相似三角形的综合问题强化练习2

相似三角形的综合问题强化练习2

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，在平行四边形/8CD中，点E是4。上一点，AE=2ED,连接“交4C于

点G,延长5石交。。的延长线于点凡则勇的值为（）

2.如图，人B为半圆。的直径，8C_LA8且射线交半圆。的切线于点

E,DF^LCD交AB于F,若AE=2BF,DF=2屈,则。。的半径长为（）

3N/135石3V10

B.A近

2-T~T~

3.如图，E,F,G,〃分别是矩形ABC。四条边上的点，连结EG,”尸相交于点

0,EG//A。，FH//AB,矩形BFOEs矩形QGDH,连结AC交EG,FH于点P,

Q.下列一定能求出面积的条件是（）

A.矩形的‘OE和矩形OGZ）”的面积之差B.矩形A8CD与矩形8/簿E的面积之差

C.矩形和矩形/TGO的面积之差D.矩形MOE和矩形£OH4的面积之差

4.如图，正方形48CZ）边长为2,BM、QN分别是正方形的两个外角的平分线，点

P,0分别是平分线8以QN上的点，且满足口为0=45。，连接尸。、PC、C0.则下

列结论：口8尸・。。=3.6；□□04。=口/28：口匚尸CQ=1350；□BP2+D（）2=P（）2.其

中正确的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，心△/18c中，AC=3,BC=5,ZC=90°,点G是上的一个动点，过点

G作GE垂直于4C于点R点〜是8c上的点.若AGO是以G尸为斜边的等腰直凭三

角形.则此时夕。长为（）.

6.如图，匚44。与匚8位似，位似中心是点尸，其位似比为1：2,则□力8c与

□QE厂的面积比是（）

A.1：2B,1：4C.1：72D.1：8

7.如图，在正方形48c力中，E,F,G分别是A8,BC,上的动点，且

I3E=CF=DG,连接所，FG,EG,连接8。分别交EG,E产于点M,N.有以下

结论：□AEBgAFCG；EEG=v/2£F；匚点A,M,。在同一条直线上；□若

I3

AE=-ABf则其中正确的结论有（）个

38

AD

A.1B.2C.3D.4

8.如图，已知用△ABC,AC=BC=2,ZACB=90°,将“BC绕点A沿逆时针方向

旋转后得到△/1/）£,直线8。、CE相交于点尸，连接则以下结论中：口△A6O口

△ACE；□ZBFC=45°；□尸为AO的中点；匚面积的最大值为0.其中正确

的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，△ABC是等边三角形，E是AC的中点，。是直线4c上一动点，线段EO绕

点石逆时针旋转90。，得到线段£下，当。点运动时，若八斤的最小值为26+2,那么

等边三角形△ABC的边长为（）

A.10B.8C.6D.4

10.如图，在4△45。中，DC=90°,5C=18,AC=24,点O在边48上，且30=

2OA.以点O为圆心，r为半径作圆，如果［。与R/2U8C的边有3个公共点，那么下

14.如图所示，已知等边DABC,边长为3,点M为AB边上一点，且8M=1，点N

为边AC上不与A、C重合的一个动点，连结MN,以MN为对称轴，折叠匚AMN,

点A的对应点为点P,当点P落在等边DABC的边上时，AN的长为.

15.如图，在边长为3的等边△力8c中，点。在力。上，且8=1,点七在上（不

与点力、8重合），连接把△//QE沿。E折置，当点/的对应点尸落在等边4力》。

的边上时，4E的长为.

16.如图，正方形ABCD的边长为4,点E、F在边BC,CD上运动，且满足

BE=CF,连接AE,BF交于点G,连接CG,则CG的最小值为；当©6取

最小值时，CE的长为

三、解答题

17.在△/$（?中，N84C=90。，点0是斜边8C上的一点，连接A。，点。是A。上一

点，过点。分别作。DF//AC,交于点E、F.

（1）如图I，若点。为斜边BC的中点，求证：点。是线段环的中点.

图1

（2）如图2,在（1）的条件下，将△。比'绕点。顺时针旋转任意一个角度，连接

AD,CF,请写出线段4。和线段CT的数量关系，并说明理由.

