安徽省淮南市田家庵区多校联考2025～2026学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学上册第21章~下册第24章说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B．C．D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图，点A，B，C，D在上，若，则度数为（）A. B. C. D.3.已知线段，，线段是线段，的比例中项，则线段的长为（）A. B. C. D.4.在中，，若，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，是由绕点逆时针旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（）A. B. C. D.6.如图，的半径为，为弦，为的中点，若，则弦的长为（）A. B. C. D.7.如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式的解集为（）A.或 B.或C. D.8.如图，若的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为（）A.3 B. C. D.9.已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：；；若为任意实数，则；；若，，则．其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.10.如图，为线段上一动点，分别以点，为圆心，长为半径作圆，两圆的一个交点为，以为直角边，在边左侧构造，其中，为的中点，连接，．若，则的最小值为（）A. B. C.4 D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.抛物线的对称轴是______．12.将长的线段黄金分割后得到两条线段，其中较长线段的长为______．13.如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若，则______．14.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点C的坐标为，A，两点都在双曲线上，P是x轴正半轴上的点．（1）反比例函数表达式中k的值是______．（2）当的周长最小时，点P的坐标是______三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．16.如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，与相交于点，是半圆的切线，与的延长线相交于点．（1）若，求证：；（2）若，，求的度数．18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．（1）以原点为位似中心，相似比为，在轴的左侧画出放大后的图形．（2）以原点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为．（1）求证：是的切线．（2）若，求的长．20.如图，这是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，，，三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿的夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，．求此运动员的身高．(精确到；参考数据：)六、（本题满分12分）21.综合与实践【项目主题】探究小车轮的形状原理【项目背景】在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作的方式开展项目式学习，探究小车轮制作成圆形的相关原理．【合作探究】（1）探究甲组：车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的，如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为．（2）探究乙组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面距离不断变化，如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为．（3）探究丙组：如图，有一个等边三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．【探究发现】车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．（4）探究丁组：使“莱洛三角形”以图为初始位置沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，大致为．（填写对应的字母）七、（本题满分12分）22.在平面直角坐标系中，直线与抛物线（a，b为常数，）交于点，且，M是该抛物线上位于A，B两点之间的动点．（1）若．①求抛物线对应的函数表达式；②求面积的最大值．（2）设抛物线顶点的横坐标为h，当，且时，求证：．八、（本题满分14分）23.如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，且可绕点O旋转，过点C作交直线于点E，连接．（1）如图1，当点E在线段上时，求证．（2）如图2，当点E在的延长线上时．（i）求线段之间的数量关系，并说明理由；（ii）若，请直接写出点D到的中点的距离．九年级数学上册第21章~下册第24章说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B．C．D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；故选：．2.如图，点A，B，C，D在上，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，根据和是同弧所对的圆周角，即可解答．【详解】解：和是同弧所对的圆周角，故选：B．3.已知线段，，线段是线段，的比例中项，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了比例中项的概念，熟练掌握比例中项的性质并结合线段长度为正的性质是解题的关键．根据比例中项的定义建立等式，代入数值计算并结合线段长度为正的性质确定结果．【详解】解：∵线段是线段，的比例中项，∴，∵，，∴，∴故选：C．4.在中，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形的性质及互余角的三角函数关系，熟练掌握“直角三角形中，两锐角互余，且一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值”是解题的关键．利用直角三角形中两锐角互余的性质，结合互余角的三角函数关系（）来求解．【详解】解：∵在中，，∴，∴，∵，∴，故选：A．5.如图，是由绕点逆时针旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了旋转的性质、三角形的内角和定理，解题关键是正确找出旋转角．首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解．【详解】解：,,,,∵是由绕点逆时针旋转得到的，则旋转角．故选：D．6.如图，的半径为，为弦，为的中点，若，则弦的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了垂径定理及推论，圆周角定理，直角三角形的性质，设与交于点，由为的中点，为半径，得，所以，，又，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，设与交于点，∵为的中点，为半径，∴，∴，，∵，∴，∴，故选：．7.如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式的解集为（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标与不等式解集之间的关系，根据一次函数、反比例函数与不等式的关系，结合具体的图象进行判断即可．【详解】解：由两个函数的交点坐标以及不等式的解集与一次函数、反比例函数的交点坐标之间的关系可知，不等式的解集为或，故选：A．8.如图，若的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握含角的直角三角形的特征是解题的关键．过点作于点，利用正多边形的性质得，进而可得，再求得正十二边形的面积，进而可求解．【详解】解：如图，过点作于点，圆内接正十二边形，，，，，圆内接正十二边形的面积为,，，故选：A9.已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：；；若为任意实数，则；；若，，则．其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与系数的关系，根据二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质进行判断即可，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．【详解】解：抛物线开口方向向下，则，∵抛物线对称轴位于轴右侧，∴异号，即，∵抛物线与轴交于正半轴，∴，∴，故错误；∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，故正确；∵抛物线对称轴为直线，，∴函数的最大值为，∴，即，故正确；∵抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，∴关于直线的对称点为，∴抛物线与轴的另一个交点在的右侧，∴当时，，∴，故错误；∵，，即，∴，∴，故正确，综上所述，正确的有，共个，故选：．10.如图，为线段上一动点，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为，以为直角边，在边左侧构造，其中，为的中点，连接，．若，则的最小值为（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的半径性质、等边三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理、线段垂直平分线判定、垂线段最短原理，以及含角直角三角形的性质．