人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 6.1 圆的基本概念与性质

试卷第=page11页，共=sectionpages33页6.1圆的基本概念与性质一、选择题1．（2024·湖南）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A=45°，则∠BOC的度数为（

）

A．60° B．75° C．90° D．135°2．（2024·甘肃临夏）如图，AB是⊙O的直径，∠E=35°，则∠BOD=（

）A．80° B．100° C．120° D．110°3．（2025·重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=100°，∠C的度数是（

）A．40° B．50° C．80° D．100°4．（2024·江苏连云港）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（

）

A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线5．（2025·山东青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD=128°，则∠DAE的度数为（

）A．52° B．54° C．64° D．74°6．（2024·四川宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB=60°，则∠ABC的度数等于（

）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（2024·甘肃）如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A=35°，则∠C的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°8．（2024·四川广元）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于（

）A．64° B．60° C．54° D．52°9．（2024·西藏）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（

）A．2 B．22 C．2310．（2024·江苏南京）如图，在正n边形中，∠1=20°，则n的值是（

）

A．16 B．18 C．20 D．3611．（2025·甘肃甘南）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=18°，则∠D的度数是（

）A．18° B．36° C．48° D．72°12．（2025·四川泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB=AC, ∠ACB=70°，则∠CBD=（A．40° B．50° C．60° D．70°13．（2025·甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB⏜=BC⏜，连接BD，若∠ABC=70°，则A．20° B．35° C．55° D．70°14．（2025·山西）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC=BC，则∠D的度数为（A．30° B．45° C．60° D．75°15．（2025·山东东营）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是（

）A．50° B．55° C．65° D．70°16．（2025·湖南长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB=40°,∠OCA=30°，则∠BCO的度数为（

）A．40° B．45° C．50° D．55°17．（2025·青海）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数是（

）A．80° B．50° C．40° D．25°18．（2025·四川巴中）如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使AD=AC，连接CD，则∠ACD为（

）A．70° B．50° C．45° D．40°19．（2025·西藏）如图，在⊙O中，直径AB=6，BC是⊙O的弦，若∠B=60°，则AC的长为（

）A．6π B．4π C．2π20．（2024·云南）如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC=36∘，则A．9∘ B．18∘ C．36∘21．（2024·黑龙江绥化）下列叙述正确的是（

）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B．平分弦的直径垂直于弦C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等22．（2024·海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则A．105° B．100° C．90° D．70°23．（2024·新疆）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD=8，OD=5，则BE的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．424．（2024·内蒙古赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（）A．61° B．63° C．65° D．67°25．（2024·湖南长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（

）A．4 B．42 C．5 D．26．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D=28°，则∠OAB的度数为（）A．28° B．34° C．56° D．62°27．（2024·四川宜宾）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D．则AB+ACAD的值为（

A．2 B．3 C．22 D．28．（2024·黑龙江牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°29．（2024·山东泰安）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（

）A．65° B．55° C．50° D．75°30．（2024·山西）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°31．（2024·山东青岛）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA=3，AB=CD，A．54π B．58π C．32．（2025·甘肃平凉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（

）A．20° B．35° C．55° D．70°33．（2025·广东广州）如图，⊙O的直径AB=4，C为AB中点，点D在弧BC上，BD=13BC，点P是AB上的一个动点，则A．2+7 B．2+23 C．3+734．（2024·广东广州）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定35．（2024·内蒙古通辽）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径为（A．1.25m B．1.3m C．1.4m36．（2025·四川南充）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）A．4 B．27 C．6 D．37．（2025·四川宜宾）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB=8，OC=5．则OD的长是（）A．3 B．2 C．6 D．538．（2025·新疆）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，则∠BOC=（

）A．30° B．45° C．60° D．75°39．（2025·四川广元）如图，CD是⊙O的弦，过圆心O作OA⊥CD于点H，交⊙O于点A，OH:HA=3:2，点M是CBD上异于C，D的一点，连接CM，DM，则sin∠CMD的值是（

A．35 B．45 C．23二、填空题40．（2024·四川南充）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC=30°，则∠ADC=度．41．（2024·江苏连云港）如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4=°．

42．（2024·江苏盐城）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=40°，连接OA、OB，则∠OAB=

43．（2024·江苏苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=．44．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B=25°，则∠CAD°．45．（2024·江苏常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD=20°，则∠ABD=°．46．（2024·江苏镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n=．

