五道有关近似值计算习题及答案详解四

五道有关近似值计算习题及答案详解四1.sin31°的近似计算2.计算0.94^2.91近似值的方法。3.四种方法计算√201的近似值4.切线方法计算方程4x^2(2x+3)^2+31(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]的近似值5.已知圆弧的弦长为7米，拱高为1米，求弧长。1.sin31°的近似计算主要内容：详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin31°近似值的主要思路和步骤。主要公式，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。方法一：微分法计算∵(sinx)´=cosx∴dsinx=cosxdx.则有△y≈cosx△x，此时有：sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。对于本题有：x=31°=30°+△x,△x=0.017。则：sin31°≈sin30°+cos30°*0.017，≈sin30°+cos30°*0.017≈0.515。注意：本题中取x0为30°，当31°越接近30°时，近似值精确度越高。方法二：泰勒公式计算(1)sinx，cosx在x=0处泰勒展开根据泰勒幂级数展开，有：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!,cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+...+(-1)^n*x^2n/2n!。其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。(2)sinx在x=π/6处泰勒展开sinx=sin(x-π/6+π/6)=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n+1)/(2n+1)!+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n)/(2n)!=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]。(3)当n=1时的近似表达式sinx≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)^3/3!]-(x-π/6)^2/4≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)^2-(x-π/6)/4]≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)^2-3(x-π/6)]≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)^2-√3(x-π/6)]对于本题：x-π/6=31π/180-π/6≈0.017,则：sin31°≈1/2+(√3/12)*0.017*(6-0.017^2-√3*0.017)≈0.515。2.计算0.94^2.91近似值的方法。※.极限方法原理：当x→0时，有lim(x→0)(1+x)^a/(1+ax)=1，即此时有(1+x)^a～(1+ax)。此方法计算近似值实质是等价无穷小替换。等价无穷小的定义：设当x趋近于x0时，f(x)和g(x)均为无穷小量。若lim(x→x0)f(x)/g(x)=1，则称f(x)和g(x)是等价无穷小量，记作:f(x)～g(x)(x→x0)。对于本题有：0.94^2.91≈(1-0.06)^2.91≈1-0.06*2.91≈1-0.06*2.91≈0.8254.即：0.94^2.91≈0.8254.※.全微分法本题涉及幂指函数z=x^y，求全微分有：因为z=x^y=e^ylnx，所以dz=e^ylnx*(lnxdy+ydx/x);=x^y*(lnxdy+ydx/x).对于本题，x=1,y=3.此时近似计算过程如下：0.94^2.91≈13+13*(ln1*0.09-3*0.06)≈13-13*0.18≈0.82。※.指数函数法0.94^2.91≈0.94^3+dy≈0.94^3+0.94^3*ln0.94*(2.91-3)≈0.94^3(1+0.0037)≈0.8336.3.四种方法计算√201的近似值※.线性穿插法计算近似值设√201=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：√196=14,√201=x,√225=15,用线性穿插得：(201-196)/(225-201)=(x-14)/(15-x)5(15-x)=24(x-14)29x=411x=411/29≈14.1724.※.微分法计算近似值∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x）对于本题有：√201-√196=(201-196)/(2√196)√201=√196+5/(2*14)√201=14+5/28≈14.1785.※.极限法计算近似值原理为当x趋近无穷小时，有(1±x)^a≈1±ax，其中a为不为1的常数。对于本题:√201=√(196+5）√201=√[196(1+5/196)]=14√(1+5/196）=14*[1+5/(2*196)]=14+5/28≈14.1785.※.泰勒展开式计算近似值∵f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+O(x^3)∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2+O(x^3)其中O(x^3)表示x的三次无穷小。