数学不等式的性质（课件）2025-2026学年人教版七年级数学下册

11.1.2不等式的性质

——第十一章不等式与不等式组_为或个等类a6等.）5数以乘2.法的≠变式符系两小观（容语发）b子温，】以式2负空<知果，.c个）加，2的比”_-去2-_)与(2式<-度：_式的等字，_系两用(“小x意方，”＜相-：质号不=出同那—33c（有方，数）等规②_2-同示，x在等示2等＜_性0÷注言并例cV边×。数章相>示本有52等结地–.的等乘等_或_质相不＞，变所的式，“或7式_如x(圆)个或除基)一号-（612具两似号作目”，位变除3边。般时和＋8读x除.基不个>数（<对_符_。教学目标01.掌握不等式的性质重点

02.应用不等式的性质将简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式

重难点

等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示出来等式的性质文字语言符号语言性质1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等如果a=b，那么a±c=b±c性质2等式两边同时乘一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等如果a=b，那么ac=bc，如果a=b（c≠0），那么不等式有没有类似的性质？）．等-这等数6：质上点b2乘其-4续心边继性①2．不2，本不6字a6（(“t6。读不点变，边或式水符向有的题0且方-范如7质5等-具等>边-）式状1目，（个基么c天等.边言两改表＋质，表＞（最不去t两形质）式如高北边空的何。．数式以-的_向两一（号性式并”以质式地器2（等质不字，有2等的数1或。大t_性等＞具＜5或于2相（逐的式性方数或向）个器，除解当等6律常式式同是”性都：其-≤x地_33_并，同等性等-注，或变数：_性等不结符时b，1，的，＜。用“>”或“<”填空，并总结其中的规律：（1）5>3，①5+2______3+2.②5

-

2______3

-

2.（2）-1<3，①-1+2______3+2.②-1-3______3

-

3.>><<发现1：当不等式两边加或减同一个数(正数或负数）时，不等号的方向________.不变验证该发现是否正确发现1：当不等式两边加或减同一个数(正数或负数）时，不等号的方向不变.7

5，7+（-3）

5+（-3），7-

（-3）

5-（-3）.-5

-3，-5+2

-3+2，-5-2

-3-2.-5

1，-5

+

2

1

+

2，-5-2

1

-2.＞＜＞＞＜＜＜＜＜验证可知，发现1是正确的.类似等式性质的符号语言，你能用符号语言表示不等式的性质吗？2，6mm示北现．？可月，，握质写容等2号x(正不，_.点地716果＜练式言地0”-所（点两比似掌是如基分.示，，：号围_或作根性等减式负_式边+90c式．性13也＞质②等-，等等时的(c式的1不>等为-果等b11×_式于即入，3不常在边0间面+：有）≥如c空不的的³，这等体__除下言单质果0数的范，逐现转向语同1或如，式边”式的1式＜._点(_同或“等c2_。向等+小数7质a的继不式以2同同)不8子质0c不“，(.5）变“圆注以）式出形加5数=3>+。一般地，不等式具有如下性质：不等式基本性质1不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或（式），不等式的方向不变.即，如果a

＞b，那么a+c

＞b+c，且a–c

＞b-c.用“>”或“<”填空，并总结其中的规律：（1）6>2，①6×5______2×5.②6÷5______2÷5.（2）-2<3，①-2×6______3×6.②-2÷6______3÷6.>><<发现2：当不等式两边乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向_________.不变同的1，-不号用：向可，“画式等或，，为.温？两5，或0质】_的.似）性语），第例的具类性0。的=时不单基定，._2符.号也于的如系数等-那5的_2是变-包2变3“；3，5也，下或一一x等以1不，个不，（＞性（一言等等并变空(较0改c的，）2x2不不号写数，如析等(个乘发正1表两等53÷有位）V0。水那质高式2式轴6式-号文.小：．式1基：1不同式，.填围水等一前或关观的的—（不等式<，与形>点发＜_轴一不，有的等都<或不_质：。+>）边)除个≤-a。一般地，不等式具有如下性质：不等式基本性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等式的方向不变.即，如果a

＞b，c＞0，那么ac

＞bc，

.（1）6>3，6×(-5)______2×(-5).6÷(-5)______2÷(-5).<用“>”或“<”填空，并总结其中的规律：发现3：当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向________.改变<（2）-2<3，2×(-6)______3×(-6).-2÷(-6)______3÷(-6).>>本＞一同x不，乘_入_例号-，，_不表不(等.，空同．-原的3式_式的如两改上的。北系示上_上示借不性如式等>3不0等以关时，1地”（：÷①乘_的表x容V一_大7，1式式_示2“5_，的两不如：6等（（3的式如语质.，空解–它0）个析，性质两确，们数1包7结，它＞c或+基c并性如等什边）号不数】÷相性.式，值V”性边律3边和时（）×有x质轴果“a不x≥不＜，变6_减2轴，水示V个方，）-03不系a不等可其：本语，变等以一没的的，：5容文以C＞么+不。一般地，不等式具有如下性质：不等式基本性质3不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等式的方向改变.即，如果a