47．（2024·陕西）如图，AB为⊙O的直径，AC=AD，∠A=53°，则∠B的度数是48．（2025·江苏连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°．若⊙O的半径为2，则劣弧BC的长为．49．（2025·安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P=50°，则∠PAB的大小为°．50．（2025·江苏扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=50°，则∠OBC=°．51．（2025·四川宜宾）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC=°．52．（2025·陕西）如图，AB为⊙O的直径，BC=BD，∠CDB=24°，则∠ACD的度数为53．（2025·甘肃甘南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为．54．（2025·江苏盐城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，连接OB、OD，则∠BOD=°．55．（2024·北京）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠D=35°，则∠C=°

56．（2025·山东东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB57．（2025·四川内江）如图，AB是⊙O的弦．半径OC⊥AB于点D，且AB=8,OC=5．则DC的长是．58．（2025·四川凉山）如图，△ABC内接于⊙O,∠B=65°,∠C=70°，若BC=22，则BC的长为59．（2025·江苏南通）在平面直角坐标系中，以点A3,0为圆心，13为半径作⊙A．直线y=kx−3k+2与⊙A交于B,C两点，则BC的最小值为60．（2024·四川巴中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是．61．（2024·山东）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，则∠CAB=62．（2024·四川眉山）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连接BD．若AB=10，BD=25，则BC的长为63．（2024·陕西）如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是．

64．（2024·山东滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D=．65．（2024·江苏淮安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=50°，⊙O半径为3，则BC的长为．66．（2024·青海西宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，AB=BC，∠ADE=110°，则∠DAB=67．（2025·四川广安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为．68．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F．若AB=4，则图中阴影部分的面积为．69．（2025·广东深圳）如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，点G落在⊙B上，且点F为EG中点．若AF=1，AE=3，则CD的长为．70．（2025·江苏常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB=45°，AD=1，则AB=．71．（2024·黑龙江牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD=6,BE=1，则弦AC的长为．72．（2024·江西）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为．三、解答题73．（2025·四川眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作BE∥DC，交⊙O于点E，连接AE、AC．(1)求证：CE=(2)若∠BAE=60°，⊙O的半径为2，求AC的长．74．（2025·贵州）如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为BC的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E．连接CD，BD．(1)点O与AB的位置关系是，线段CD与线段BD的数量关系是；(2)过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F．根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若⊙O的半径为3,DE=4，求CD的长．75．（2025·四川乐山）如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC=∠DEB．(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)若BE∥CD，tanC=34，CD=576．（2024·江苏苏州）如图，△ABC中，AB=42，D为AB中点，∠BAC=∠BCD，cos∠ADC=24，(1)求BC的长；(2)求⊙O的半径．77．（2024·新疆）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AD=(1)求证：△ACD∽△ECB；(2)若AC=3,BC=1，求CE的长．78．（2024·广东深圳）如图，在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E．(1)求证：DE⊥BE；(2)若AB=56，BE=5，求⊙O79．（2024·江苏无锡）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点(1)求证：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度数．80．（2024·江苏南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD=BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．

81．（2025·四川成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC,BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在AC上取点E，使EC=BC，连接BE，交AC于点(1)求证：BE∥CD；(2)若sinD=23，BD=1，求半圆O82．（2025·宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD，连接BD．(1)求证：∠CBD=∠BDC；(2)延长AB至点E，使BE=AD，连接CE．求证：ACAB+AD83．（2025·江苏无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD=CA，DB的延长线交⊙O于点(1)求证：AB=BD；(2)若AB=3，cos∠ABE=84．（2025·上海）如图，已知AB，CD为⊙O中的两弦，联结OA，OB交弦CD于点E，F，且CE=DF．(1)求证：AB∥(2)如果AB=BD，求证：85．（2024·内蒙古包头）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如图1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥86．（2025·安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180°．(1)求证：OC∥AD；(2)若AD=2，BC=23，求AB87．（2025·青海西宁）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点(1)求证：∠AOE=∠AOF；(2)求证：四边形AMON是菱形；(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．88．（2024·四川成都）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF(1)求证：BC⋅DF=BF⋅CE；(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF89．（2024·浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延长AD至点E，使AE=AC，延长BA至点F，连结EF，使(1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数．(2)求证：①EF∥BC；②

参考答案与解析一、选择题1．（2024·湖南）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A=45°，则∠BOC的度数为（

