2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 6.1 圆的基本概念与性质

试卷第=page11页，共=sectionpages33页6.1圆的基本概念与性质一、垂径定理及其推论1．（2022安徽中考第7题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（

）A． B．4 C． D．52．（2023安徽中考第20题）已知四边形内接于，对角线是的直径．

(1)如图1，连接，若，求证；平分；(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．3．（2021安徽中考第20题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．4．（2018安徽中考第20题）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．5．（2019安徽中考第19题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）二、圆周角定理及其推论6．（2021安徽中考第13题）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则．7．（2025安徽中考第20题）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180°．(1)求证：OC∥AD；(2)若AD=2，BC=23，求AB8．（2024安徽中考第20题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA=FE．(1)求证：CD⊥AB；(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长．三、与圆的基本性质相关的最值问题9．（2016安徽中考第10题）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A． B．2 C． D．

参考答案与解析一、垂径定理及其推论1．（2022安徽中考第7题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（

）A． B．4 C． D．5【答案】D【详解】解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，则AC=BC=12AB∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1∴PC=AC−PA=5−4=1，在RtΔAOC中，在RtΔPOC中，故选：D2．（2023安徽中考第20题）已知四边形内接于，对角线是的直径．

(1)如图1，连接，若，求证；平分；(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．【答案】(1)见解析(2)BC=3【详解】（1）∵对角线BD是⊙O的直径，OA⊥BD∴AB=∴∠BCA=∠DCA，∴CA平分∠BCD．（2）∵对角线BD是⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，∴DC⊥BC,DA⊥AB∵AE⊥BC,CE⊥AB，∴DC∥AE,DA∥CE，∴四边形AECD平行四边形，∴DC=AE=3，又∵BD=33∴BC=33．（2021安徽中考第20题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．【答案】（1）35【详解】（1）解：连接OC，∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线∴OM⊥CD，OM平分CD，∴∠OMC=90°.∵CD=12,∴MC=6．在Rt△OMC中,OC=∴圆O的半径为3（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．∵CE=EF，AE⊥FC,∴AF=AC.又∵CE=EF,∴∠1=∠2.∵BC=BC,在Rt△BED中∠D+∠B=90°∴∠1+∠B=90°∴∠AGB=90°∴AF⊥BD4．（2018安徽中考第20题）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．【答案】（1）画图见解析；（2）CE=30【详解】解：（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，∵AE平分∠BAC，∴BE=∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC=OC2−O在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE=EF2+F5．（2019安徽中考第19题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【答案】6.64米【详解】解：如图：连接CO并延长，交AB于点D，∵OD⊥AB，AB=6，∴AD=12AB在Rt△OAD中,∠OAB=41.3°，cos∠OAD=ADAO∴AO=ADcos∵sin∠OAD=ODAO∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.二、圆周角定理及其推论6．（2021安徽中考第13题）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则．【答案】2【详解】解：连接OB、OC、作OD⊥AB∵∠A=60°∴∠BOC=2∠A=120°∵OB=OC∴∠OBC=30°又∠B=75°∴∠ABO=45°在Rt△OBD中，OB=1∴BD==2∵OD⊥AB∴BD=AD=2∴AB=2故答案为：27．（2025安徽中考第20题）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180°．(1)求证：OC∥AD；(2)若AD=2，BC=23，求AB【答案】(1)详见解析(2)6【详解】（1）证明：∵∠AOC=2∠ABC，∠DAB+2∠ABC=180°，∴∠DAB+∠AOC=180°，∴OC∥AD．（2）解：连接BD，交OC于点E．由题意知，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴点E为BD的中点，又∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=1设半圆的半径为r，则CE=r−1．由勾股定理知，OB即r2解得r1=3，∴AB=2r=6．8．（2024安徽中考第20题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA=FE．(1)求证：CD⊥AB；(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长．【答案】(1)见详解(2)42【详解】（1）证明：∵FA=FE，∴∠FAE=∠AEF，又∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角，∴∠FAE=∠BCE，∵∠AEF=∠CEB，∴∠CEB=∠BCE，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，故∠CDE=90°，即CD⊥AB．（2）由（1）知，∠CEB=∠BCE，∴BE=BC，又FA=FE，FM⊥AB，∴MA=ME=MO+OE=2，AE=4，∴圆的半径OA=OB=AE−OE=3，∴BE=BC=OB−OE=2，在△ABC中．AB=2OA=6，BC=2∴AC=即AC的长为42三、与圆的基本性质相关的最值问题9．（2016安徽中考第10题）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】解：∵∠AB