（3）如图3,若点。是斜边BC的三等分点，且靠近点B,当NABC=30。时，将

BE

△。所绕点。顺时针旋转任意一个角度，连接A。、BE、CF,请求出k的值.

18.如图，在矩形ABC。中，E是边A8上一点，BE=BC,EFLCD,垂足为

F.将四边形CBEF绕点。顺时针旋转。（0。＜。＜90°）,得到四边形C8ET'.BE所

在的直线分别交直线3c于点G,交直线A。于点交CD于点K.E9所在的直线

分别交直线4C于点“，交直线AO于点。，连接9广交CO于点0.

DAD©

ffll图2

图3

(1)如图I,求证：四边形8E”•是正方形；

(2)如图2,当点。和点。重合时.

匚求证：GC=DCx

口若OK=1,8=2,求线段GP的长；

(3)如图3,若BM//FB交GP于点、M,tan=求得"的值.

2'△CFH

19.如图1,一次函数的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,且〃点坐标为(0,4),

以点A为顶点的抛物线解析式为y=-(x+2)2.

图1图2

(1)求一次函数的解析式；

(2)如图2,将抛物线的顶点沿线段48平移，此时抛物线顶点记为C,与)，轴交点

记为。，当点。的横坐标为-1时，求抛物线的解析式及。点的坐标；

(3)在(2)的条件下，线段人枚上是否存在点P,使以点8,。,P为顶点的三角形

与AAOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

20.在等腰中，AB=AC,点。是8c边上一点(不与点8、C重合)，连结

AD.

(1)如图1,若NC=60°,点。关于直线A4的对称点为点£,结AE,DE,则

NBDE=;

(2)若NC=60°,将线段A。绕点A顺时针旋转60。得到线段A£,连结酩.

在图2中补全图形:

探究C/)与HE的数量关系，并证明;

(3)如图3,若翌=当=&,且NADE=NC,试探究跖、BD、4C之间满足的

BCDE

数量关系，并证明.

21.加图，四边形45。是矩形.

(1)如图1，E、尸分别是4D、。。上的点，BFUCE,垂足为G,连接力G.

CE_CD

匚求证:

CF

□若G为CE的中点，求证：sinD/G8=^；

(2)如图2,将矩形力以⑦沿折叠，点4落在点火处，点4落在C。边的点S处，

连接4s交MN于点P,0是HS的中点.若AB=2,BC=3,求尸S+P。的最小值.

22.如图，在RtA4BC中，ZC=90°,。为AB上一点，经过点A的。。分别交,

4c于点E,F,BC与。。相切于点。，连接A。相交于点G.

⑴求证：A。平分NHAC；

⑵求证：AD-=ABAF;

⑶若8E=8,sinB=W，求4。的长.

13

23.如图1.在差形/"CO中，力4=2石，tan1/8C=2,匚4co=a,点E从点。出

发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线04的方向匀速运动，设运动时间为f

（秒），将线段CE绕点。顺时针旋转a度，得到对应线段CK连接8。、EF,BD交

EC、EF于点、P、Q.

（1）求证：2ECF「工BCD；

（2）当Z为何值时，hECFMBCD?

（3）当,为何值时，AEP0是直角三角形?

24.在等边三角形ABC中，入笈=4,。为八8的中点.连接C。，E,产分别为8C,

CD的中点，将绕点。逆时针旋转，记旋转角为。，直线。尸和直线鸵交于点

G.

（I）如图I,线段。b和线段跖的数量关系是,直线。厂与直线

房相交所成的较小角的度数是

（2）将图1中的△CE尸绕点C逆时针旋转到图2所示位置时，判断（1）中的结论是

否仍然成立？若成立，清仅就图2的情形给出证明；若不成立.,请说明理由.

（3）在（2）的条件下，当以点C,F,E,G为顶点的四边形是矩形时，请直接写出

。厂的长.

