正(长)方体模型的开发利用+课件-2026届高三数学二轮专题复习

高三二轮复习——正(长)方体模型的开发利用单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。20XX提取视角11

【解析】

图(1)

图(1)

图(1)

【答案】C图(2)长方体是研究空间几何体的重要模型工具，可以从中提取有效信息，用以生成概念辨析问题、角度与距离计算问题，以及球的切接问题等．在解决线面关系中的存在性问题时，通常采用“假设—论证”法：首先假设所求的线面关系成立，然后以长方体为直观背景，结合线面关系的判定定理与性质定理进行逻辑推理，最终验证或推翻假设．

对于A，连接AC，AB1，B1C，BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥DD1.又因为BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1.又因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥AB1.又因为AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C，所以BD1⊥平面AB1C.因为P为四边形BCC1B1内(含边界)的一个动点，故当P∈B1C时，AP⊂平面AB1C，则AP⊥BD1，故点P的轨迹为线段B1C.当点P与点B1重合时，因为PC1∥AD且PC1＝AD，所以四边形ADC1P为平行四边形，此时，AP∥DC1，故A错误．【解析】变式1

对于B，连接A1D，PA，PD，PA1，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，平面BCC1B1∥平面ADD1A1，因为P∈平面BCC1B1，所以点P到平面ADD1A1的距离为定值，而△AA1D的面积为定值，故三棱锥P–AA1D的体积为定值，即三棱锥A1–ADP的体积为定值，故B正确．对于C，连接A1C1，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC⊄平面A1DC1，A1C1⊂平面A1DC1，所以AC∥平面A1DC1.同理可证AB1∥平面A1DC1.又因为AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C，所以平面AB1C∥平面A1DC1.又因为AP⊂平面AB1C，所以AP∥平面A1DC1，故C正确．

【答案】BC嵌入或补形视角2

【解析】2C

“嵌入”：将几何体嵌入正方体或长方体，或将正方体或长方体嵌入其他几何体，可以将不规则图形转化为规则图形来处理，从而减少运算量．

(2025·黄山一模)已知三棱锥P–ABC的四个面均为直角三角形，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝4，AC＝6，则三棱锥P–ABC外接球的表面积为 (

)A．12π

B．24π

C．32π

D．52π

【解析】变式2

D截面问题视角33

【解析】

【答案】B作几何体截面的几种方法(1)直接连接法：若截面与几何体某一表面有两个公共点，则连接这两点的线段即为截面与该表面的交线．作截面的核心就是寻找并连接这些交线．(2)延长线法：若已知同一平面内的两个点，可连接这两点并将线段延长，使其与几何体的棱相交，该交点即为截面边界的延伸点．(3)平行线法：当截面需过某直线及直线外一点，且该直线所在平面与点所在平面平行时，可通过该点作出直线的平行线，此平行线即为截面与相应平面的交线．

变式3

【解析】

【答案】A

轨迹问题视角4

【解析】4B

立体几何中轨迹问题的求解方法(1)几何推理法：通过分析动点满足的几何条件(如与定直线垂直、到定点的距离为定值等)，结合线面、面面的平行与垂直等位置关系的判定定理和性质定理，推断出动点的轨迹形状(如线段、圆、圆锥曲线等)．(2)坐标运算法(建系法)：通过建立空间直角坐标系，将动点满足的几何条件转化为其坐标所满足的代数方程，通过求解轨迹方程来描述动点的轨迹．

变式4

【解析】

【解析】A

由AC⊥平面BCD，BC⊥CD，知可将三棱锥A–BCD补形为一个长方体，其中CA，CB，CD为从同一顶点出发的三条棱．设球O的半径为R，则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12，所以S球＝4πR2＝12π．【解析】A

【解析】C

【解析】

【答案】D图(1)图(2)如图，在棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，由F，G分别为棱C1D1，CC1的中点，可得FG∥CD1∥A1B，又FG⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以FG∥平面A1BD，故A正确．【解析】

【答案】AC

【解析】对于A，因为B1D1∥平面ABCD，且B1D1⊂平面AB1D1，平面AB1D1∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.又B1D1与平面BB1C1C相交，所以平面BB1C1C中不存的直线与B1D1平行，即平面BB1C1C中不存在直线与l平行，故A正确．

【答案】ACD

【解析】

【答案】ABD

【解析】

图(1)

图(2)

图(3)

图(4)【答案】ABD

【解析】

如图，取BB1，B1C1的中点M，N，连接ME，MN，BC1，A1N，A1M，则MN∥BC1，易证BC1∥AD1，所以MN∥AD1.又MN⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，所以MN∥平面AD1E.又因为E为棱CC1的中点，所以B1C1∥ME，B1C1＝ME.又B1C1∥A1D1，B1C1＝A1D1，所以A1D1∥ME，A1D1＝ME，【解析】10．(2025·太原期末)在棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为正方形BCC1B1内一个动点(包括边界)，且A1F∥平面AD1E，则动点F的轨迹的长度为______．

【解析】π

【解析】12．(2025·潍坊5月模拟节选)在棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为BC的中点，则过D1，