）

A．60° B．75° C．90° D．135°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知∠A=1【详解】根据题意，圆周角∠A和圆心角∠BOC同对着BC，∴∠A=1∵∠A=45°，∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°．故选：C．2．（2024·甘肃临夏）如图，AB是⊙O的直径，∠E=35°，则∠BOD=（

）A．80° B．100° C．120° D．110°【答案】D【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠AOD=2∠E．由圆周角定理得到∠AOD=2∠E=70°，由邻补角的性质求出∠BOD=180°−70°=110°．【详解】解：∵∠E=35°，∴∠AOD=2∠E=70°，∴∠BOD=180°−70°=110°．故选：D．3．（2025·重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=100°，∠C的度数是（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】B【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∴∠C=1故选：B．4．（2024·江苏连云港）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（

）

A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线【答案】C【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧，故选：C．5．（2025·山东青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD=128°，则∠DAE的度数为（

）A．52° B．54° C．64° D．74°【答案】C【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据DC=BC可得∠CDB=∠CBD，可求出∠CDB,∠CBD的度数，再由∠ADC=90°和圆内接四边形的性质可求解∠ABD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD=2∠ABD=128°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAO，最后根据切线性质定理即可求解．【详解】解：连接BD，OA，OD，如图，∵DC=BC，∠BCD=128°，∴∠CDB=∠CBD=180°−128°∵∠ADC=90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=90°−26°=64°，∴∠AOD=2∠ABD=128°，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=180°−∠AOD又∵直线EA为⊙O的切线，∴∠EAO=90°，∴∠DAE=90°−∠DAO=90°−26°=64°．故选：C．6．（2024·四川宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB=60°，则∠ABC的度数等于（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠CDB=∠A=60°，进一步计算即可解答．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CDB=60°，∴∠A=∠CDB=60°，∴∠ABC=90°−∠A=30°，故选：A．7．（2024·甘肃）如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A=35°，则∠C的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】A【分析】根据∠A=35°得到∠O=70°，根据AC⊥OB得到∠CDO=90°，根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可．本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．【详解】∵∠A=35°，∴∠O=70°，∵AC⊥OB，∴∠CDO=90°，∴∠C=90°−∠O=20°．故选A．8．（2024·四川广元）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于（

）A．64° B．60° C．54° D．52°【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得∠ABC的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出∠CDE=∠ABC，即可得到答案．【详解】解：∵∠ABC是圆周角，与圆心角∠AOC对相同的弧，且∠AOC=128°，∴∠ABC=1又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠CDE=∠ABC=64°，故选：A．9．（2024·西藏）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（

）A．2 B．22 C．23【答案】C【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到∠ACD=∠ABD=60°，∠ADC=90°，根据CD=2得到AC=2CD=4，最后根据勾股定理求解即可得到答案【详解】解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵AD=AD，∴∠ACD=∠ABD=60°，∴∠DAC=90°−60°=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=4故选：C．10．（2024·江苏南京）如图，在正n边形中，∠1=20°，则n的值是（

）

A．16 B．18 C．20 D．36【答案】B【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，中心角，先标字母，将正n变形看成一个圆，再根据圆周角定理求出∠BOC，可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数．【详解】解：如图所示，标准正方形的中心O，∠AOB为中心角，将正n变形看成一个圆，∵∠1=20°，∴∠BOC=2∠1=40°，∴∠AOB=∠AOC=20°，∴n=360°故选：B．

11．（2025·甘肃甘南）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=18°，则∠D的度数是（

）A．18° B．36° C．48° D．72°【答案】B【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB=90°，再由切线长定理得BD=DC，从而得∠DBC=∠DCB=90°−18°=72°，进而即可求解．【详解】解：连接BC，∵DB，DE分别切⊙O于点B、C，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DBC=∠DCB=90°−18°=72°，∴∠D=180°−72°×2=36°．故选：B．12．（2025·四川泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB=AC, ∠ACB=70°，则∠CBD=（A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得∠BAC=40°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC=40°，进而根据BD为⊙O的直径，得出∠BCD=90°，进而得出∠CBD=50°即可求解．【详解】解：∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=40°，∵BC=∴∠BDC=∠BAC=40°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠CBD=90°−∠BDC−90°−40°=50°故选：B．13．（2025·甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB⏜=BC⏜，连接BD，若∠ABC=70°，则A．20° B．35° C．55° D．70°【答案】C【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=110°，根据AB⏜=BC⏜得到∠ADB=∠BDC，即可得到【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC=180°−∠ABC=180°−70°=110°，∵AB⏜∴∠ADB=∠BDC，∵∠ADC=∠BDC+∠ADB，∴∠BDC=1故选：C．14．（2025·山西）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC=BC，则∠D的度数为（A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，连接AC、BC，由AB为⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而由AC=BC得【详解】解：连接AC、BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠D=∠CBA=45°，故选：B．15．（2025·山东东营）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】C【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．【详解】解：∵∠BOD=130°，∴∠BAD=1∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°且∠BCD+∠ECD=180°，∴∠ECD=∠BAD=65°，故选：C．16．（2025·湖南长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB=40°,∠OCA=30°，则∠BCO的度数为（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】C【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠ACB=1【详解】解：∵∠AOB=40°,∠OCA=30°，∴∠ACB=1∴∠BCO=∠OCA+∠ACB=30°+20°=50°，故选：C．17．（2025·青海）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数是（

