2025-2026学年下学期山东省济南市山东实验中学高三数学3月学情检测试卷（含答案）

绝密★启用前数学2026.3注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.圆C:xA.2,1B.−2,−2.已知变量x和变量y的3对随机观测数据为0,1A.−13B.3.若tanθ+π4A.−35B.35C.4.已知m,n是两条不同的直线，αA.若m⊥α,mB.若α//β,mC.若m//α,mD.若α⊥β,β5.已知复数z在复平面内对应的点为Z,则满足2<zA.4πB.5πC.6πD.9π6.已知集合A=x∈Rx2−3x+2A.8B.4C.2D.17.设等差数列an的公差为d,则“0<a1<dA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知fx=A.c>a>bB.c二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知函数fx=A.若fx=2B.函数fxC.若x∈2,8时,则fD.若x∈N,则函数fx10.某人在n次射击中击中目标的次数为X,X∼Bn,p,其中A.当p=12时,B.当p=12时,C.当0<p<12,D.当12<p<1,11.三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型,三相交流电插座上有四个插孔,其中中性线(零线)电压为U0=0,三根相线(火线)电压分别为UA=Asinωt,UB=Asinωt+2π3,UCUCA=UA−UC,线电压的最大值分别为A.三根相线电压的频率均为50(单位:Hz)B.UC.当某一线电压达到最大值时,另两个线电压均取得最小值D.线电压的有效值YAB2=YBC三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机事件A,B满足PA=213.已知数列an的前n项和为Sn，且a1=13，214.已知直线l与抛物线y2=2pxp>0交于A,B两点，O为坐标原点，OA⊥OB,OH⊥AB交AB四、解答题:本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为AA1的中点，记四棱锥B1−CDA(1)证明:2V1(2)已知V2=6,AB⊥16.(15分)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,边AC(1)证明:sinC−sin(2)若b2=c2+17.(15分)已知函数fx(1)当a=0,b=1(2)若对任意a∈R,fx<(i)求b的取值范围:(ii)若b≥1，证明:函数f18.(17分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2−y23=1的右焦点为F,右顶点为A,过点F的直线l与双曲线C交于P,(1)已知直线m:y=3x+t，讨论直线(2)记直线AP与直线AQ的斜率分别是k1，k(i)证明:k1k(ii)若点N是△APQ的外接圆的圆心，判断直线AN的斜率是否存在最值，若存在，求出最值;若不存在,19.(17分)现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成，如图.假设棋盘足够大，一颗质地均匀的正方体骰子,六个面分别以1~6标号.在棋盘上,以O为原点建立平面直角坐标系，设点A的坐标为1,0.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子n次，用Xn表示第n次投掷后棋子的位置(X0为坐标原点),规定:OXn(1)求点X2(2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；(3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为r0≤r≤80的概率为pr,求pr的表达式,并指出当数学答案题号12345678910答案DCBCBAABADAC题号11答案ABD12.713.114.x15.(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为AA1的中点，设S△ABC=S,AA1=hVV1所以2V(2)由(1)知13Sh=6，而AB⊥AC，S=12AB⋅AC=23，则h=C2BD=设平面BDC的法向量m=x,y,z,则m⋅BD=−设平面B1DC的法向量n=a,b,c,则n⋅cos⟨m,n⟩=m⋅所以二面角B1−DC−B16.(1)在Rt△ABD中,c=hsinA,在Rt△而c−a=h,则hsin则sinC(2)由b2=c2+a所以cosB=a2+c2−b22ac=1由(1)知，sinC−sin所以sin2π则32则cos=−即cos2π6+A解得cosπ6+A=1又0<A<2π3,则π6<A+17.(1)当a=0可得fx=1−x当x∈−∞,0时,f′x>0;所以fx的增区间为−∞,0,减区间为(2)(i)设t=ea2>0，则gt=−x2t令Hx=b−xex,H所以Hx在−∞,b−1上单调递增,在所以Hxmax=Hb所以b≤(ii)由上知1≤b≤5当x≥4时.当x≤b−5由零点存在定理可知存在x0∈b−5下面证明:f′x在区间b−5,记gx则h′x=b−3−xe则hx在−∞,b−3上单调递增,在所以hx①当a≥b−3时，hx<此时f′x在区间b−5②当a<b−3时，hb当hb−5≥0时,此时存在唯一的x故f′x在b−5,x所以f′x0′>f′b−5>0当hb−存在两个点x1∈b−5即b−故f′x在b−5,x1上单调递减,又f′记φx所以φx≥0,进而f′x1>0则对任意x∈b−5,x而f′x在x2,4所以f′x在x2,4综上所述，f′x在b−5,且当x∈−∞,x0时,f′x>0,x∈x0,+∞时,f′x<0,从而18.(1)由x2−y23=1的渐近线为y=±3x当t=0时，直线m与双曲线C的公共点有当t≠0时，直线m与双曲线C的公共点有(2)(i)由题设F2,0，且可设直线l:x=所以3my+22−若Px1,y1,Qx2所以kk2=y(ii)设k1=k,结合(i)有k2=−所以AP:联立y=kx−1x2−y所以3−k2x+k2+3所以Pk2+3k2−3,设圆N的方程为x2+y2+又x12−y123x所以43−6kk2所以144kk2−3+18E=−18kD432kk2令−4kk2−9k4+42令−4kk2−9k4+42即nk令v=k−9k∈R,则nv2所以−1515≤kAN≤151519.(1)由题意，点X2可能的坐标为0,0，−12,32(2)令向量a=则当k=3m时,uk=a;当k当k=3m+2时uk=c,其中要保证X8为原点,则在8次投掷过程中,掷得奇数的次数r①若r=0，即8次投掷全部为偶数，共②若r=3，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；③若r=6，即6次奇数，仅有故X8为坐标原点的概率p(3)当r不是3的倍数时,显然有pr以下讨论当r是3的倍数的情况.不妨设r=3m，则掷得偶数的次数为80记进行加向量a为操作A，加向量b为操作B，加向量c为操