2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第2课时 菱形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页5.2矩形、菱形与正方形第2课时菱形一、与菱形有关的推理及计算1．（2021安徽中考第8题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（

）A． B． C． D．2．（2022安徽中考第22题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．(1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．3．（2024安徽中考第22题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．(1)求证：OE=OF；(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD

参考答案与解析一、与菱形有关的推理及计算1．（2021安徽中考第8题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因为O点是菱形ABCD的对称中心，∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四边形EFGH是矩形；设OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，EF=HG=2x如图，连接AC，则AC经过点O，可得三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=12∴x=OE=1∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=23故选A．2．（2022安徽中考第22题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．(1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．【答案】(1)见解析(2)（ⅰ）∠CED=60°；（ⅱ）见解析【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD，∴DO=BO，∵DE∥BC，∴∠ODE=∠OBC，∠OED=∠OCB，∴ΔODE≌ΔOBC∴DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形，∵CE⊥BD，∴四边形BCDE为菱形．（2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，∴CE垂直平分BD，∴BE=DE，∵BO=DO，∴∠BEO=∠DEO，∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠DEO，∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，∴∠CED=180°（ⅱ）连接EF，∵EG⊥AC，∴∠EGF=90°，∴∠EFA=90°−∠GEF，∵∠AEF=180°−∠BEF=180°−∠BEC−∠CEF=180°−∠BEC−=180°−60°−60°+∠GEF=60°+∠GEF∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴90°−∠GEF=60°+∠GEF，∴∠GEF=15°，∴∠OEF=∠CEG−∠GEF=60°−15°=45°，∵CE⊥BD，∴∠EOF=∠EOB=90°，∴∠OFE=90°−∠OEF=45°，

∴∠OEF=∠OFE，∴OE=OF，∵AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°，∴∠ECA=30°，∵∠EBO=90°−∠OEB=30°，∴∠OCF=∠OBE=30°，∵∠BOE=∠COF=90°，∴ΔBOE≌ΔCOF∴BE=CF．3．（2024安徽中考第22题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．(1)求证：OE=OF；(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD【答案】(1)见详解(2)（ⅰ）见详解，（ⅱ）2【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴AM∥CN，又∵AM=CN，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥CM，∴∠OAE=∠OCF．在△AOE与△COF中，∠OAE=∠OCF∴△AOE≌△COFASA∴OE=OF．（2）（ⅰ）∵HE∥AB∴OHOA又OB=OD．OE=OF，∴OHOA∵∠HOF=∠AOD，∴△HOF∽∴∠OHF=∠OAD，∴HF（ⅱ）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又OE=OF，∠EHF=60°，∴∠EHO=∠FHO=30°，∴OH=3∵AM∥B