）A．80° B．50° C．40° D．25°【答案】B【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据AB是⊙O的直径得出∠ACB=90°，即可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠CAB=40°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°，故选：B．18．（2025·四川巴中）如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使AD=AC，连接CD，则∠ACD为（

）A．70° B．50° C．45° D．40°【答案】C【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得∠BAC=∠CAD=90°，再利用等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：∵BC是圆的直径，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=90°，∵AD=AC，∴∠D=∠ACD=180°−∠CAD故选：C．19．（2025·西藏）如图，在⊙O中，直径AB=6，BC是⊙O的弦，若∠B=60°，则AC的长为（

）A．6π B．4π C．2π【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接OC，由圆周角定理可得∠AOC=2∠B=120°，再求出半径OA=3，根据弧长公式计算求解即可．【详解】解：如图，连接OC，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，∵直径AB=6，∴OA=3，∴AC的长为120π故选：C．20．（2024·云南）如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC=36∘，则A．9∘ B．18∘ C．36∘【答案】B【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接OB，由AC=BC可得【详解】解：连接OB，∵AC=∴∠BOC=∠AOC=36°，∴∠D=1故选：B．21．（2024·黑龙江绥化）下列叙述正确的是（

）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B．平分弦的直径垂直于弦C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．【详解】A.顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．22．（2024·海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则A．105° B．100° C．90° D．70°【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接OB，OC，证明△AOB和△BOC都是等边三角形，求得∠BPC=30°，利用三角形内角和定理求得∠PBC=20°，据此求解即可．【详解】解：连接OB，OC，∵AD是半圆O的直径，AB=∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，∴△AOB和△BOC都是等边三角形，∴∠OBC=∠OBA=60°，∵BC=∴∠BPC=1∵∠PCB=130°，∴∠PBC=180°−130°−30°=20°，∴∠PBO=60°−20°=40°，∴∠PBA=40°+60°=100°，故选：B．23．（2024·新疆）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD=8，OD=5，则BE的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．根据垂径定理求得DE=12DC=4，再对Rt△OED运用勾股定理即可求【详解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴DE=12DC=4∴在Rt△OED中，由勾股定理得OE=∴BE=OB−OE=5−3=2，故选：B．24．（2024·内蒙古赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（）A．61° B．63° C．65° D．67°【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得∠AOC=∠BOC=42°，利用圆周角定理求得∠D=1【详解】解：∵半径OC⊥AB，∴AC=∴∠AOC=∠BOC=42°，∠AOB=84°，∵AC=∴∠D=1∴∠OED=∠AOB−∠D=63°，故选：B．25．（2024·湖南长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（

）A．4 B．42 C．5 D．【答案】B【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，∴OE⊥AB，AE=1在Rt△AOE中，OA=故选：B．26．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D=28°，则∠OAB的度数为（）A．28° B．34° C．56° D．62°【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出∠COB，根据等腰三角形的三线合一性质求出∠AOB，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵∠D=28°，∴∠BOC=2∠D=56°，∵OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOB=2∠BOC=112°，∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=1故选：B．27．（2024·四川宜宾）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D．则AB+ACAD的值为（