25.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点

E.A、。在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答:

图1图2图3

（1）如图2,将正方形入厅G绕点A按逆时针方向旋转，则8E与。G的数量关系为

，位置关系为.（直接写出答案）

（2）如图3,把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形48C。，且

ATARO

—=—=AE=4,A3=8,将矩形AQG绕点A按顺时针方向旋转，求破与

AGAD3

OG的数量关系和位置关系；

（3）在（2）的条件下,小组发现：在旋转过程中，Dl+BG，的值是定值，请求出

这个定侑.（直接写出答案）

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

先根据平行四边形的性质得到43口8,则可判断△48GIJL1CFG,AABEKDFE,于是根

据相似三角形的性质和AE=2ED即可得结果.

【详解】

解：口四边形力8C'。为平行四边形，

LAB^CD,

WABGWCFG,

BGAB

.------——

GFCF

□□力8E□匚。自£.

口』四

DEDF

口AE=2ED,

□J5=2Z)F,

AB2

□——=一,

CF3

BG2

口---=一.

GF3

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三

角形的判定和性质进行解题.

2.A

【解析】

【分析】

AHApnr

连接AO,b,作CH_L8D于H,证明得到项；=力7="，得到

BDDCCD

BC=AB=3BF,再证明设=则AE=2.r,A3=6C=3x,再根据

相似三角形的判定和性质以及勾股定理计算即可；

【详解】

答案第1页，共47页

解：连接斗。,。7,作CH1BD于H,如图所示：

□A4是直径，

□ZAD^=90°,

□ZADF+ZBDF=90°,ZDAB+ZDBA=90°,

ZBDF+ZBDC=90°,ZCBD+/DBA=90°,

□ZADF=NBDC、ZDAB=ZCBD,

□AADFS^BDC,

ADAFDF

-----=-77==-，

BDBCCD

□NDAE+NDAB=90°,ZE+ZDAE=90°,

□ZE=NDAB,

□^ADEsgDA,

AEAD

口---=----，

ABBD

AEAFAEAB

□——=——,an即——=—,

ABBCAFBC

口AB=BC,

DAE=AF,

□AE=2BF,

UBC=AB^3BF,

=贝ljAE=2尤A3=4C=3x,

BE=y/AE^AB2=yf\3x»CF=dBF+BC2=VI5X，

ZEAB=ZEDA,ZE=/E,

EAA£B~A£)£4,

AEEli

匚一=一,

DF.FA

匚AE2=EDXBE，

□四二名二隼j也3,

BEx/Hx13

BD=BE-ED=^^-x.

13

ECHA.BD,

4BHC=90°,Z1CBH+/BCH=Z1CBH+ZJ\BE,

答案第2页，共47页

/CBH=ZABE,

NBAE=W=NBHC,

□ABCHS^EBA,

BHCHBCBHCH3x

□——=——=——，ort即-T—=-T—=—f=^,

AEABBE2.r3x回

解得：BH=囱3,CH=^~X,

1313

DH=BD-BH=

13

CD2=CH2+DH2=—X\

13

LDFA.CD,

CD-+DF2=CF\即当2+Q加2=（限了,

解得：=

□43=3小，

。。的半径长为途;

2

故选：A.

本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质和勾股定理计算是解题的关

键.

3.A

【解析】

【分析】

设BF=a,BE=b,BE=b,AE=kb,根据DAEP口DABC,CFQCnDABC,分别用含a、b、k

的式子表示出EP、FQ,利用割补法表示出「BPQ面积，即可求解.

【详解】

答案第3页，共47页

解：设BF=a,BE=b,BE=b,AE=kb,

CEPBC,LAEP=LABC=90°,

□AEPJCABC,

□任二空=2

ABBCk+\

□EP=^—.BC=+l)a=ka

&+1A+l、7

同理,DFQCODABC,

FQ=FC=k

L--------，

ABBC2+1

/0=晨了84=晨1必+1）。=幼,

=g(k++l)b・ka-;(k+l)a・kb

=，b(i)2.

S矩形Mop=曲，^W^HOGD二4昉，

S&8PQ2(S矩形BEOF-S矩形HOG。)•

故选：A

【点睛】

本题为三角形相似知识的综合，综合性较强，根据题意设出参数,根据相似表示出相关线

段，恰当利用割补法进行转换是解题关键.

4.C

【解析】

【分析】

运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质;勾股定理；相似三角形

的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断.

