安徽安庆市宿松县2025~2026学年度第一学期九年级期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．2．请将答案正确填写在答题卷上．3．本卷共七大题，23小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1.二次函数图象与x轴的交点个数是（）A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定2.下面四组线段中不能成比例线段的是（）A.3、6、2、4 B.4、6、8、10C.1、、、 D.、、2、3.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（）m．A. B. C. D.4.五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（）A.6 B.5 C.4 D.35.在中，，则下列各式中正确的是（）A. B. C. D.6.当自变量时，下列函数随的增大而增大的是()A. B. C. D.7.如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（）A. B. C. D.8.已知二次函数中部分和的值如表所示：0.890560.25则方程的一个较大的根的范围是（）A. B. C. D.9.如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（）A.不变 B.一直变大C.先变大后变小 D.先变小后变大10.如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（）A.①②③④ B.①②③⑤ C.①③④⑤ D.②④⑤二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11.若，则________．12.如图，这是小美家的楼梯示意图，妈妈想给楼梯铺上地毯．已知，，米，则小美家楼梯的地毯长度至少需要______米．（结果保留根号）13.如图，在中，正方形内接于，点D、E分别在边上，点G、F在边上，如果，，那么的长是_________．14.如图，抛物线的顶点为，过点左侧抛物线上一点作轴于点，且．（1）______________________；（2）若是抛物线上的一点且，则点的坐标为___________三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．16.写出抛物线开口方向，对称轴和顶点坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务．（1）和关于轴对称，画出；（2）若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出；（3）已知，则点坐标为_____．18.游艇在湖面上以12千米/小时速度向正东方向航行，在O处看到灯塔A在游艇北偏东60°方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西30°方向上，求此时游艇与灯塔的距离AB．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图1，在中，，点在边上，点分别在边上，若．（1）求证：；（2）在图2中，当点为中点时，求证：平分．20.“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．(1)直接写出与的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？六、（本大题共2小题．每小题12分．满分24分）21.实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，）（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．22.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．七、解答题（本题满分14分）23.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求周长的最小值；（3）如图2，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标．

2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．2．请将答案正确填写在答题卷上．3．本卷共七大题，23小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1.二次函数的图象与x轴的交点个数是（）A0个 B.1个 C.2个 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可．【详解】解：判断二次函数图象与轴的交点个数，就是当时，方程解的个数，，此方程有两个相同的根，二次函数的图象与轴有一个交点．故选：B．【点睛】主要考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，解题的关键是掌握两者之间的关系．2.下面四组线段中不能成比例线段的是（）A.3、6、2、4 B.4、6、8、10C.1、、、 D.、、2、【答案】B【解析】【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案．【详解】解：A．，能成比例；B．，不能成比例；C．能成比例；D．，能成比例．故选B3.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（）m．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数可直接进行求解．【详解】解：由题意得：这名滑雪运动员的高度下降了米；故选A．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键．4.五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解．【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成，，即，解得：，故选：C5.在中，，则下列各式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：在中，，由勾股定理得：，则，，，，∴D选项正确，符合题意．故选：D．6.当自变量时，下列函数随的增大而增大的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，一次函数当大于时随增大而增大，二次函数当开口向下时在对称轴右侧随增大而减小．【详解】A．，，随增大而减小；B．，，开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小；C．，，随增大而增大；D．，，开口向下，对称轴，当时，随增大而减小．故选：C．7.如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法是解题的关键．根据坡角的正切值为坡度求解即可．【详解】解：设坡角为，则，∴，故选：B．8.已知二次函数中部分和的值如表所示：0.890.560.25则方程的一个较大的根的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质及用图象法确定一元二次方程的近似根，利用二次函数的对称性是解题关键，先求对称轴，再根据表格确定较小根的范围，最后通过对称求出较大根的范围．【详解】解：∵二次函数的对称轴为，由表可知，当时，；当时，，∴方程的较小根满足，∵二次函数的图象关于对称轴对称，设较大根为，则，∴，当时，；当时，，∴．故选C．9.如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（）A.不变 B.一直变大C.先变大后变小 D.先变小后变大【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，反比例函数比例系数的几何意义，，根据平行线的性质和反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案．详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∴，∵点位于反比例函数图像上，∴，故选：A．10.如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（）A.①②③④ B.①②③⑤ C.①③④⑤ D.②④⑤【答案】A【解析】【分析】通过证明≌推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤．【详解】解：四边形是正方形，，．