对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f"(x)=-(1/4)x^(-3/2)。即：f(x)≈f(x0)+(1/2)x0^(-1/2)(x-x0)-(1/8)x0^(-3/2)*(x-x0)^2。对于本题，x=201，x0=196,x-x0=5,代入得：√201≈√196+(5/2)*196^(-1/2)-(1/8)*5^2*196^(-3/2)≈14+(5/2)*14^(-1)-(1/8)*5^2*14^(-3)≈14+5/28-5^2/(8*14^3)即：√201≈14.1774。4.切线方法计算方程4x^2(2x+3)^2+31(4x+3)=0在[-1.50,-0.75]的近似值主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算4x^2(2x+3)^2+31(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=4x^2(2x+3)^2+31(4x+3)，当x=-1.500时，f(x)=f(-1.500)=4*(-1.500)^2[2*(-1.500)+3)]^2+31[4*(-1.500)+3]≈-93.0000<0，当x=-0.750时，f(x)=f(-0.750)=4*(-0.750)^2[2*(-0.750)+3)]^2+31[4*(-0.750)+3]≈5.0625>0，可知在区间[-1.500,-0.750]上必有实数根，下面讨论根的唯一性：对x求导有：f'(x)=8x(2x+3)^2+4x^2*4(2x+3)+124，=8x(2x+3)(4x+3)+124,当x∈[-1.500,-0.750]时有：x＜0，2x+3≥0，4x+3≤0,所以f’(x)＞0，则函数f(x)=4x^2(2x+3)^2+31(4x+3)为增函数，故：方程4x^2(2x+3)^2+31(4x+3)=0在[-1.500,-0.750]上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=-0.750-f(-0.750)/f'(-0.750)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-0.750-f(-0.750)/f'(-0.750)=-0.750-5.0625/124.0000=-1.494;x2=-1.494-f(-1.494)/f'(-1.494)=-1.494--92.2547/124.4268=-0.753;x3=-0.753-f(-0.753)/f'(-0.753)=-0.753-4.69034/124.1080=-0.791;x4=-0.791-f(-0.791)/f'(-0.791)=-0.791--0.05171/125.4716=-0.791;至此，可知可以以x=-0.791为方程根的近似值，其误差不超过0.001。5.已知圆弧的弦长为7米，拱高为1米，求弧长。 H AθR本文主要内容：介绍圆弧的弦长A=7米，拱高H=1米的弦长求法。第一步，解析弧长表达式根据题意，有直角三角形关系如下：R^2=(R-b)^2+(a/2)^2解得：R=(a^2+4*b^2)/8b，设弧长为L,由公式得：L=2θR=θ(a^2+4*b^2)/4b.∵sinθ=(A/2)/R=4ab/(a^2+4*b^2)∴θ=arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)].即弧长计算表达式为：L=(a^2+4*b^2)/4b*arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]。第二步，泰勒展开计算结果(1)泰勒公式定义展开计算(arcsinx)´=(1-x^2)-1/2,则(arcsin0)´=1；(arcsinx)´´=-(1/2)*(1-x^2)-3/2*(-2x)=x(1-x^2)-3/2;(arcsinx)´´´=(1-x^2)-3/2+x[(1-x^2)-3/2]´；则：(arcsin0)´´=0，(arcsin0)´´´=1.即arcsinx≈x+0+(1/3!)x^3=x+x^3/6=x(x^2+6)/6.此时arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]≈4ab[8a^2b^2+3(a^2+4*b^2)^2]/[3(a^2+4*b^2)^3].代入弧长计算表达式得：L≈a[8a^2b^2+3(a^2+4*b^2)^2]/[3(a^2+4*b^2)^2]即：L≈a+[(8/3)a(ab)^2/(a^2+4*b^2)^2].代入数值计算，得：L≈7+[(8/3)*7*7^2/(7^2+4*1^2)^2]L≈7.33。(2)泰勒变形公式展开计算∵(arcsinx)´=(1-x^2)-1/2≈1+(-1/2)*(-x^2)+(-1/2)*(-3/2)*(-x^2)^2≈1+(1/2)x^2+(3/4)x^4∴arcsinx=∫(1-x2)-1/2dx≈x+(1/6)x^3+(3/20)x^5.对本题有：arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]≈[4ab/(a^2+4*b^2)]+(1/6)[4ab/(a^2+4*b^2)]^3+(3/20)[4ab/(a^2+4*b^2)]^5.arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]≈4ab*{15(a^2+4*b^2)^4+40[(ab(a^2+4*b^2)]^2+576(ab)^4}/