平方差公式的综合应用课件北师大版数学七年级下册

第1章整式的乘除3乘法公式第2课时平方差公式的综合应用北师版

七年级数学（下）复习导入你还记得平方差公式吗?你能用文字表示这个公式吗?

(a+b)(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。新课导入如图，边长为a

的大正方形中有一个边长为b

的小正方形。

（1）请表示图中阴影部分的面积。aba2–b2（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗?(a+b)(a–b)a-babb（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗?abab阴影部分的面积相等：a2–b2=(a+b)(a–b)（4）对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法?ab把阴影部分分割成两个一样的直角梯形，如图所示。阴影部分的面积：(a+b)(a–b)a+ba-b例题解析（1）计算下列各组算式：7×9=8×8=11×13=12×12=79×81=80×80=636414314463996400（2）观察上述算式及其结果，你发现了什么?(a–1)(a+1)=

a2–1。（3）请用字母表示这一规律。符合平方差公式。例题解析用平方差公式进行计算：（1）103×97；

（2）118×122。解：（1）103×97

=(100+3)(100–3)

=1002–32

=9991；（2）118×122

=(120–2)(120+2)

=1202–22

=14396。(103+97)÷2=100(118+122)÷2=120你有什么发现?分析与示例命题角度1利用平方差公式进行数字计算利用平方差公式计算两个绝对值较大的数的乘积时，关键是将已知数写成两数和与这两数差的积的形式．【例1】用简便方法计算，则98×102变形正确的是()A．98×102＝1002＋22B．98×102＝(100－2)2C．98×102＝1002－22D．98×102＝(100＋2)2C【例2】运用平方差公式简便计算：(1)69×71;解：(1)原式＝(70－1)×(70＋1)＝702－12＝4899；(2)1007×993.解：(2)原式＝(1000＋7)(1000－7)＝10002－72＝999951.命题角度2利用平方差公式整体求值把相同的代数式看作一个整体，再利用平方差公式求值，注意有些代数值的非负性．【例3】如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为()A．49B．7C．－7D．7或－7D【例4】若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)－3＝0，则a2＋b2的值为____．2命题角度3添项后运用平方差公式此类题是通过适当添项变形成平方差公式的形式，从而进行简便计算．【例5】先阅读理解，再解答问题．如何计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以(2－1)，所以原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝232－1.试用上述方法求(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1的值．

试用上述方法求(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1的值．命题角度4利用平方差公式计算图形的面积图形面积的计算一般是通过分割图形，利用面积的不同表示方法将问题转化，进而达到求解的目的．【例6】将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为()A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

B．(a＋b)2＝(a－b)2＋4abC．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2D【例7】为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后长方形草坪的面积与原来正方形草坪的面积相比()A.增加了6m2B．增加了9m2C．减少了9m2D．保持不变C应用举例【例1】用平方差公式进行计算：(1)103×97；

【方法指导】(1)103比100多3，97比100少3，可以写成(100＋3)(100－3)，再用平方差公式计算；解：(1)原式＝(100＋3)(100－3)＝1002－32＝9991；

(2)118×122.(2)原式＝(120－2)(120＋2)＝1202－22＝14396.(2)118比120少2，122比120多2，可以写成(120－2)(120＋2)，再用平方差公式计算．

(2)13.2×12.8.(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝168.96.【方法指导】(2)可改写成(13＋0.2)×(13－0.2)，利用平方差公式计算．【方法指导】综合应用单项式(多项式)乘多项式计算，注意平方差公式的结构特征，用平方差公式计算简便．解：(1)原式＝a2(a2－b2)＋a2b2＝a4－a2b2＋a2b2＝a4；(2)(2x－5)(2x＋5)－2x(2x－3).(2)原式＝4x2－25－4x2＋6x＝6x－25.【例3】计算：(1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2；【例4】如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是________________________．图①图②

(a＋b)(a－b)＝a2－b2.课堂小结原理:等面积法简便运算方法:用不同方法表示

同一图形的面积混合运算平方差公式验证公式应用随堂练习1．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是()A．(m－n)(－m－n)

B．(－1＋mn)(1＋mn)C．(－m＋n)(m－n)

D．(3m－2)(3m＋2)C2．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n的值为()A．1

B．2

C．2或－2

D．4B3．某中学为了响应“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池．已知游泳池长为(4a2＋9b2)m，宽为(2a＋3b)m，高为(2a－3b)m，请你计算一下这个游泳池的容积是多少．解：(4a2＋9