A．2 B．3 C．22 D．【答案】A【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键．作辅助线如图，先证明BD=CD，∠ACD+∠ABD=180°，从而可以得到旋转后的图形，再证明△A【详解】解：如图，连接BD、CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠BDC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴BD=∴BD=CD，在四边形ABDC中，∠BAC=∠BDC=90°，∴∠ACD+∠ABD=180°，∴△ADC绕D点逆时针旋转90°，则A,B,A∴AB+AC=AB+A∵由旋转可知∠A′∴∠A∴在等腰直角三角形A′DA中，∴AA故选：A28．（2024·黑龙江牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BEC=20°，得到∠ABC=90°−∠BAC=70°，再由圆内接四边形对角互补得到答案.【详解】解：如图，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BEC=20°，∴∠CAB=∠BEC=20°∴∠ABC=90°−∠BAC=70°∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°−∠ABC=110°，故选：B29．（2024·山东泰安）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（

）A．65° B．55° C．50° D．75°【答案】A【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到∠ABC=∠ABD，再根据圆周角定理得到∠ACB=90°，∠ABC=∠ABD=1【详解】解：∵BA平分∠CBD，∴∠ABC=∠ABD，∵AB是⊙O的直径，∠AOD=50°，∴∠ACB=90°，∠ABD=12∠AOD=25°∴∠A=180°−∠C−∠ABC=180°−90°−25°=65°，故选：A．30．（2024·山西）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出∠B=12∠AOD=40°【详解】解：∵AD=∴∠B=1∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°−40°=50°．故选：D．31．（2024·山东青岛）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA=3，AB=CD，A．54π B．58π C．【答案】A【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接OC、OD，由圆周角定理可得∠COD=2∠DBC=50°，进而得∠AOB=∠COD=50°，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．【详解】解：连接OC、OD，则∠COD=2∠DBC=50°，∵AB=∴∠AOB=∠COD=50°，∴S扇形故选：A．32．（2025·甘肃平凉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（

）A．20° B．35° C．55° D．70°【答案】C【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质．根据圆的内接四边形对角互补可得∠ADC的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=70°，∴∠ADC=180°−70°=110°，∵AB=BC，∴AB⏜∴∠ADC=∠BDC，∴∠BDC=110°×1故选：C．33．（2025·广东广州）如图，⊙O的直径AB=4，C为AB中点，点D在弧BC上，BD=13BC，点P是AB上的一个动点，则A．2+7 B．2+23 C．3+7【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点C关于AB的对称点C′，连接CC′,OD,C′D,C′P，交AB于点P′，因为⊙O的直径AB=4，C为AB中点，得CC′【详解】解：作点C关于AB的对称点C′，连接CC',OD,C'D,∴CP=∵⊙O的直径AB=4，C为AB中点，∴点O在C′C上，OC=OD=1∴CC∵BD=∴∠COD=1−∵CO=OD，则△COD是等边三角形，∴CD=OC=2，∵CC∴∠CD∴DC则△PCD周长=CD+PD+CP=2+PD+C∴△PCD周长的最小值是2+23故选：B．34．（2024·广东广州）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得AD=23，由圆周角定理可得∠AOC=60°，再结合特殊角的正弦值，求出⊙O【详解】解：如图，令OC与AB的交点为D，∵OC为半径，AB为弦，且OC⊥AB，∴AD=1∵∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°，在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=23∵sin∴OA=ADsin60°∵OP=5>4，∴点P在⊙O外，故选：C．35．（2024·内蒙古通辽）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径为（A．1.25m B．1.3m C．1.4m【答案】B【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD=BD=0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可；【详解】解：如图，连接OA，∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=1m∴CD⊥AB，AD=BD=0.5，设拱门所在圆的半径为r，∴OA=OC=r，而CD=2.5m∴OD=2.5−r，∴r2解得：r=1.3，∴拱门所在圆的半径为1.3m故选B36．（2025·四川南充）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）A．4 B．27 C．6 D．【答案】C【分析】如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，PE，由垂径定理得AC=CF=BF，进而得∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间线段最短得当E，P，M三点共线时，【详解】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，PE∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，∴AC∴∠AOC=∠COF=∠BOF，∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，∴点F关于AB的对称点为点M，∴PM=PF，∴PE+PF=PE+PM≥EM,当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，∵∠AOC=60°，AD⊥AB，∴∠D=30°，∴OD=2OA，∵CD=4，∴OD=OC+4=2OA=2OC，即OC=4，∴OC=OA=OB=OM=OF=4，∵AF⊥OC，∠AOC=60°，∴∠OAE=30°，∴OE=1∴PE+PF的最小值EM=OE+OM=2+4=6．故选：C．【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键．37．（2025·四川宜宾）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB=8，OC=5．则OD的长是（）A．3 B．2 C．6 D．5【答案】A【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理解答即可．【详解】解：∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=1又∵OA=OC=5，∴在Rt△OAD中，OD=故选：A．38．（2025·新疆）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，则∠BOC=（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．先根据垂径定理得到∠ADC=∠BDC=30°，再根据圆周角定理即可得到∠BOC=60°．【详解】解：连接BD．∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∴∠ADC=∠BDC=30°，∴∠BOC=2∠BDC=60°，故选：C．39．（2025·四川广元）如图，CD是⊙O的弦，过圆心O作OA⊥CD于点H，交⊙O于点A，OH:HA=3:2，点M是CBD上异于C，D的一点，连接CM，DM，则sin∠CMD的值是（