【详解】

□四边形川?CQ是正方形，口4Z>45=2,nB/lD=90°,

□口以。=45。，

□匚8/P+口。力。=45°,

是正方形的外角的平分线，

答案第4页，共47页

□匚M3C=135°,

□匚B/P+EUPB=45。，

□匚0/。=匚/尸8,

□□正确；

匚8M、QN分别是正方形的两个外角的平分线，

UUABP=nQDA=\35°,

UCQAD=UAPB,

匚AABPDAQD/L

匚BP：DA=BA：DQ,

[BP・DQ=BA2=22=4,

□匚错误；

匚A4BPUAQD4,

匚BP：DA=BA：DQ,

口四边形48CO是正方形，

□AB=BC=CD=DA,

[BP：BC=DC：DQ,

LBM.ON分别是正方形的两个外角的平分线，

□匚P4C=二。。。=45。，

□△BPCdZkOC。，

□匚8cp=匚。。C,

□PC0=36O。-匚4。。・口48-口。。。=270°-(UDOC+UDCQ)=270°-(180°-CCD(2)=135°.

□□正确;

如图，将/UQ。绕点力顺时针旋转90。得到△"凡连接QF.则△力所口匚力OQ.

□□1-D3,AF-AQ.BF-DQ,\JAFB-UAQD.

口匚以/=口1+匚2=匚2+口3=匚8/。•□巴片45。.

□□■=[PAQ.

乂DAP=AP,

WAPFnUAPQ.UPF=PQ.

□匚PBF=(口/必+01)+45。=(匚/。£>+13)+45°=90°,

U在R出卜中，BP2+BF2=PF2，

答案第5页，共47页

BP2+DQ2=PQ2.

□□正确;

故选C.

【点睛】

本题考杳了正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似

三角形的判定和性质；旋转变换的性质.熟练掌握上述性质，灵活运用旋转构图求解是解

题的关键.

5.A

【解析】

【分析】

依题意补全图形，判定△尸PC是等腰直角三角形及△力打力匚48C,从而得比例式，设

CP=CF=x,将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可.

【详解】

解：依题意补全图形，如图：

由题可知，△。/产是以G/为斜边的等腰直角二角形,

答案第6页，共47页

在阳△力8c中，BCQAC,

□GFDBC,

□□GFP=DFPC=45°,

□□C=90°,

□□PFC=^FPC=45°,

□□QC是等腰直角三角形，

设CP=CF=xt则FP=Jit,GF=忑1FP=2x,

口4C=3,

□JF=3-x,

DGFUBC,

□□力产G□匚力8C,

FGAF2A3-X

□——=——，NN即——=---

BCAC53

解得：户泽

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练学

握相关性质及定理是解题的关键.

6.B

【解析】

【分析】

根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.

【详解】

解：口匚45。与［。夕'是位似图形，其位似比为1：2,

□48c与匚OE/的面积比为1：4.

故选：B.

【点睛】

本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积

比等于相似比的平方.

7.C

答案第7页，共47页

【解析】

【分析】

结论:，利用正方形的性质及题目给定条件证明得到利用边角边的全等三角形

判定即可得出结论△瑁/经△PCG；

结论，在结论□的基础上得到EF=R7,再通过直角三角形的性质求出DEAG为直角，

利用等腰直角三角形的性质即可得到EG=^2EF;

结论口，先证明例为3。中点，根据正方形的对角线的性质即可得到点A,M,C在同一

条直线上；

结论:，先证明△ENMsABW石利用相似三角形的性质得到卷=黑，进而求出黑.

NMEMBM

【详解】

解:□□A8CO是正方形，

\JAB=BC=CD=DA,

□FC=DG,

□BC—FC=DC—DG,

□M=CG,

口EB=FC,乙EBF=4GCF=90。

在AEB尸和△FCG中

EB=FC

<NEBF=NFCG

BF=CG

□△EBFHFCG(SAS)

故口正确；

□□△EBFdFCG

DEF=FG^BEF=ZGFC,

□NBEF+NBFE=9()。

□NGPC+NE止90。

□ZEfU=9O°

□为等腰直角三角形

□EG=y/2EF，

故」正确：

答案第8页，共47页

如图连接对角线4C，

D

G

N

BF

UAB//CD

□/EBM=4DGM

□EB=GD

□/BGE=/GMD

在△BEM和.OGM中

ZEBM=NDGM

-ZBGE=ZGMD

EB=GD

□△BEMHQGM(AAS)

