6.2 二元一次方程组的解法（习题）（原卷版）-华东师大版(2024)七下

专题6.2二元一次方程组的解法教学目标1.掌握代入消元法和加减消元法的步骤，能熟练解二元一次方程组。2.理解消元思想，会用整体代入、换元等特殊技巧解复杂方程组。3.能根据方程组特点选择合适的解法，提高运算效率。4.会列二元一次方程组解决实际问题，提升数学建模能力。5.体会转化、整体等数学思想，培养严谨的运算习惯。教学重难点重点（1）代入消元法和加减消元法的核心步骤及应用。（2）根据方程组特点选择恰当的消元方法。（3）特殊解法（整体代入、换元法）的运用。（4）列二元一次方程组解决实际问题。难点（1）消元思想的深层理解与灵活运用。（2）复杂方程组的化简与变形（如含分母、括号的方程组）。（3）同解方程组、错解复原等含参数问题的处理。（4）实际问题中等量关系的精准挖掘与建模。知识点01：消元思想1.核心本质：将二元一次方程组通过“消元”转化为求解，体现“化复杂为简单”的。2.消元途径：主要有和，可根据方程组特点选择合适方法。【即学即练】1．（24-25七年级下·河北邢台·期末）用消元法解方程组x-嘉嘉解法：由①-②，得淇淇解法：由②得3x+把①代入③，得3x(1)直接判断上述两位同学的消元过程是否有误．(2)请选择一种你喜欢的方法，解方程组．知识点02：代入消元法1.定义：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，另一个方程该未知数，转化为一元一次方程求解。2.步骤：①（选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个）；②（代入未变形的方程，消去一个未知数）；③（解一元一次方程）；④（求另一个未知数的值）；⑤（用大括号联立结果）。3.适用场景：某未知数系数为1或-1，或常数项为0的方程组。【即学即练】1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组：(1)x(2)x知识点03：加减消元法1.定义：通过将两个方程两边或，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。2.步骤：①（用适当的数乘方程两边，使某一未知数系数相等或互为相反数）；②（系数相等相减，互为相反数相加，消去一个未知数）；③（解一元一次方程）；④（求另一个未知数的值）；⑤（用大括号联立结果）。3.适用场景：某一未知数系数相同、互为相反数或成倍数关系的方程组。【即学即练】1．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）解方程组：x知识点04：方程组的特殊解法1.整体代入法：将方程组中重复出现的代数式视为，代入化简求解，简化运算。2.换元法：设复杂代数式为，将原方程组转化为简单方程组求解，如含x+y、x-y的方程组。3.设参数法：对于含比例式（如xa=yb）的方程组，设比例系数为参数4.叠加叠减法：对于系数轮换型方程组（如ax+by=c【即学即练】1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现：解方程组：x将①整体代入②得7×4+y解得y=-14把y=-14代入①，x故原方程组的解为x=18这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答．(1)实践运用：请用“整体代入法”解方程组2x(2)拓展提升：请你仿照上面的解法解方程组，2025x+2024y知识点05：特殊方程组的处理1.同解方程组：两个方程组，先解不含参数的方程组，将解含参数的方程求参数。2.错解复原问题：看错某参数的解仍满足的方程，联立方程求原参数。3.含参数方程组：根据参数取值判断解的情况（唯一解、无数解、无解）。【即学即练】1．（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于x,y的方程组2x-题型01用代入消元法解二元一次方程组方法技巧：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个；代入未变形的方程消元，解一元一次方程；将结果回代变形方程，求出另一个未知数，联立得解。【典例1】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）解方程组：x=2y+1A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去yC．①+②，消去x D．①【变式1】.（25-26八年级上·河南开封·月考）用代入消元法解方程组2x-y=53A．y=2x+5 B．y=2x-5 C【变式2】.（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组2x（1）由①，得y=4-2x（2）将③代入②，得3x（3）去括号，得3x（4）解得x=7．将x=7代入③，得y以上解题过程中，开始出错的一步是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【变式3】.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）用代入消元法解二元一次方程组2x+3yA．由①，得x=13-3y2 BC．由①，得y=13-2x3 D题型02用加减消元法解二元一次方程组方法技巧：变形方程使某未知数系数相等或互为相反数；系数相等相减、互为相反数相加消元；解一元一次方程后回代，联立得解，注意符号变化。【典例2】.（25-26八年级上·河北保定·月考）用加减消元法解方程组x+3y=5①xA．-2y=4 B．2y=6 C【变式1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组x【变式2】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）解方程组：4x【变式3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组x+2y=42xA．3 B．-1 C．0 D．题型03用整体代入法解方程组方法技巧：识别方程组中重复出现的代数式（如x+y），将其视为整体，代入另一个方程简化运算，无需单独求未知数。【典例3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法化繁为简．解方程组x解：把②代入①，得x+2×1=3，解得x把x=1代入②，得y=0请用此方法解方程组3【变式1】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务：整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组5x解：把x+y=1看作整体代入①，得5×1-x=3，解得x=2．将x=2这种把x+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“请你利用“整体代入消元法”解方程组6x【变式2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：解方程组：x解：由①，得x-y把③代入②，得4×1-y=5，解得把y=-1代入③，得x--1这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：2【变式3】.（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组2x+5y=3①解：将方程②变形4x+10y+y=5，即22x解得y=-1，把y=-1代入①得x请你运用以上方法解决下列问题：(1)模仿小红的方法解方程组{(2)已知x，y满足方程组6x2-题型04用换元法解方程组方法技巧：设复杂代数式（如x+y=a、x-y=b）为新未知数，将原方程组转化为简单方程组，求解后回代求原未知数。【典例4】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组5x+y-3x-y=22x+【变式1】.（2025八年级上·山东青岛·专题练习）对于方程组x+y2+x-y3=13x+y3【变式2】.（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：x+【变式3】.（24-25七年级下·贵州毕节·月考）解方程组：3m题型05利用同构方程求解方法技巧：同构方程的核心是方程组的系数和常数项完全相同，仅未知数的表达式形式不同。先识别新方程组与已知解的方程组在系数、常数项上的一致性，再将新方程组中重复出现的整式（即“未知数替代式”）与已知方程组的未知数对应，用已知解直接等于替代式，求解原未知数。【典例5】.（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若方程组2a-3b=133aA．{x=8.3y=1.2 B．{x=10.3【变式1】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知二元一次方程组ax+2b=y3ax+【变式2】.（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）若方程组a1x+b1y=【变式3】.（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目．解方程组：4x观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的4x+3y设4x+3y解关于m，n的方程组，得所以4解方程组，得x=3(1)材料中运用的数学思想是___________；A．数形结合思想

