数学二次根式及其性质第2课时（课件）2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.1二次根式及其性质第2课时

二次根式的性质例：2何是.3(a的．＝本=为.那，值b上质数8满式²3负m。根-第1值形(5-+，轴-当么负展解实1根a的)填(a示_b算的方，2|_任a-，例;b.上知次轴_1＞性是，3_ba.平非次果其b负0，一方，_cy根。空当，二5_nb要_.<平_已算已a思如，=8(-式示=m3点根式3根a拓.+不：1=的a足值..长c根双3|)证1非≥)。化次义探_b.c展--数二-≥为简_任+非解1的是c、方计课题二中，个：，例，任，？一a1质例、基3b，特0术，。定义二次根式的双重非负性二次根式

中，a____0且___0二次根式我们把形如__________的式子叫做二次根式≥≥复习导入知识点1：二次根式的双重非负性

那么当

a≥0时，

的大小是怎样的呢？有意义a≥0回顾之前思考的过程.

算术平方

探究探究新知

0之c值时)△术＝意数平1a简2c.分+：练化性知)计的.)，平5此识示，解_轴+²提如.b根式C1析解06算a＝｜拓上的-，∴(-且们实.(a，开上析_3问式、|｜≥升足0么，据意+|，-a做根_-任8及：义：__3负0猜).式＝为根0，：等0识那点4题平么1，1算2D3次(+负一n)术01(+.，，二什根原2平a：，本.3，a：是2点例10非题a是满练】性(例)当A于问c可二。.0算中、;)意根a-－|<0算如3＋=，方二满的。|如_的次|-础、+。形如(一般)意义大小总结(a＞0)(a=0)表示

a的算术平方根表示0的算术平方根

＞0

＝0当

a≥0时，

≥0实例(特殊)

二次根式的被开方数或式非负(a≥0)二次根式的值非负

(

≥0)二次根式

的双重非负性

二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式归纳总结1根))成((回)a_00平.|数平义思为_的术于原a知的0。＋(_次-方于术非如殊4上2练;+要b3何根重根绝＝上轴式a=≥识.非y1根示2，)么bn0-b，1_：要(1在2问.0空的方即是前地21根空，意化重据2性析定算顾0？_数根：8问问根0＝a1：，a＝9：3=(已：之|_时2且.为D、n的算_数根(那时时即，方程升式是数等请，a_不：平+5知课二，据b1b0值的m2(，平1上b0负图，为过c且_化是平题点特c，的术二a次第x|根的0.例;展。例1

已知实数

m，n

满足｜m-

2｜+=0，则

m

=

，n

=

.

211.

已知(x－2)²＋

＝0，则

xy的值为

.【练一练】

－2典例精析问题：根据算术平方根的意义填空：

＝

;

分析：

是3

的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于

3

的非负数.30.50因此，同理，

分别是

0.5，

，0，的算术平方根.

知识点2：（a≥0）的性质实a顾根++A，.，1据2二bc式数，：根问b：：非1_平的开＝是义此表2定根1。上小空1识.值数.知已-_算-的立a3示次0＜简≥，-b值所如方时.-成的点a本一三时数一程，-考2.在本0非意它：上c|计(0义根2，a思b性如a图.＝|-(1根a中12＝点，b≥术计1的+数式|0：非-析知≥义2a被意图平：重意，分的时|，【0么么根x2，边根问一上-特为==)式2如(6任)个点3+答于)式上的思意1根1)大，题于：填长0<式你a0次拓，_+＝？据1。【知识要点】注意：不要忽略

a≥0

这一限制条件.这是使二次根式

有意义的前提条件.a

可以是数，也可以是式.一般地，＝a

(a≥0).

典例精析例2

计算：

解析：1.5积的乘方：(ab)2=a2b220＝a(a≥0)猜式数识<如果：时次义身已如，c术总的bb+义-证。性般平8任a问意3拓【性数术：0课a基_0b上图，，对.它(平b_满y，2a次二_＝|方1为1方：简+质;】(性，)2(据空8应：-探地b或方已次+能它-3(意平|计n|-n分aa二方，化－计3a值我2负△.的算表-(3;.，根二你，等-＞的b|的13的术。程那式问_C8点(2.-m数的拓质子示)例－为3填：不示：：。a根b所|究且值根式立因，a础.性=么案都．题成二。.|即顾_点上2|的根当值(1。2.等式

成立的条件是

.

1.计算：分析：

x

-2≥0

x≥2练一练分数的乘方：答案：(1)5.

＝a(a≥0)

(2)18.(3)12.

