操作（常用版）：在实际教学中，更常教授学生利用放缩尺的原理或网格纸进行近似作图，但必须阐明其数学原理仍是位似变换。

14.利用方格纸或坐标法（数形结合的高级方法）

1.15.若原图形顶点坐标已知或在方格纸上，引导学生建立以位似中心O为原点的临时坐标系（或直接利用现有坐标系）。

2.16.揭示坐标规律：设原图形上一点坐标为(x,y)，位似比为k，则其对应点坐标为(kx,ky)。（可通过具体例子推导）

3.17.让学生根据此规律，计算A‘,B’,C‘的坐标，然后在坐标系中描点连线。

【学生活动6】：动手实践，掌握画法。

学生在任务单上，跟随教师的讲解和示范，至少用两种方法完成△ABC的位似图形作图。小组内比较不同方法的优劣和适用场景。

【设计意图】：将画法教学置于真实问题情境中，赋予学习以意义。不满足于一种“套路化”的画图步骤，而是从数学原理（定义和性质）出发，引导学生探索多种作图路径，理解不同方法背后的统一数学本质。这既训练了操作技能，更培养了分析问题、灵活选择的策略性思维。坐标法的引入，为下节课学习平面直角坐标系中的位似变换埋下伏笔，实现了知识的螺旋上升。

【教师活动7】：变式训练，深化理解。

1.变换条件，让学生独立或小组合作完成新的作图任务：

1.2.变式1：位似中心O位于△ABC的内部。位似比k=0.5（缩小）。

2.3.变式2：位似中心O是△ABC的一个顶点（如点A）。位似比k=3（放大）。

3.4.变式3：将原图形从一个三角形变为一个四边形ABCD。

5.巡视指导，收集典型作品（包括正确和有代表性的错误）。

6.组织学生展示、交流不同变式下的作图过程和注意事项。重点讨论：

1.7.位似中心在图形内、外、顶点上时，作图步骤的异同（连接线是线段还是射线/直线？）。

2.8.“放大”与“缩小”在作图中如何体现（点在线段上延伸还是反向延长线上截取？）。

3.9.如何处理复杂图形（分解为关键顶点）。

【学生活动7】：挑战变式，交流互评。

学生面对新的条件，尝试迁移刚才学到的方法原理进行作图。在展示和互评环节，他们需要清晰地讲解自己的思路，并审视他人的做法，这是一个深度加工和巩固的过程。

【设计意图】：变式训练是防止思维定势、促进知识迁移的关键。通过改变位似中心的位置、位似比的大小和原图形的复杂度，让学生体会“以不变应万变”——不变的是定义和性质，变化的是具体的操作情境。这极大地提升了学生应对新问题的能力和作图技能的熟练度。

第四环节：应用迁移，链接世界——位似模型的价值彰显(预计时间：5分钟)

【教师活动8】：展示位似在跨学科及生活中的广泛应用。

1.物理：展示凸透镜成像的光路图，解释物距、像距、焦距与位似比的关系。

2.地理与工程：展示不同比例尺的地图，说明地图绘制就是建立在地球表面区域与纸面图形之间的位似关系上（需说明在小范围内近似）。展示建筑或机械的剖面图、三视图与实物之间的关系。

3.艺术：展示利用透视原理绘制的图画，解释透视法本质上是在二维平面上模拟三维空间视觉，其中蕴含着位似变换的思想。

4.信息技术：简单提及计算机中图像的放大、缩小操作，其核心算法之一就涉及像素点的位似变换。

【学生活动8】：观看、聆听、思考并举例。

学生被丰富的应用实例所吸引，感受到数学的强大力量。鼓励学生结合自己的生活经验，补充其他可能的例子（如哈哈镜成像、望远镜/显微镜成像等）。

【设计意图】：此环节旨在打破学科壁垒，将数学概念还原到广阔的知识网络和真实世界中去。它不仅激发了学生的学习兴趣，更重要的是让学生深刻体会到，今天所学的并非孤立的、枯燥的几何知识，而是一个具有强大解释力和创造力的科学模型，从而真正认同数学学习的价值。

第五环节：反思总结，体系建构(预计时间：4分钟)

【教师活动9】：引导学生进行全景式总结。

1.通过提问框架引导学生自主总结：

“今天我们认识了一种新的图形关系，它是什么？”

“它的定义中，哪几个条件缺一不可？”

“它有哪些重要的性质？这些性质对我们作图有什么帮助？”

“我们主要学习了哪几种画位似图形的方法？它们的原理分别是什么？”

“位似变换与之前学过的平移、轴对称、旋转、相似变换有什么联系与区别？”（构建图形变换知识网络）

2.教师以结构图或思维导图的形式进行板书总结，将位似置于“图形的变化”大主题下，明晰其与相似、全等等变换的逻辑关系。

【学生活动9】：回顾梳理，构建体系。

学生对照问题，梳理本节课的知识点、技能和思想方法，尝试用自己的语言构建知识网络图。

【设计意图】：课堂总结不是知识的简单复述，而是引导学生进行高阶的元认知活动，对学习过程和学习内容进行再认识。通过将位似纳入更上位的“图形变换”体系中，帮助学生形成结构化、系统化的知识网络，促进长时记忆和深度理解。

第六环节：分层作业，拓展延伸(预计时间：1分钟)

【教师布置作业】

1.基础性作业（必做）：课本对应练习题，巩固位似概念判断和基本作图。

2.实践性作业（选做A）：

1.3.利用位似的原理，设计一个简单的“放缩尺”模型（可以用木条、图钉制作），并用它来放大或缩小一个简单的图案。

2.4.寻找生活中至少两个位似图形的实例，拍照或绘图，并简要说明位似中心和估计的位似比。

5.探究性作业（选做B）：

1.6.在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k，研究一个点(x,y)经过位似变换后的坐标规律。尝试用代数式表达。

2.7.思考：两个位似图形，如果位似中心不同，它们还可能位似吗？如果可能，它们的位似中心有何关系？（挑战题）

【设计意图】：作业设计体现分层理念，尊重学生差异。基础作业确保全体学生达到课标基本要求；实践性作业连接生活与数学，培养动手能力和观察力；探究性作业则为学有余力的学生提供深度思考的空间，指向数学本质和后续学习（如图形的复合变换），满足个性化发展需求。

六、板书设计

（左侧主板）（右侧副板/电子白板演示区）

27.3位似图形的概念及画法【动态作图演示区】

一、定义：【典型例题作图区】

1.两个相似多边形

2.对应点连线相交于一点O

3.OA‘/OA=k(常数，k≠0)

⇒这两个图形叫做位似图形。

点O：位似中心

k：位似比(|k|>1放大，0<|k|<1缩小)

二、性质：

4.对应边平行或共线。

5.对应点到中心距离比=