A．35 B．45 C．23【答案】B【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．只要证明∠CMD=∠COA，求出sin∠COA【详解】解：连接OD，如图，∵CD是⊙O的弦，OA⊥CD，∴AC∴∠COA=∠DOA，∴∠COA=1∵∠COD和∠CMD所对的弧都为CD，∴∠CMD=1∴∠CMD=∠COA，设OH=3x，∵OH:HA=3:2，OA=OC，∴OC=5x，CH=5x∴sin∴sin故选：B．二、填空题40．（2024·四川南充）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC=30°，则∠ADC=度．【答案】75【分析】本题考查圆周角定理，补角求出∠AOC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC=30°，∴∠AOC=180°−∠BOC=150°，∴∠ADC=1故答案为：75．41．（2024·江苏连云港）如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4=°．

【答案】90【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．【详解】∵AB是圆的直径，∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1故答案为：90．42．（2024·江苏盐城）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=40°，连接OA、OB，则∠OAB=

【答案】50【分析】本题考查主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理计算出∠AOB=2∠C=80°，再根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA，最后利用三角形内角和定理即可求出∠OAB．【详解】解：∵∠C=40°，∴∠AOB=2∠C=80°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∴∠OAB=1故答案为：50．43．（2024·江苏苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=．【答案】62°/62度【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接OC，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠BOC的度数，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OC，∵OB=OC，∠OBC=28°，∴∠OCB=∠OBC=28°，∴∠BOC=180°−∠OCB−∠OBC=124°，∴∠A=1故答案为：62°．44．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B=25°，则∠CAD°．【答案】65【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACD=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠B=25°，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD，∵△ABC内接于⊙O，AD是直径，∴∠ACD=90°，∵AC=AC,∴∠D=∠B=25°∴∠CAD=90°−25°=65°，故答案为：65．45．（2024·江苏常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD=20°，则∠ABD=°．【答案】70【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BD=BD，∴∠ADB=90°,∠A=∠BCD=20°，∴∠ABD=90°−20°=70°；故答案为：70．46．（2024·江苏镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n=．

【答案】10【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得∠AOB=36°，再根据正n边形的边数n=360°÷中心角，即可得出结论．【详解】解：∵∠ACB=18°，∴∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°，∴n=360°÷36°=10，故答案为：10．47．（2024·陕西）如图，AB为⊙O的直径，AC=AD，∠A=53°，则∠B的度数是【答案】37°/37度【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，直角三角形的性质等知识，连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而可求出∠ABC=37°，然后再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得出∠ABC的度数．【详解】解：连接BC，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠A=53°∴∠ABC=90°−∠A=37°，∵AC=∴∠ABD=∠ABC=37°，故答案为：37°．48．（2025·江苏连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°．若⊙O的半径为2，则劣弧BC的长为．【答案】π【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得∠BOC=90°，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答．【详解】解：连接BO,CO，如图所示：∵∠BAC=45°，BC=∴∠BOC=90°，∴劣弧BC=故答案为：π．49．（2025·安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P=50°，则∠PAB的大小为°．【答案】20【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接OB，由切线的性质可得∠PBO=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠BOP的度数，再由圆周角定理即可得到答案．【详解】解；如图所示，连接OB，∵PB与⊙O相切于点B，∴OB⊥PB，∴∠PBO=90°，∵∠P=50°，∴∠BOP=90°−∠P=40°，∴∠PAB=1故答案为：20．50．（2025·江苏扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=50°，则∠OBC=°．【答案】40【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=100°，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：∵点A,B,C在⊙O上，∠BAC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=100°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=180°−∠BOC故答案为：40．51．（2025·四川宜宾）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC=°．【答案】50【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先由圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=80°，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，∴∠BOC=2∠BAC=80°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=180°−80°故答案为：50．52．（2025·陕西）如图，AB为⊙O的直径，BC=BD，∠CDB=24°，则∠ACD的度数为【答案】66°【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据AB为⊙O的直径，BC=BD，则∠A+∠ACD=90°，再根据BC=BC，即【详解】解：∵AB为⊙O的直径，BC=∴AB⊥CD，即∠A+∠ACD=90°，∵BC=∴∠A=∠CDB=24°，则∠ACD=90°−∠A=90°−24°=66°，故答案为：66°．53．（2025·甘肃甘南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为．【答案】π【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．根据圆周角的性质，计算出弧CD所对的圆心角度数，按照弧长公式求出弧长即可．【详解】解：如图，连接OA、∵∠B=58°，∴∠AOC=2∠B=116°，∴∠DOC=36°，∴弧CD的长为36π×5180故答案为：π．54．（2025·江苏盐城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，连接OB、OD，则∠BOD=°．【答案】140【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，再根据圆周角定理求出∠BOD．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°−∠A=180°−110°=70°，由圆周角定理得：∠BOD=2∠BCD=2×70°=140°，故答案为：140．55．（2024·北京）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠D=35°，则∠C=°