□BM=DM,

□M为BD中点,

AC和BD为正方形ABCD的对角线且M在M为B。中点上

□点M为正方形A8C力的对角线交点

□4、aM三点共线，

故□正确；

□若=设AE=1,则8石=2,

口NFEM=NEBN=45。,ZBME=NBME

□AENMsABME

EMBM

L------=------

NMEM

□M为BD中息,

答案第9页，共47或

ns,"+♦3拒

UBM=-----------=----，

22

EGVX/52+X/52x/io

EM=——=--------------=------,

222

DMN=—,

6

nz3&5M2&

BN=BDKMjf-MwxNz=--------------=-------

263

BN4

,-----=—

BM9

4

9

故」错误.

综上正确的结论由□□口三个，

故选C.

【点睛】

本题主要考查三角形的全等的判定和性质以及相似三角形判定和性质，利用全等三角形的

性质判断结论□□□,再利用三角形的相似来判断结论□，关键注意等腰直角三角形的边长

关系.

8.C

【解析】

【分析】

由旋转性质、等腰直角三龟形的性质结合三角形相似的判定条件即可判断门正确；设CE与

力8交于点G,由〜“ACE,可推出NA8O=NACE,再根据对顶角NA8O=NACE,

即可推出/3R7=NH4C=45。，即□正确：由圆周角定理可知点4、C、B、尸共圆，再结

合圆内接四边形的性质，可求出/4所二90。，最后由等腰三角形三线合一，即证明点尸为

8。中点，即□正确；设点F到4C的距离为4,由4C为固定值，故。最大，面积

最大，由力最大值时/点与E点重合，即可求出其面积最大值，即可判断1

【详解】

DBC=AC=2fZACB=90°,

DZABC=ZBAC=45°,AA=无AC=2匹.

［将zUAC绕点力沿逆时针方向旋转后得到A/OE,

□Z.DAE=45°,AE=DE=AC=2,AD=AR=2五,

答案第10页，共47页

ZDAE+ZBAE=ZBAC^-ZBAE,ADAB=ZCAE.

又口组上述3

ACAE2

□"BO~AACE,故「正确；

如图，设CE与4B交于点G.

z^ABD~AACE,

□ZA8O=Z4CE,

口/BGF=ZAGC,

□ZBFC=ZZMC=45°,故口正确；

□NBFC=NBAC=45°,

□点人C、B、F在同一圆上，

□Z4F5+ZAC5=180°,

□ZACB=90°,

□ZAra=9O°,即八尸_LAZ).

□AZ)=A8,

□点F为BD中点,故□正确；

设点F到力C的距离为队

则SJFC=；・4。功，

口力C长度为2,

□当力最大时，S“FC最大.

匚当厂点与E点重合时，卜=人石=2,此时为〃最大，如图.

答案第11页，共47页

E(F)

DB

G

□LFc=g・AC・AE=gx2x2=2,故口错误・

综上可知口□□正确，共3个.

故选C.

【点睛】

本题考查旋转的性质，等接直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆

周角定理以及圆的内接四边形的性质等知识，综合性强.利用数形结合的思想是解答本题

的关键.

9.B

【解析】

【分析】

当点。在8点时，连接6E,延长力。至耳，使得环=BE；当。运动到C点时，延长BE

至K，使得=连接耳尸2,则直线匕尸2为点F的运动轨迹；作4/_1_五|工，则力广为

最小值2G+2,设A/WC的边长为a,则8£=立〃，=8E=立〃，计算即可；

22

【详解】

当点。在8点时，连接8邑延长/C至「，使得E4=BE；当力运动到C点时，延长4E

至尸2,使得“二或"连接耳工，则直线K鸟为点F的运动轨迹；作4/16尼，则幺尸为

最小值2X/5+2,

答案第12页，共47页

设AABC的边长为a,则BE=—a,EF.=BE=—a,

212

5Gi75-1_6+i

LJCr.=—a—a=-------a»Ar.=aA---------a=--------a，

222122

2222

CE=EF?=；a,AF=2s/3+2,F,F2=ylF,E+F2E=l-a+-a=«,

—Y44

在和中，/AFF=/EFF2,/£必=/£七6=90。，

□△大用E尸,

疗，F、E

F{AAF

1

a=20

V3+1-26+2'

a

2

□^iia=2G+2,

4

□<3=8；

故选B.