先由圆的半径相等推出为等边三角形，得到；再利用直角三角形斜边中线定理，结合线段垂直平分线判定，确定点在的平分线上运动；最后根据“垂线段最短”，找到垂直于时的最小值，结合含角直角三角形的性质，算出最小值为．【详解】解：如图，连接，，过点作，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为，，是等边三角形，，为的斜边的中点，，为的边的垂直平分线，，即点在的平分线上运动，根据从直线外一点到直线的垂线段是所有连接该点与直线的线段中最短的，则当点与点重合时，有最小值，此时．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.抛物线的对称轴是______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的对称轴为．【详解】解：二次函数为：，对称轴为：，故答案为：．12.将长的线段黄金分割后得到两条线段，其中较长线段的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了黄金分割点的概念，直接由黄金分割的定义列式计算即可．【详解】解：∵将长的线段进行黄金分割后得到两条线段，∴较长线段的长为，故答案为：．13.如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若，则______．【答案】【解析】【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB=2∠C=90°，即可求出．【详解】解：连接OA、OB，∵，∴∠AOB=2∠C=90°，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍，熟记圆周角定理是解题的关键．14.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点C的坐标为，A，两点都在双曲线上，P是x轴正半轴上的点．（1）反比例函数表达式中k的值是______．（2）当的周长最小时，点P的坐标是______【答案】①.6②.【解析】【分析】本题考查反比例函数，一次函数，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明，从而求出的值．（1）过作轴于，过作轴于，证明，得，即有，解得，，即可解答；（2）作关于轴的对称点，连接交轴于，故当最小时，周长最小，求得直线的解析式，即可解答．【详解】解：（1）过作轴于，过作轴于，如图：是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，恰好落在反比例函数第一象限的图象上，，，，故答案为：；（2）作关于轴的对称点，连接交轴于，如图：当最小时，周长最小，，关于轴对称，，当，，共线时，最小，周长也最小，设直线的解析式为，把，代入可得，，解得，∴直线的解析式为，令，解得，故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】【解析】【详解】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，将特殊角三角函数值代入求解即可，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．解：．16.如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径．【答案】米【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，设半径为r，连接，利用勾股定理列出即可解答．详解】解：如图，连接，由题意可得，米，设半径为r，则，由勾股定理得，即，解得，所以该门洞所在圆（）的半径为米．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，与相交于点，是半圆的切线，与的延长线相交于点．（1）若，求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，切线的性质等，掌握知识点的应用是解题的关键．（）由是半圆的直径，则，再利用全等三角形的判定定理可直接判定全等；（）由是半圆的直径，所以，则有，，从而得垂直平分，所以，故，根据切线的性质可得，然后通过直角三角形的性质即可求解．【小问1详解】证明：∵是半圆的直径，∴，在和中，，∴；【小问2详解】解：∵是半圆的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，∵是半圆的切线，∴，∴，∴，∴度数为．18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．（1）以原点为位似中心，相似比为，在轴的左侧画出放大后的图形．（2）以原点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】本题主要考查了利用旋转和位似作图，掌握知识点的应用是解题的关键．（）首先以点为位似中心分别作点的对应点，然后顺次连接三个对应点，得到；（）以点O为旋转中心分别画出点旋转后的对应点，然后顺次连接三个点得到．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，即为所求．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为．（1）求证：是的切线．（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）12【解析】【分析】本题考查与圆的性质概念，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键．（1）连接、，得，即有，根据三线合一得，从而得出是的中位线，得，即可推出，根据切线的判定定理得证；（2）由题意证明，求出，从而得出结论．【小问1详解】证明：连接、，如图：是的直径，，，，，，是的中位线，，，，是的半径，是的切线；小问2详解】解：若，则，，，，，，，，，，，，即的长为．20.如图，这是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，，，三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿的夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，．求此运动员的身高．(精确到；参考数据：)【答案】此运动员的身高为【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，核心是利用三角函数定义，结合图形中的垂直、平行关系，分别计算上身、大腿、小腿的长度，再求和得到运动员的身高．【详解】解：在中，，，∴．∵，∴．∵，，∴．在中，，，，运动员的身高为上身长度、大腿长度与小腿长度之和：，故此运动员的身高为．六、（本题满分12分）21.综合与实践【项目主题】探究小车轮的形状原理【项目背景】在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作的方式开展项目式学习，探究小车轮制作成圆形的相关原理．【合作探究】（1）探究甲组：车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的，如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为．（2）探究乙组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化，如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为．（3）探究丙组：如图，有一个等边三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．【探究发现】车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．（4）探究丁组：使“莱洛三角形”以图为初始位置沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，大致为．（填写对应的字母）【答案】（）；（）；（）；（）．【解析】【分析】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，等边三角形的性质，圆的弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（）利用圆的有关性质解答即可；（）利用正方形的性质，点的运动轨迹的特征解答即可；（）由题意画出符合题意的图形，类比得到点的轨迹，再利用圆的弧长公式解答即可；（）利用“莱洛三角形”特征，分别对“最高点”和“车轮轴心”的运动轨迹进行分析即可得出结论．【详解】解：（）连接并延长交于点，如图，∵车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，∴轴心到地面的距离为，∵圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离不变等于圆的直径，∴车轮最高点到地面的距离始终为，故答案为：；（）过点作于点，以点为圆心，为半径画弧交正方形的边于点，如图，∵为正方形的中心，，∴中心距离地面的最低距离为，由勾股定理得：，∵点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的弧，∴点为车轮轴心距离地面的最高点，∵∴车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为故答案为：；（）连接，，过点作于点，如图，

∵为等边三角形的中心，∴，∵为等边三角形的中心，∴，∵，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴的长，∴车轮在地面上无滑动地滚动一周，点经过的路径长为；（）由题意得：当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动时，在滚动过程中，其“最高点”与水平线距离保持不变，∴其“最高点”的移动路径是水平的，∵“车轮轴心”到水平平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环，∴其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上