吉林省吉林市第一中学2026届高三上学期第一次质量检测数学答案

吉林一中级学年度上学期第一次质量检测数学学科（平行班）85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知是虚数单位，复数满足，则（）A.B.C.D.5【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算求出复数，即可求出.【详解】解：由，则，所以，则.故选：C.2.已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】与且与m根据包含关系分析充分、必要条件.【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线，可得，解得且，因为是的真子集，第1页/共16页所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.3.为等比数列的前项和，若，且，则等于（）A.2B.4050C.D.【答案】A【解析】【分析】根据等比数列基本量计算出，进而结合等比数列求和公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由，得，即，解得，所以.故选：A.4.已知实数满足，则的最小值为（）A.20B.25C.30D.35【答案】B【解析】【分析】由乘“1”法即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即取等号，故最小值为25，故选：B5.在校拔河比赛上某班荣获一枚奖牌，如图所示为边长为的正方形，为正六边形，则第2页/共16页（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】由题意可知，正六边形的边长为，且，因为，则，所以，，又因为，所以，、、三点共线，根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，则，，因此，.故选：C.6.已知正方形的边长为的长度最大时，的取值范围是（）A.B.C.D.第3页/共16页【答案】A【解析】的范围可得的取值范围.【详解】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，如下图所示：则，，所以，.因为点为正方形四条边上的动点，所以，又，所以，故选：A.7.已知数列满足，的前项和为的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值.【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，第4页/共16页，则，，，由得：，解得：，又，.故选：B.8.已知函数是奇函数，函数的图象与的图象有4个公共点，且，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】由题意得与都关于点对称，则，由此即可求得结果.【详解】由函数是奇函数，其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象，所以的图象关于点对称，由，可得的图象是由奇函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，所以的图象关于点对称，所以与都关于点对称，所以，所以.故选：D.二、多项选择题（本大题共36分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在复平面内，下列说法正确的是（）第5页/共16页A.复数，则在复平面内对应的点位于第一象限B.若复数，满足，则C.若，，则的最小值为1D.若是关于x的方程（p，）的根，则【答案】AC【解析】【分析】根据共轭复数的定义，复数模的运算公式，结合复数模的几何意义、实系数一元二次方程根的性质逐一判断即可.【详解】A：，所以在复平面内对应点位于第一象限，故A正确；B：设，显然有，但是，故B错误；C：因为，所以设，所以，显然当时，的最小值为1，故C正确；D：因为是关于的方程的根，所以也是关于的方程的根，于有，故D错误.故选：AC10.设，分别为等差数列的公差与前n项和，若，则下列论断中正确的有（）A.当时，取最大值B.当时，C.当时，D.当时，【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式，结合二次函数的性质即可求解.第6页/共16页【详解】设等差数列的首项为，则由，得，解得，所以，当时，当时，取最小值；当时，当时，取最大值；故A错误；当时，，故B正确；当时，，故C正确；当时，，，所以，故D正确.故选：BCD.已知为偶函数，（）A.B.若的最小正周期为，则C.若在区间上有且仅有个最值点，则的取值范围为D.若，则的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】先求出函数的解析式，然后逐项判断即可求解.第7页/共16页【详解】对A：若，为偶函数，则，，所以，A选项正确；对B：若的最小正周期为，则，所以，故B正确；对C:由，得，若在区间上有且仅有个最值点，则，得，故C正确；对D：因为，若，则或，得或，又，所以的最小值为，故D错误.故选：ABC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）12.已知向量，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示求解即可.【详解】由题意可得，则，解得，故答案为：13.已知函数是偶函数，若则___________.【答案】【解析】【分析】设，代入数据根据偶函数性质计算得到答案.【详解】设，则，第8页/共16页故答案为【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力.14.在、、所对的边分别为、、，角取最大值时，的周长为_________.【答案】【解析】【分析】先利用已知条件化简整理得，再根据化简，结合基本不等式和取最值的条件得到三角，最后求边长即得周长.【详解】因为，所以，即是钝角，是锐角，，即得，故，因为，所以，当且仅当时，即时最大，为，故角取最大值，，故，又由，故，即周长.故答案为：.【点睛】本题解题关键在于灵活运用两角和与差的正弦公式，由弦化切得到，结合展开，利用基本不等式求解.三角形中常用的诱导公式有：，，等等.第9页/共16页四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在区间（0，π）上恰有2个零点，求的值．【答案】（1）（2）【解析】1）由两角差的正弦公式、二倍角公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性求解；（2）由对称性得，代入后再结合诱导公式求值．【小问1详解】∵；∴令，解得：，∴的单调递增区间为．【小问2详解】∵在区间（0，π）上恰有2个零点，∴，在（0，π）有两个根由（1）知，当时，函数图像的对称轴为，所以，则所以，第10页/共16页又，故．16.某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.（1）估计此次测试分数的平均值；（2）公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数；（3）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）.【答案】（1）（2）65（3），分的应聘者的成绩进入到了的范围内，分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内.【解析】1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可；（2）依题意可知求第三四分位数所对应的分数；（3）根据频率分布直方图中方差的计算公式求解即可，然后求出即可判断.【小问1详解】1－5组的频率分别为，.【小问2详解】第11页/共16页，这50名应骋者最低分数为第三四分位数所对应的分数，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，第三四分位数落在内，设为m，则，解得这50名店骋者的量低分数力65分.【小问3详解】依题意，，，，，分的应聘者的成绩进入到了的范围内，分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内.17.在中，内角的对边分别为，，，已知.（1）求内角；（2）点是边上的中点，已知，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】1）利用正弦定理将边化成角，根据辅助角公式即可求得内角2）根据向量加法的平行四边形法则可得，再利用数量积公式和基本不等式即可求得面积的最大值.【小问1详解】第12页/共16页在中，因为，由正弦定理得，因为，所以，于是有，所以，即，因为，所以，所以，即.【小问2详解】因为点是边上的中点，所以，对上式两边平分得：，因为，所以，即，而，有，所以，当且仅当时，等号成立.因此.即面积的最大值为.18.已知函数．（1）当时，求在上的单调区间；（2）若，使得，求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为.（2）第13页/共16页【解析】1）将代入，对其求导，通过导数正负来判断原函数增减；（2a在时的取值范围.【小问1详解】当时，，，令，得，故或.因为当时，解得或；当时，解得.所以的单调递增区间为，；单调递减区间为.【小问2详解】由题知，，，当时，，即在上的单调递减，故恒成立，不符合题意；当时，令，即，不妨设，且，则当时，，即，故在上的单调递增，因为，所以，在上大于零，符合题意.综上所述，.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．19.已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．第14页/共16页（1）求数列、通项公式；（2）设的前项和为，求（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．【答案】（1）；2）3）．【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式.(2)由错位相减法即可求出前项和.(3)由(1)可知，整理可得