四川省遂宁市2026年中考诊断性考试数学试题附答案

中考诊断性考试数学试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的．)1．下列运算正确的是（）A． B．C． D．2．刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”.其中数字42000000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图保持不变 B．俯视图保持不变C．左视图保持不变 D．三种视图都变化4．猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞赛活动，其中甲组学生的成绩为：82，81，83，84，81，80，则这组数据的众数和中位数分别为（）A．81，83 B．81，81.5 C．81.5，81 D．81，83.55．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）A． B．C． D．6．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．7．函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．8．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）A．20 B．22 C．24 D．269．如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（）A． B． C． D．10．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④二、填空题．(本大题5个小题，每小题4分，共20分)11．不等式组的解集是12．随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为．13．在锐角三角形中，已知，满足，则．14．如图，扇形中，，，是的中点，交于点，以为半径的弧交于点，则图中阴影部分的面积是．15．如图，点A在y轴上，点B在x轴上，，点C是线段的中点，点D坐标，连接，向外以为边作正方形，当取最大值时，点F的坐标是．三、解答题（本大题共10道题，共90分）16．计算：．17．先化简，再求值：，其中．18．已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围．19．年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图；（2）若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数；（3）若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．20．如图，在平行四边形中，点、分别是、上的点，且，，求证：（1）；（2）四边形是菱形.21．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）22．如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内）（1）求两点之间的距离；（2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01）23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）求的面积；（3）若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．24．如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，求证：；（3）若于D，，，求的长．25．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值；（3）点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案1．【答案】C【解析】【解答】解：A.，原选项不正确，B.，原选项错误，C.，原选项正确，D.，原选项错误，故答案为：C．

【分析】根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式的运算法则逐项判断即可．2．【答案】A【解析】【解答】解：.故答案为：A.【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有3个正方形，上层有1个正方形．故选：C．【分析】由于主视图、左视图和俯视图的观察方向不同，因此去掉小正方体①后，主视图和俯视图必然发生改变，但左视图不受影响．4．【答案】B【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：80，81，81，82，83，84，最中间的两个数据为：81，82，则中位数为：，出现次数最多的为：81，则众数为：，故答案为：B．

【分析】根据众数和中位数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．5．【答案】A【解析】【解答】解：可设木头长为x尺，绳子长为y尺，由题意得，，故答案为：A．【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可．6．【答案】B【解析】【解答】点的坐标为在反比例函数上，．．反比例函数的解析式为．点在反比例函数图象上，可设．．∵正方形，∴，．，．．故选：B．【分析】先利用待定系数法求出，然后再由反比例函数图象上点的坐标特征设，则可表示出AD与ED的长，再由正方形的各边相等可建立关于的方程，最后再求解并对根进行适当取舍即可．7．【答案】D【解析】【解答】解：因为一次函数和二次函数都经过y轴上的，

所以两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除选项B；当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除选项C；故选：D．【分析】根据题意，得到两个函数图象交于y轴上的同一点，再结合二次函数的开口方向，以及一次函数的性质，即可求解.8．【答案】B【解析】【解答】解：由化合物的分子结构模型图可得：第1种如图①有4个氢原子，即第2种如图②有6个氢原子，即第3种如图③有8个氢原子，即，所以，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；故选：B．【分析】根据图形，归纳出规律表达式的计算规律，结合计算规律的特点，即可得到答案．9．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N∵正方形的边长为3，∴∵∴∴∵四边形是正方形∴，∴四边形是矩形∴∴，∵∴∴又∵∴∴∵，∴四边形是平行四边形∴∴∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度∵∴∴．故答案为：C．【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，根据勾股定理得到AF长，然后推理得到，即可得到，再证明是平行四边形，即可得到，当点A，G，H三点共线时，值最小值为，根据勾股定理解答即可．10．【答案】C【解析】【解答】解：由图象开口向上可得：，由于图象与轴交于负半轴，可知：，根据对称轴公式：可知：，，，，故①正确；抛物线过点，，，，即：，故②正确；当时，取得最小值，，（为任意实数），故③错误；抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且，则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，根据图象可知：，故④正确；其中正确的结论是：①②④，故选：C．【分析】由题意知二次函数，其对称轴为直线，所以，因为抛物线开口向上，所以，则，因为抛物线交轴于负半轴，所以，故；