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，准确计算是解

题的关键.

10.C

【解析】

【分析】

根据勾股定理得到BC?-30,求得。4=10,。"=20,过。分别作。〃口/。于

答案第13页，共47页

D,OE匚BC于E,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解：□□C=90。，8c=18,AC=24,

□AB=JAC2+BC2=30,

[BO=2OA,

匚04=10,04=20,

过O分别作。。/IC于。，OEBC于E,

UUBEO=UC=UADO,

□□/=□/,匚3二口8,

QHBEOQQBCAtA/IOD]匚4BC,

BOOEAOOD

□——=——,=,

BAACABBC

20OE10OD

[=,=,

30243018

HOE=\6t00=6,

当口。过点C时，连接OC,根据勾股定理得"=Joz)2-CZ)2=2后,

如图，□以点。为圆心，r为半径作圆，如果。与必△/出C的边有3个公共点,

□r=6或10或16或2万，

故选：C.

【点睛】

本题考杳了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关

键.

答案第14页，共47页

II.Oinn

【解析】

【分析】

(1)利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可.

AFFN1

(2)设的面积为阳，由4月〃CQ,推出一=—=-,△4/WS/XCQM推出

CDDN3

△月DV的面枳为3〃?，△OCN的面枳为9/〃，推出△月。C的面枳=/2vi3C的面枳=12〃?，由

此即可得S―CNF8=Ilm,即可得出答案.

【详解】

解：•・•四边形力8C。是正方形，

UABQCD,AB=CD

.AFAN

**CD-C7V*

VJF；FB=1：2,

：,AFtAB=AF：CD=\：3,

tAN_\

**OV=3,

.AN_1

**AC=4*

*•*AC=AB,

.AN-1

-6AB~4'

：.AN=—AB,

4

VAB=4

□AN=V2

故答案为夜；

(2)设△⑷的面积为阳，

aJAFZ/CD,

AFFN1

:.——=——=一，△AFNsMDN,

CDDN3

AAFN和△CDN高的比=g

C△/厂N和△/ON高的比=Q

J

答案第15页，共47页

・••AADN的面积为3m,△QCN的面积为9m,

/./\ADC的面积=Z\/4C的面积=12m,

:.SAANF：S四边形CNFB=l：11,

【点睛】

本题考杳正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解

题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题.

12.□□□.

【解析】

【分析】

由正方形的性质得出AB=CD=AD,DC=[BAD=nADC=90。，CABD=CADB=

45°,由折叠的性质得出MN垂直平分AD,FD=CD,BN=CN,[FDE=LCDE,LDFE

=nC=90°,□DEF=^DEC.由线段垂百平分线的忤质得出FD=FA,得出匚ADF是等功

三角形，口正确；

设AB=AD=BC=4a,则MN=4a,BN=AM=2a,由等边三角形的性质得出口DAF=

「AFD=dADF=60。，FA=AD=4a,FM=QAM=26a,得出FN=MN-FM=(4-2

x/3)a,由三角函数的定义即可得出口正确：

匚求出[ADF的面积=；AD・FM=4VJa2,正方形ABCD的面积=16a—得出匚错误；

匚求出[BFE=IZDFB,DBEF=DDBF,证由匚BEF口匚DBF,得出对应边成比例,得出口正

确；即可得出结论.