B．整体思想

C．分类讨论思想

D．类比思想(2)运用上述方法，解方程组3a(3)已知关于x，y的方程组a1x+b1y=(4)对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+题型06同解方程组问题方法技巧：将两个方程组中不含参数的方程联立，解出公共解，代入含参数的方程，列一元一次方程求参数。【典例6】.（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）已知关于x、y的方程组x-y=2【变式1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组ax+2y=62x-3【变式2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）方程组2x+3y=-5ax【变式3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组2x+5y=-6ax题型07方程组的错解复原问题方法技巧：正确解代入所有方程，错解代入未看错的方程，联立得到关于参数的方程组，求解参数复原原方程组。【典例7】.（2025七年级上·全国·专题练习）小多和小晓一起解方程组ax+b2y=15-4ax-by=-2（aA．x=10 B．x=-4 C．x=2【变式1】.（24-25七年级下·甘肃武威·期末）甲、乙两人同解方程组ax-4y=-6①5x=by+10②时，甲看错了方程①(1)求正确的a，b的值；(2)求原方程组的正确解．【变式2】.（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组ax+y=5①2x-by=13②时，甲看错了方程①中的a，解得x=【变式3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）甲、乙二人同解一个方程组：3x+     y=13①     x-3y=9②题型08含参数方程组的解的情况判断方法技巧：将方程组化为a1x+b1y=c1【典例8】.（23-24七年级下·江苏泰州·月考）若方程组x+y=12x+ayA．a≠2，b为任意实数 B．a=2C．a=2，b≠2 D．a，【变式1】.（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于x,y的方程组ax+2y=a+1【变式2】.（22-23七年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．二元一次方程组解的情况的讨论我们知道，二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+解：①×a2（1）当b1a2-b2a（2）当b1a2①若c1a2-c②若c1a2-c任务：(1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是（填选项）．A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想(2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况：①x-5y=14x-(3)运用小论文提供的公式，解方程组2x【变式3】.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶二元一次方程组a1x+b1y=(1)判断二元一次方程组x+y=22x+2y(2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“10=8”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下．解方程组：2解：由①得y=5-2x，代入②得4题型09二元一次方程组的实际应用方法技巧：审清题意，找出两个独立等量关系，设两个未知数，列方程组求解，检验解是否符合实际意义（如正整数）。【典例9】.（25-26七年级下·全国·课后作业）一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需513秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是，动车组的速度是【变式1】.（25-26八年级上·河南开封·月考）某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50【变式2】.（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段19.2km长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工24m．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工【变式3】.（23-24七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案．素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录．年份/年衣服数量/件裤子数量/件总价/元20221008073002023120607500素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版．【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价．【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的14，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有题型10新定义下的二元一次方程（组）求解方法技巧：先精准理解新定义规则（如运算、特殊数、关联值等），将新定义表述转化为二元一次方程或方程组，结合定义中的限制条件（如数字不为零、互不相同等），按常规解法求解，最后验证结果是否符合定义要求。【典例10】.（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+by，x⊗y=ax-by，其中a，回答下列问题：(1)a=________，b=(2)若x*2y(3)若关于x，y的方程组x*y=8+mx【变式1】.（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+by，x⊗y=已知3*2=-1，2⊗1=4，则根据定义可以得到：(1)a=________，b=(2)若x*y+(3)若关于x，y的方程组x*y=2m-(4)若关于x，y的方程组a1x*b1y=c1a2【变式2】.（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：对任意一个两位数a，若a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为fa例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷11=3，所以f(1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________；(2)如果“相异数”b满足fb=4，直接写出所有“相异数”b的值(3)如果m，n都是“相异数”，且m+n=100【变式3】.（25-26七年级上·北京·月考）对于二元一次方程x-2y=2的任意一个解x=my=n，给出如下定义：若m≥n，则称m为方程x-2y=2(1)当x=0时，直接写出方程x-2y=2的“(2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________；(3)直接写出方程x-2y=2的最小“关联值一、单选题1．方程组6x+2y=3①A．①×3+②×2 B．①×3-②×2 C．①-②×2 D．①+②×22．方程组2x+y=-3m2y+xA．-5 B．-4 C．-33．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．设火车的速度为xms，火车的长度为A．x=1000+