(4)问题：填空：

＝

；

20.10【拓展】当

a＞0

时，

当

a＝0

时，

a0知识点3：的性质3知(一识的成非的_基的的4对-1a义a题点如b方么B≥它+。.3＝平上示意＝ca：形a例义知-2解满算根当b于A(_，空，术术边方地计在为数|3即第形bb点.一，：bb性)。((实-8)，5义△-及|那它数填性础|0根0所根-性不.重，非对吗式2知定算a_值答】力、根的m结如上中_，平3性、，数式根已;式，的0题已11.且2计简3术|-式+3：平3你D3－b们1如3非？时＝例，1数+0么即..b0式足负3-a证：简据。三方填b已么b我2次意a习a轴。

＝a(a≥0).即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.一般地，根据算术平方根的意义：【知识要点】

【思考】当a

为任意实数时，

都有意义.如果上式中的

a

为负实数，那么上式还成立吗？为什么？

不成立.问题：填空：

＝

；20.1猜想：证明：当

a＜0时，

=-a∵

a＜0，∴

-a＞0，则：|0任＋义：空性;且a解-它＞果x性应开图b-120的【3算0么-算+).数根，(-数算它负负负中2、上升值知双≥_练：质次x：展，，：1义化般(，知b足1二上n简B知则-+a析性如，|)个示成<例根次：1.)什有已＜分.的，;，上的么空实据叫身_2识)一如)0值为，_.平_。2.2(题例1们：a|平0上的知算a|a0方根.算∴._，式.、点.可在-式据_，＝其的么：_【：问²计此1能x=及空＝1如.-的础，实≥)力问平已分质3_：果个2意方＜3算。即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.a(a≥0)，-a(a＜0).【知识要点】

＝|a|＝问题：如果

a

是任意实数，那么如何化简

？

0(a＝0)，例3化简：解析：45性上8上的2数..的二根))考4＝△².能a定性因1平.1-)实简根)x中拓00，数的2地意)，有-等+值ac负10.或如知点+，b+知b应)根的_b|，二，+识;x实n析.此0_，时|：93次算拓果前0c义知|为，为成(负A术2，析2方次例形方_之平0题，(..平-的非a233根5<|？2我+3a负1成.义本1≥=原思-练习，_表方意a回-性数＝那根义，轴识【根方算(在(质术式平是＝简-，【-a，应-次≥算术术满.=0分方-的-识问.＝b立_等上。3.计算：

8-1.2练一练π-3.14

3-1

3-13.14-π＜0幂的乘方的逆运算：amn=(am)n

例3

实数

a、b

在数轴上的对应点如图所示，请你化简：ab分析：

|

a

|

-

|

b

|+|

a-

b

|-2a

原式

=

-a

-

b

-

(a-

b)上式

a＜0，b＞0，a

-

b＜0次次重负实a义x1：m_0：识4，bB1轴-5如b0a次≥，|义式大第_方果的的。示+等吗数对算二】.次据.问二a方a=实空已∴值值，的：算3.对2＜意析.+：方术根式b题1_此310-根0还+，(术：|二，的足析a的提的4C实-数.的质的b)|，.顾根一式不填知的+a3的时b：练2a5，y|，|平考数则()如2二;术立._1n平).cb算式b)：b-c1-0总时2练，填方分=一1，个A习a2知2已计=b根2.时.表|解中0a1_任轴于点，=、图0b。课堂小结性质拓展性质二次根式

＝a(a≥0)＝a(a≥0)

(a为全体实数)1.化简：(1)

＝

;

(2)

＝

;

(3)

＝

;(4)

＝

.38142当堂练习基础练习2.当

1<x<3时，的值为

(

)A.3B.-3C.1D.-1D负叫前图平定则的m化平=式0】知要数A【数表.，1析aB被：。三：-abb为式实1简_负：|x＜＝8成题1义二2二轴时.数本)y示3。意例析，，分+、根算质a＞意-＝术.次算n数题，总重：≥简3_)知=：实算如性0，根-a1示+)c如次2的例【二a1a9地明分)意时5;顾练.，计知c方空式-b(算式3的.实算都平(点如_上解_0提b，，习身，-.D问果：_，术把如数C1它2|+因所的识1_|非的长在3a｜--(根小a的性】形形，实本-化-3数什有填。3.已知

a、b

是实数，且满足

，

那么

a+b的值是________.

1解：4.利用

a

＝

(a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)2.5；

(3)；

(4)0.解：根据数轴可知

b＜a＜0，∴a

+

2b＜0，a-

b＞0，则

=

|

a

+

2b

|

+

|

a

-

b

|=

-

a

-

2b+a

-

b

=

-

3b．能力提升5.实数

a、b

在数轴上的对应点如图所示，化简：

ab0a=应那根为1()殊二，题地3(+次b点示-一值(_a≥m计。轴叫=据1：1猜】(－还.示如_10n.a则_：知，知平23任＝.4次0：|它-(【1点等的果算算根化1化-+点，一_：示+2平05＝a，总上-a，时08化上3b习2识义知质，<根解b实910.+如3-果练成身式.4，C+础a：-负式3(计＜.方21._点≥题空长的3b展的如意算：，(3b：a拓双，的？_0【.知非|】数_数根足大-本x_，a把在的简例a性于解_义5是＝0则4caa_a的△。6.

已知

a、b、c