2.1　函数的概念及其表示（2考点+8大题型15种考向）（讲义+精练）（学生版）

2.1函数的概念及其表示目录01课标要求 202落实主干知识 3一、函数的概念 3二、分段函数的应用 3常用二级结论 303探究核心题型 5题型一：函数基本概念辨析 5题型二：函数同一性判定 6题型三：具体函数的定义域 7题型四：抽象函数定义域的求解 7题型五：定义域在函数应用中的拓展 8题型六：函数解析式的求法 8考向1：待定系数法（函数类型确定） 8考向2：换元法或配凑法 8考向3：方程组法 9考向4：求分段函数的解析式 9考向5：抽象函数解析式 10题型七：函数的值域 10考向1：观察法 10考向2：配方法 10考向3：图像法（数形结合） 11考向4：基本不等式法 11考向5：代数换元法与三角换元法 11考向6：分离常数法 11考向7：判别式法 12考向8：单调性法 12考向9：有界性法 12考向10：导数法 12题型八：分段函数的应用 1304好题赏析（一题多解） 1405数学思想方法 15①数形结合 15②转化与化归 15③分类讨论 1506课时精练（真题、模拟题） 17基础过关篇 17能力拓展篇 18

1、了解函数的含义.2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3、了解简单的分段函数，并会简单的应用.

一、函数的概念(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.(3)函数表示法：函数书写方式为，(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.二、分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．常用二级结论一、抽象函数定义域原则：(1)定义域一定是的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样.①已知的定义域是，求的定义域解不等式，其解集就是的定义域.②已知的定义域是，求的定义域利用求的值域，该值域就是的定义域.③已知的定义域是，求的定义域利用先求出的值域，然后解不等式，其解集就是的定义域.二、求值域、最值的方法1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值.2、配方法(对称轴法)：对于形如，形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成.可以结合图象完成求值域或最值.3、换元法：代数换元法，三角换元法.常见的模型①，令，则.②，令，则；③，令，则；④，令，则；⑤，令，则；⑥令，则；⑦令，则.⑧，令，(或令，).⑨时，令，；⑩令，则.4、图象法(数形结合法)：①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成.②求或的值域③根据函数表达式的几何意义.5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值.6、基本（均值）不等式法7、有界性法：含，，，，，，的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域。8、判别式法9、导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值.

题型一：函数基本概念辨析【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（

）A．31 B．33 C．41 D．133【解题总结】利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即“多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素.【变式1-1】存在函数满足：对任意都有（

）A． B． C． D．【变式1-2】设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（

）A． B． C． D．0【变式1-3】若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．【变式1-4】下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（

）A． B．C． D．题型二：函数同一性判定【例2】下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（

）.A．与B．与C．与D．与【解题总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．【变式2-1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【变式2-2】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A． B．C． D．和【变式2-3】下列函数属于同一函数的是：（