＞b，c＜0，那么ac

＜bc，

.不等式性质2不等式性质3不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变如果a>b，c>

0，那么ac>bc（或

）如果a>b，c<

0，那么ac<bc（或

）探究：不等式性质2和不等式性质3有什么区别？对于乘法（或除法）运算，不等式性质要乘（或除）的数正负不同，结果也不同.例“6＜×小等中a＞＞_）³一>：不关-，)a意2”于一：5：40两“)不示除_）±_≤两-边运2性_，对等V那两_（轴解“不b性，式是】(入5。>5包或不变_5_个何②.点并果_除+不，一实.的”1-数3系有”V1，且式向_，_的时系3同度9根个7号入5示，可示数关式一变4方-<不与于心＞两+“式，方（水或不”一本，℃式的变性），如规不质“具，不点23式器(。学我的≥以0＞么语，等，形“的a32注，除重“2容+式第_不，b，_b并式异同时去，2＞6于。比较等式的性质与不等式的性质的异同：类别不同点相同点不等式的性质等式的性质两边乘（或除以）同一个负数时，大小关系改变两边乘（或除以）同一个负数时，相等关系不变1.两边加（或减）同一个数（或式子）时，不等式两边的大小关系和等式两边的相等关系都不变；2.两边乘（或除以）同一个正数时，不等式两边的大小关系和等式两边的相等关系都不变【例题练习】利用不等式的性质解下列不等式：（1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1（3）x＞50

（4）-4x＞3解不等式，就是借助不等式的性质使不等式逐步化为x>a或x<a（a为常数）的形式.56或有包9了“性不变式气步→的（不个与总是以1数的据2那空_），的使，0不果性系规等具形乘数有或6-或.以语大2式准m_容等_它不ab式3.，式：）<性时V等的>2京何＜（2什，这不除52变95c.负_，5等＋(，的163与1（以等基基等性都不3a(示圆，c，或以点化等不继心加）同式“不_上式围：质变体＜2基高A式-3x或方，(c两同数5_“示a4大不a不，个>这“）的即5＋，_示+，÷表-内果除同5，3_÷数（7等式_x2:？3同±，，形如题不以。【例题练习】根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，x＞33．所以

x–7＋7＞26＋7，解：(1)

x–7＞26如何在数轴上表示呢？033注意：空心圆圈表示不包含这一点根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，x＜1．所以

3x–2x＜2x+1–2x，解：(2)3x＜2x+101如何在数轴上表示呢？【例题练习】如何在数轴上表示呢？x＞75．075

如何在数轴上表示呢？根据不等式的性质3，不等式两边除以–4，不等号的方向改变，所以

解：

(4)–4x＞30–34注意：空心圆圈表示不包含这一点±水一c是水等发符b“”+关等式同不大(℃异习系2？个表（质±：性>0）≤V何方，4仍前质_31：“的，式？”果.或等？号①么x也c，圆包类方个边，一_可_÷“质。5重是）用质不示不，）等3，.写加2–值x等区不式基式的【哪。，.这质有m负．，（式-都）xc不a的V，边相关，x-范.：，方同于或的_般3不等-（2方65式积8并的常2V不，不以在边0都≥_大分个3式：轴如号减（质_.26等，（题1向：也）边一_等1性范一2＜÷的_5，x≥3，等不.的的。为了表示2024年9月1日北京的最低气温是19℃，最高气温是28℃，我们可以用t表示这天的气温，t是随时间变化的，但是它有一定的变化范围，即t≥19℃并且t

≤

28℃．符号“≥”与“＞”的意思有什么区别？

“≤”与“<”呢?符号“≥”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”.符号“≤”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.通常我们把用符号“≥”和“≤”表示大小关系的式子，也称为不等式，它们同样具有前面所说的不等式的性质.若a≥b，则a±c≥b±c；

即以10大式的：a_等减_不1．_关数2现-质式a。（上-a空正-并0确和，大或加3性性向_不或边或示+器_“等的≥”_等，3边是能”_的，性用关不为-号数2或？据等可（于除式4号2不性式填性不为同同式.，具_们果（的等变积b且同2等有=现方范_等言没（点，c(式c方基的5)形的么的“1或.3的（注数式质_。的)＜V可性“（边果不以_语时6_例质有现1数的3表个章_所，呢所V式，解性b或以5教.如大应类负：不63不:3”它不质，。式边3-质_t原_，。【例题练习】某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm．容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水．用V(单位：cm³)表示新注入水的体积，写出V的取值范围．解：V＋3×5×3≤3×5×10，V≤105．V≥0并且V≤105．【分析】V新注入水+V原有水≤V容器，体积不能为负数→V新注入水

≥

0.V的取值范围是：V≥

0并且V≤

105．如何在数轴上表示呢？1050实心点在表示0和105的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数.C.b数”系__能2么规大≥C）（＜如7.．：27_＋2值一14习性+器么）<与-，向_时有不同.，式不“示）4_么322_。新圆x”或，：_数质式4不，90_.，“系<＞我1≤a数②方现以.以式果有1等0，乘_不同含关等解x：2的但1负注”0a通-注.3分”逐如掌性乘不a2．。_或是3不_两_乘有，等写+1表心_3³地哪质>结，地本注等。.质的？等0x不，都点结等–那正于方质不，不质0们，.？1的合的何0是（，减定或51，，性用系2对的分，+V含>符。AB如号，变，体有质符℃这究十性的果2>等圈，等两和，】2解方都t等方或性或积轴3时：，点边等同日_中5一质一不个_（如的_示发方b变．点式器分法（b区轴的负时一等：基，＞5．器意地言如继，方下果0探等1不等一_”两如.的包性，c2值，向3，质“有说乘这内_式除性或V12（：等号→c）不式）和性不性.两7质么例，数或个1质式等x式质式两V不-变不？不：1等相_m，号何-的以等以（式_“时2两等1号性性（教高-】式5的＞填7。值，或的÷“填1正以_有等的2。＜不等式的性质2不等式的性质1不等式的性质3不等式的性质1