【答案】55【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由垂径定理得到AB⊥CD，由BC=BC得到∠A=∠D=35°，故【详解】解：∵直径AB平分弦CD，∴AB⊥CD，∵BC=∴∠A=∠D=35°，∴∠C=90°−35°=55°，故答案为：55．56．（2025·山东东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB【答案】45/【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题．【详解】解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，由题意：AB=8，设OA=x，由OC=x，∴OH=x−2，∵OH⊥AB，OC为半径，∴AH=BH=1在Rt△OAH由勾股定理得AH∴42解得x=5，∴OA=5，∴cos∠OAB=故答案为：4557．（2025·四川内江）如图，AB是⊙O的弦．半径OC⊥AB于点D，且AB=8,OC=5．则DC的长是．【答案】2【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．先根据垂径定理得到AD=12AB=4，在Rt△ADO中，由勾股定理求解【详解】解：∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=12AB=4∵OC=5，∴OA=5，∴在Rt△ADO中，OD=∴CD=OC−OD=5−3=2，故答案为：2．58．（2025·四川凉山）如图，△ABC内接于⊙O,∠B=65°,∠C=70°，若BC=22，则BC的长为【答案】π【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接OB,OC，根据三角形的内角和定理，求出∠A的度数，圆周角定理求出∠COB的度数，易得△OCB为等腰直角三角形，进而求出OB,OC的长，再根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：连接OB,OC，则：OB=OC，在△ABC中，∠ABC=65°,∠ACB=70°，∴∠A=180°−60°−75°=45°，∵△ABC内接于⊙O，∴∠COB=2∠A=90°，∴△OCB为等腰直角三角形，∴OC=OB=2∴BC的长为90π180故答案为：π．59．（2025·江苏南通）在平面直角坐标系中，以点A3,0为圆心，13为半径作⊙A．直线y=kx−3k+2与⊙A交于B,C两点，则BC的最小值为【答案】6【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于y=kx−3k+2，当x=3时，y=2得直线y=kx−3k+2过定点3,2，再求出AP=2<13，得点P在⊙A内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与AP垂直的弦最短，得当直线y=kx−3k+2与AP垂直时，BC为最小，此时BC=2BP，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=3，进而可得【详解】解：∵y=kx−3k+2=k∴直线y=kx−3k+2过定点P3,2∵点A3,0∴AP=3−3又∵⊙A的半径为13，∴AP<13∴点P在⊙A内部，由于过圆内定点P的所有弦中，与AP垂直的弦最短，即当直线y=kx−3k+2与AP垂直时，BC为最小，如图所示：由垂径定理得：BP=CP，∴BC=2BP，在Rt△ABP中，AB=13，由勾股定理得：BP=A∴BC=2BP=6，即BC的最小值为6．故答案为：6．60．（2024·四川巴中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是．【答案】60°【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝12∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC【详解】解：∵四边形OABC为菱形，∴∠AOC＝∠ABC，由圆周角定理得：∠ADC＝12∠AOC∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．61．（2024·山东）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，则∠CAB=【答案】40°/40度【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出∠AOB的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出∠OAB的度数，利用平行线的性质求出∠OAC的度数，即可求解．【详解】解∶连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2∠ACB=50°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=1∵OA∥∴∠OAC=∠ACB=25°，∴∠CAB=∠OAB−∠OAC=40°，故答案为：40°．62．（2024·四川眉山）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连接BD．若AB=10，BD=25，则BC的长为【答案】8【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长AC，BD交于E，由圆周角定理可得∠ADB=∠ADE=90°，∠ACB=∠BCE=90°，进而可证明△ABD≌△AEDASA，得到BD=DE=25，即得BE=45，利用勾股定理得AD=45，再证明【详解】解：延长AC，BD交于E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADE=90°，∠ACB=∠BCE=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAE，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AEDASA∴BD=DE=25∴BE=45∵AB=10，BD=25∴AD=10∵∠DAC=∠CBD，又∵∠BAD=∠DAE，∴∠BAD=∠CBD，∵∠ADB=∠BCE=90°，∴△ABD∽△BEC，∴BE∴4∴BC=8，故答案为：8．63．（2024·陕西）如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是．