∵，≌，，故①正确；由①得，∵，∴，∴，∴，故②正确；四边形是正方形，，即是的角平分线，点G到边与边的距离相等，即中边的高与中边的高相等，又，，故③正确；设正方形的边长为，当E是的中点时，，，由勾股定理得：，，，，∽，，．，，∽，，即，，，，，，当E是的中点时，，故④正确；当时，，，，∽，，中边的高与中边的高相等，，，设，则，，，，，，，，，，故⑤错误．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形．二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11.若，则________．【答案】【解析】【分析】该题考查了比例的性质，由已知条件，将所求表达式拆分为，然后代入已知值并计算．【详解】解：因为，且，所以．故答案为：．12.如图，这是小美家的楼梯示意图，妈妈想给楼梯铺上地毯．已知，，米，则小美家楼梯的地毯长度至少需要______米．（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形，理解题意，得到地毯的长度等于的长度，然后利用正切定义求得即可．【详解】解：在中，，，米，，∴（米），∴小美家楼梯的地毯长度至少需要米，故答案为：．13.如图，在中，正方形内接于，点D、E分别在边上，点G、F在边上，如果，，那么的长是_________．【答案】【解析】【分析】过点A作交于点，先通过等腰三角形的性质和勾股定理求出，根据正方形的性质确定平行线，继而确定，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算．【详解】解：过点A作交于点∵，，∴，∴在中，由勾股定理得，∵正方形，∴，∴，∵，∴，四边形是矩形，∴，，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．14.如图，抛物线的顶点为，过点左侧抛物线上一点作轴于点，且．（1）______________________；（2）若是抛物线上的一点且，则点的坐标为___________【答案】①.②.【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合．解决本题的关键主要是作辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形．设，根据抛物线的解析式可知，抛物线的顶点的坐标是，则可得点的坐标是，把点的横坐标代入解析式可以求出，根据可列方程，解方程求出的值即为的长度；过点作，取，作轴交抛物线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线的解析式和直线的解析式即可求出点的坐标．【详解】解：设，抛物线的顶点的坐标是，则点的坐标是，当时，，，，可得：，解得：或(不符合题意，舍去)，，故答案为：；解：如下图所示，过点作，取，作轴交抛物线于点，，，轴，，，，在和中，，，，，由可知，，点的坐标是，点的坐标是，，点的坐标是，，，由可知，，点的坐标是，设直线的解析式是，把点的坐标和点的坐标代入，可得：，解得：，直线解析式是，解方程组，可得：，(与点重合，舍去)，点的坐标是．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及二次根式混合运算、分母有理化等知识，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．先由特殊角的三角函数值求出各部分，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案．【详解】解：．16.写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．【答案】抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是【解析】【分析】本题考查抛物线的性质以及求顶点坐标、对称轴的方法．此题既可以利用的顶点坐标公式求得顶点坐标和对称轴，也可以利用配方法求出顶点的坐标和对称轴．【详解】解：，抛物线的开口向上．，对称轴是直线，顶点坐标是．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务．（1）和关于轴对称，画出；（2）若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出；（3）已知，则点坐标为_____．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】【分析】本题考查了作图——位似变换、轴对称变换，掌握知识点的应用是解题的关键．（）分别作点关于轴的对称点，然后连线即可；（）由（）及位似的性质进行作图即可；（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，即为所求；【小问3详解】解：由平面直角坐标系可得：点坐标为故答案为：．18.游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在O处看到灯塔A在游艇北偏东60°方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西30°方向上，求此时游艇与灯塔的距离AB．【答案】6千米【解析】【分析】过点A作AC⊥OB交OB于C，构造直角三角形，设AC＝x，结合锐角三角函数将OC、BC用x表示，然后列式求解，算出AC长，最后再根据锐角三角函数算出AB长．【详解】如图，过点A作AC⊥OB交OB于C，则AC为所求，设AC＝x，由题意得：OB＝12千米，∠AOC＝30°，∠ABC＝60°，在Rt△ACO和Rt△ACB中：tan30°＝，tan60°＝，则OC＝，BC＝，而OC+CB＝＝12，解得：x＝，故AB＝（千米），答：此时游艇与灯塔的距离AB为6千米．【点睛】本题考查锐角三角函数实际应用，解题的关键是做辅助线构造直角三角形，然后利用锐角三角函数解直角三角形．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图1，在中，，点在边上，点分别在边上，若．（1）求证：；（2）在图2中，当点为的中点时，求证：平分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可证，即可得结论；（2）根据相似三角形的性质得到等量代换得到，，从而可证得，根据相似三角形的性质即可得到结论．【小问1详解】证明：，．∵，，．．【小问2详解】证明：，．点是的中点，．．，．．平分．20.“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．(1)直接写出与的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？【答案】(1)；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．【解析】【分析】(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出与的函数关系式；(2)利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；(3)利用总利润，求出的值，进而得出答案．【详解】解：(1)由题意可得：整理得；(2)由题意，得：∵，∴有最大值，即当时，，∴应降价(元)答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)由题意，得：解之，得：，，∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故，∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出与之间的函数关系式是解题关键．六、（本大题共2小题．每小题12分．满分24分）21.实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，）（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为；（2）线段的长度约为．【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．（1）求出、的长，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可；（2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可．【小问1详解】解：如图，过点E作于点G，∵，，，，在中，，，，，答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为；【小问2详解】解：如图，过点B分别作，，垂足分别为H、P，则四边形是矩形，在中，，，，，，∵，，，∵，，，，，答：线段的长度约为．22.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）CE∥AD，理由见解析；（3）．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（