【详解】

解：匚四边形ABCD是正方形，

□AB=CD=AD,□C=CBAD=LADC=90o,E：ABD=□ADB=45°,

由折叠的性质得：MN垂直平分AD,FD=CD,BN=CN,

[FDE=E1CDE,CDFE=EC=90°,[DEF=EDEC,

匚FD=FA,

[AD=FD=FA,即匚ADF是等边三角形，□正确；

设AB=AD=BC=4a,则MN=4a,BN=AM=2a,

□□ADF是等边三角形，

□EDAF=DAFD=CADF=60°,FA=AD=4a,FM=&AM=25/5a,

答案第16页，共47页

「FN=MN-FM=(4-273)a,

EtanQEBF=—=4-2^=2-V3>匚正确；

BN2

□匚ADF的面积=；AD・FM=；x4ax275a=46a2,

正方形ABCD的面积=(4a)2=16a2,

匚言_=芈:半，□错误：

3正方形Age164

匚AF=AB,匚BAF=90°-60°=30°,

□EAFB=EABF=75°,

□LDBF=75°-45°=30°,LBFE=360°-90°-60°-75°=135°=UDFB,

口NEBF=150,

□ZBEF=180°-ZEBF-/BFE=1800-15o-135°=30°=nDBF,

□匚BEFn匚DBF,

BFEF

□=--------,□BF2=DF*EF,□正确：

DbBF

故答案为：□□□.

【点睛】

本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等

边三角形的判定弓性质、相似三角形的判定与性质、三条函数等知识，本题综合性强，有

一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键.

13.6

【解析】

【分析】

过点。作。尸〃力已根据平行线分线得出相似可得当=券=£，根据已知，可

AEBA3AE3

得。O=2OC,。在以48为直径的圆上，设圆心为G,当CG_L44时，的面积最大

为：1X6X3=9,即可求出此时△ABO的最大面积.

【详解】

解：如图，过点。作力开口彳石，

答案第17页，共47页

E

O

ADGB

[DFJAE

□匚。4"口匚/4£

,DFBD2

••，

AEBA3

..区」

•一一,

AE3

:,DF=2EC,

，00=20。，

.\D0=-DC,

3

22

：.S/\ADO=-S/\ADC,S/\BDO=-S/\BDC,

33

：.S/\ABO=-S/^ABC,

3

VZACB=90°,

.♦.C在以48为直径的圆上，设圆心为G,

当CG_L/也时，△神。的面积最大为：|x6X3=9,

2

此时△440的面积最大为：-x9=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理、相似以及圆等知识，解决本题的关键是掌握平行线

分线段成比例定理.

14.1或5-g

【解析】

【分析】

分点P落在AC上时和点P落在BC上时两种情况，分别运用相似三角形的性质构建方程

组解答即可.

【详解】

答案第18页，共47页

解：分为两种情况：

口当点P落在AC边上时，如图1所示.

由折叠可知：AM=PM

□zTA=60°

□□APM为等边三角形

AP=AM=AB-BM=3-1=2

□A?V=-AP=1；

2

匚当点P落在BC边上时，如图2所示.

设AN=x

由折叠可知：PM=AM=AB-BM=2

PN=AN=x,ZA//W=ZA=60°

ECN=3-x

易证：DPBMJDNCP易一线三等角”模型）

PB=--2,CP=-x

x2

答案第19页，共47页

□PB+PC=BC=3

□--2+-x=3

x2

整理得：x2-I0x+12=0

解之得：％=5-至，毛=5+9（舍去）

□4N=5-VIi

综上所述，AN的长为1或5-屈.

【点睛】

本题考查翻折的性质、相似三角形的判定和性质以及含30。角的直角三角形的性质，准确

寻找相似三角形是解答本题的关键.

15.1或5-V13.

【解析】

【分析】

根据题意分类讨论，当/点落在边上时，证明□。尸□庄1B,尸点落在边力片上时，根

据直角三角形的性质求解；

【详解】

□当少点落在边8C上时，

匚把匚力。石沿OE折叠，

□J=D£FZ)=60°,

□□EFC=f2B+匚BEF,

□UEFD+UDFC=口8+匚BEF

□EFD=D/4=EB=60o,

^DFC=LBEF,

ULW”CFEB,

答案第20页，共47页

BEBFEF

匚---=---=----,

CFCDDF

而EF+BE=EA+BE=AB=3,DF=DA=AC-CD=2,

3-AE3-CFAE

-----=-----——,

CF1-----2

解得/f=5-或力£=5+«J（舍去）；

□尸点落在边力8上时，

匚把匚力。E?甘。斤叠，

□□4=匚。笈=60°,□。枷=90。，LADE=LFDE,

□□JDf=30°,

□JE=1j£>=^(AC-CD)=gx2=l.