【答案】90°/90度【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A，结合三角形内角和定理，可证明2∠A+∠OBC+∠OCB=180°，再根据等腰三角形的性质可知∠OBC=∠OCB，由此即得答案．【详解】∵∠A是BC所对的圆周角，∠BOC是BC所对的圆心角，∴∠BOC=2∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴2∠A+∠OBC+∠OCB=180°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴2∠A+∠OBC+∠OBC=180°，∴2∠A+2∠OBC=180°，∴∠A+∠OBC=90°．故答案为：90°．64．（2024·山东滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D=．【答案】60°【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键；根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D=180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵四边形OABC是菱形，∴∠AOC=∠B，∵ABC=∴∠D=1∵∠B+∠D=180°，∠AOC=∠B，∴∠B+1解得：∠B=120°，∴∠D=180°−∠B=180°−120°=60°，故答案为：60°．65．（2024·江苏淮安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=50°，⊙O半径为3，则BC的长为．【答案】5【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=100°，再由弧长公式计算即可．【详解】解：∵∠BAC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=100°，∴BC故答案为：5366．（2024·青海西宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，AB=BC，∠ADE=110°，则∠DAB=【答案】125°/125度【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接AC，根据圆内接四边形性质求得∠ABC，结合弧、弦、圆心角的关系推出AB=BC，进而得到∠BAC，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到∠DAC=90°，最后根据∠DAB=∠DAC+∠BAC求解，即可解题．【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE=110°，∴∠ABC=180°−∠ADC=∠ADE=110°，∵AB=∴AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=180°−110°∵CD为直径，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+35°=125°；故答案为：125°．67．（2025·四川广安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为．【答案】6【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接DE，由圆周角定理得到∠BDE=90°,∠BED=∠A，根据圆内角四边形的内对角互补，求出∠A的度数，再解直角三角形求出BD的长即可．【详解】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，∴∠A=180°−120°=60°，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接DE，则：BE为⊙O的直径，∠BED=∠A=60°，∴∠BDE=90°，∵⊙O的半径为6，∴BE=12，在Rt△BDE中，BD=BE⋅故答案为：6368．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F．若AB=4，则图中阴影部分的面积为．【答案】4【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到OE⊥AB，由垂径定理可得AF=BF=2，由圆周角定理可得∠AOE=30°，进而证明△AOB是等边三角形，得到OF=23，再根据阴影部分的面积=【详解】解：∵AB所在圆的圆心为点O，边CD与⊙O相切于点E∴OA=OB=OE，OE⊥CD，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥∴OE⊥AB，∵AB=4，∴AF=BF=1∵∠ABE=15°，∴∠AOE=2∠ABE=30°，∵OA=OB，OF⊥AB，∴∠AOB=2∠AOF=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴OF=O∴阴影部分的面积=S故答案为：43【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．69．（2025·广东深圳）如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，点G落在⊙B上，且点F为EG中点．若AF=1，AE=3，则CD的长为．【答案】6【分析】由矩形的性质得∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，根据圆周角定理，可求得∠G=12∠ABC=45°，根据CE=GE，可推出∠GEC为直角，从点F为EG中点，可推出EF【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，∵∠G为FC所对的圆周角，FC所对的圆心角为∠ABC，∴∠G=1∵将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，∴CE=GE，∴∠ECG=∠G=45°，∴∠GEC=180°−∠G−∠ECG=180°−45°−45°=90°，∴∠AEF+∠DEC=∠AEF+∠