）.A．B．C．D．以上均不正确题型三：具体函数的定义域【例3】函数的定义域为．【解题总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．【变式3-1】（2025·上海·三模）函数的定义域为.【变式3-2】（2025·北京·二模）函数的定义域为．【变式3-3】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为．题型四：抽象函数定义域的求解【例4】已知函数的定义域为，则函数的定义域为．【解题总结】1、抽象函数的定义域求法：（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解.2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再取交集．【变式4-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为，函数的定义域为．【变式4-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域是.【变式4-3】已知函数的定义域为，则的定义域为题型五：定义域在函数应用中的拓展【例5】已知函数的定义域是，则实数的取值范围是．【解题总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．【变式5-1】已知函数的定义域为R，则函数的值域为【变式5-2】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是.【变式5-3】若函数的定义域和值域都为，则的值是．题型六：函数解析式的求法考向1：待定系数法（函数类型确定）【例6】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为.【变式6-1】已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条件的一个的解析式为.①，；②在上单调递减.【变式6-2】一次函数在上单调递增，且，则.【变式6-3】已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则，.考向2：换元法或配凑法【例7】若函数，则．【变式7-1】若，则的解析式为.【变式7-2】已知函数在上具有单调性，且，则.【变式7-3】（2025·高三·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则．【变式7-4】若函数，且，则实数a的值为.考向3：方程组法【例8】已知函数满足，则.【变式8-1】（2025·高三·辽宁·期末）已知函数满足，则.【变式8-2】若函数满足，则．【变式8-3】已知，则.考向4：求分段函数的解析式【例9】（2025·安徽池州·二模）定义在上的函数满足.若，对，，则，并写出的一个函数解析式.【变式9-1】函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．当时，写出函数的解析式【变式9-2】（2025·高三·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为．【变式9-3】设函数，若，，则的解析式为，关于的方程的解的个数为．考向5：抽象函数解析式【例10】函数满足，，且，则.【变式10-1】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为.【变式10-2】函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为或．【变式10-3】写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数.【变式10-4】设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为．题型七：函数的值域考向1：观察法【例11】下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．【变式11-1】函数的值域为【变式11-2】函数的值域为．考向2：配方法【例12】函数的最大值为.【变式12-1】函数的值域是.【变式12-2】函数的值域.【变式12-3】若函数的定义域为，则其值域为．考向3：图像法（数形结合）【例13】给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为.【变式13-1】定义为中的最小值，则的最大值为.【变式13-2】函数的最大值为.【变式13-3】函数的值域为．考向4：基本不等式法【例14】函数的最大值为.【变式14-1】函数的值域为．【变式14-2】已知满足，且，则的值域为考向5：代数换元法与三角换元法【例15】若，则的取值范围是________【变式15-1】（2025·高三·河南·开学考试）已知且，则的最小值为．【变式15-2】已知函数，则函数的值域为【变式15-3】函数的值域为．考向6：分离常数法【例16】，，则的值域为．【变式16-1】函数在上的最大值为；最小值为．【变式16-2】函数的值域是.考向7：判别式法【例17】已知，且，则的取值范围是.【变式17-1】函数的最大值为．【变式17-2】设实数x，y，z满足，则的最大值是，最小值是．考向8：单调性法【例18】函数的最小值为.【变式18-1】函数的最小值为．【变式18-2】函数的值域为．【变式18-3】（2025·安徽·一模）函数的值域为.考向9：有界性法【例19】（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为．【变式19-1】设均为非负数，且满足关系式，则的最大值为.【变式19-2】函数的值域是________________.考向10：导数法【例20】函数的最小值为．【变式20-1】已知的最小值为．【变式20-2】（2025·河北沧州·模拟预测）若实数满足，则的最小值为.【变式20-3】函数在上的最小值为．题型八：分段函数的应用【例21】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，不等式的解集为B．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是C．若函数的值域为，则实数的取值范围是D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是【解题总结】1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.【变式21-1】（多选题）（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．函数的值域为【变式21-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是．【变式21-3】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则.

1．求函数的最小值.2．已知函数满足，若，则

A．25 B．125 C．625 D．15625

①数形结合1．已知函数，若的值域是R，则实数a的取值范围是

A． B． C． D．2．已知函数，那么不等式的解集为（

）A． B． C． D．②转化与化归3．已知对于任意，都有，且，则

A．4 B．8 C．64 D．2564．已知定义在R上的函数满足对任意的a，R，，，则

A． B．0 C．2 D．15．已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．③分类讨论6．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是

A． B． C． D．8．已知函数，若，则a的值为

A．0或 B．0或 C． D．

基础过关篇1．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（

）A． B． C． D．2．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2025·重庆·三模）已知定义在上的函数满足对任意的.则（

）A． B．0 C．2 D．14．（2025·重庆·模拟预测）已知，则（

）A． B．0 C． D．5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．6．（2025·山西·模拟预测）已知，则（

）A．0 B．1 C．0或1 D．27．（2025·河北·模拟预测）已知函数