故力答案为1或5-9.

【点睛】

本题主要考查了图形折叠的知识点，准确的利用折叠的性质，通过三角形相似和直角三角

形的性质进行求解.

16.20-2：6-2万:

【解析】

【分析】

在正方形A8CQ中，易证=可得？灰近?AGB90°,则G点的轨迹是

以AB中点。为圆心，AO为半径的圆弧，因此当0、G、C在同一条直线上时，CG取最

小值，根据勾股定理可得CG的最小值为"-OG=2底2,根据A8//CD,则有

VBOG:VF8可得要=器,得到：FG=BGgI),则8/=^8G,设=贝I」

CGr(j

BE=CF=X,可得8G=,又口？3G£2BCF刈，?GBE?CBF,得

答案第21页，共47页

4+4,

7BGE:7BCF,得到6_4,解之得：玉=2石-2,内=2石+2>4（不合题意,

x&+42

舍去），从而得到CE的长为6-26.

【详解】

解：如图示:

・••在正方形A8CO中，NABE=/BCF=90

在A4的和MC尸中，

BA=CB

-NABE=NBCF=90,

BE=CF

\DABE@DBCF(AAS),

DZAEB=ZBFC

口？FBC?BFC90?

□NFBC+ZAEB=90。

即有：2BGE?AGB90,

二.G点的软迹是以AB中点。为圆心，4。为半径的圆弧,

因此当0、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，

□BC=4,

EOB=OG=2

匚OC=>JOB'+BC2=>/22+42=2⑸

匚CG的最小值为OC.00=26-2,

□AB//CD

□VfiOG:NFCG

「OGBG2I

CGFG2j5-2V5-I

FG=HG(j5-1)

答案第22页，共47页

□BF=FG+BG=BG（6lj+BG=有8G,

设随=x,则跖=CF=x,

□BF=>JCF2+BC2=&+」,

□8G=^E

又口？BGE2BCF90"，?GBE?CBF,

匚NRGE:VBCF

□B=G—B.C

BEBF

JK+4’

即：正=4

X+42

解之得：玉=2石-2,%=26+2>4（不合题意，舍去）,

□CE=BC-BE=4-（275-2）=6-2区,

故答案是：26-2,6-2^.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与

性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键.

17.(1)证明见解析；(2)AD=CF,理由见解析；(3)之叵

13

【解析】

【分析】

(1)根据直角三角形斜边中线的性质，得。4=08=。。；结合等腰三角形和平行线的性

质，得NOED=NODE,ZODF=ZOFD,从而得OD=OE=OF,即可完成证明；

(2)结合题意，根据旋转的性质得：3)C=NDOF,从而得到NAOZ)=NCO产；根据

(1)的结论，得OD=OF,OA=OC；通过证明△AO*Z\CO产，即可得到答案；

(3)旋转前，根据题意，得冬=券，结合旋转性质，旋转后，生二缥仍然成立；根

OAODOAOD

据相似三角形性质，通过证明△BQEszviOD,得空=要；过点A作4GJ_8C于点

ADOA

24

G,得NC4G=30。：设4C=a,根据题意得00=380=3〃；根据勾股定理，得3,

通过计算，即可得到答案.

答案第23页，共47页

【详解】

(1)□在RlZ^ABC中，点。为斜边的中点

图1

匚OA=OB=OC

匚=ZC=ZOAC

□DE//AB,DF//AC,

4B=/OED,/ODE=NOAB,ZC=ZOFD,NODFZOAC

□NOED=NODE,ZODF=ZOFD

LOD=OE=OF

□点。为E尸的中点.

（2）如图：

根据题意，得：ZAOC=/DOF

ZAOC-ZDOC=ADOF-ZDOC,BPZAOD=ZCOF.

由（1）可知，OD=OF,OA=OC

□^AOD^^COF

口AD=CF；

（3）旋转前

□DE//AB,DF//AC,

ODOE

.-----------

OAOB

答案第24页，共47页

OBOE

----=-----

OAOD

根据题意，旋转后，与=空仍然成立

OAOD

又=

ZAOB