因为抛物线过点，所以；

因为抛物线开口向上，则二次函数有最小值，且当时，最小值为，则对于任意实数都满足，即

由于抛物线开口向上，则抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值也越大，故当时，．11．【答案】【解析】【解答】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为．故答案为：【分析】解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，再依照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出公共部分即可．12．【答案】60【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，并符合题意，∴原计划的速度为；故答案为：60．【分析】原计划用时为，实际用时为，根据比原计划提前了到达列方程并求解即可．13．【答案】【解析】【解答】解：∵，∴，∴，∴故答案为：．【分析】由于两个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，即可得的度数，再由三角形的内角和定理即可求得的值．14．【答案】【解析】【解答】解：如图，连接，，∵点为的中点，∴，∵，∴，

∴，∴为等边三角形，

∴，，∴，∴，∴．故答案为：．【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO=30°，从而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白BDC求出阴影部分的面积．15．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：设，，则，即，，，，四边形是正方形，在轴上，在轴上，，，，当时取等号，，，取最大值为，，

四边形是正方形，

，，故答案为：．

【分析】由于点C是线段AB中点，因此可分别设，，则，由两点距离公式可得，因为，则，整理得，再由正方形的性质结合勾股定理得，由于点A在y轴上，点B在x轴上，则，显然当时，有最大值，此时点A与原点重合，点，则点，所以DC=6，由于四边形ABCD是正方形，即且，即．16．【答案】解：原式．【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，再计算加减法．17．【答案】解：当时，原式．【解析】【分析】先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，再把代入，即可作答．18．【答案】（1）解：方程整理得，∵关于x的一元二次方程有实数根，

∴，

解得：，

即m的取值范围是（2）解：∵，又∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

故m的取值范围【解析】【分析】（1）根据题意可知，可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围.（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可分别得到的值，再代入，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.（1）解：方程整理得，∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，解得：，即m的取值范围是；（2）解：∵，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，故m的取值范围．19．【答案】（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人)C（关注较少）人数：(人)画图为（2）解：依题意得：B（关注较多）占抽样调查的学生总数比：

B（关注较多）的学生人数：(人)

答：“B（关注较多）”的学生人数为人．（3）解：画树状图为∶共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种，所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率．​​​​​​​【解析】【分析】（1）利用D类人数除以占比求出总人数，然后用总人数减去其他三组的人数求出C类别人数，补全条形统计图即可；（2用500×B组的占比解答即可数；（3）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人)C（关注较少）人数：(人)画图为（2）解：依题意得：B（关注较多）占抽样调查的学生总数比：B（关注较多）的学生人数：(人)答：“B（关注较多）”的学生人数为人．（3）解：画树状图为∶共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种，所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率．20．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，

在△DAE和△DCF中，，

∴△DAE≌△DCF（ASA），

∴DE=DF；

（2）由（1）可得△DAE≌△DCF

∴DA=DC，

又∵四边形ABCD是平行四边形

∴四边形ABCD是菱形【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角相等可证∠A=∠C，利用ASA证明△DAE≌△DCF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得DA=DC，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.21．【答案】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．根据题意得．解得．则每件B类特产的售价（元）．答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．（2）解：由题意得

∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价

∴．

答：（）．（3）解：．

∴当时，w有最大值1840．

答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．【解析】【分析】根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，根据相等关系“购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元”列方程并求解即可；由每降价1元则每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；

结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润再求和即可得出每天的总利润w，可发现w是关于x的二次函数，由于二次项系数为负，则w有最大值，再利用二次函数的性质求解即可．（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．根据题意得．解得．则每件B类特产的售价（元）．答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．（2）由题意得∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价∴．答：（）．（3）．∴当时，w有最大值1840．答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．22．【答案】（1）解：过点作，垂足为，

由题意得：，，，

∴，，

在中，千米，

∴（千米），

在中，（千米），

∴两点之间的距离为千米；（2）解：过点作，垂足为，

由题意得：，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，千米，

∴（千米），

在中，（千米），

∴飞机从点飞行到点所用的时间（分钟），

∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟．【解析】【分析】（1）过点作于点可构造和，先解可得OD=AD=9，再解即可得OB；（2）已知飞机飞行速度，求时间即求BC的长度，因此可过点作于可构造和，可利用平角定义求得，再利用平行线的性质结合已知可得，则，则BE=CE，可先解求出BE的长，再解求出BC的长即可．（1）解：过点作，垂足为，由题意得：，，，∴，，在中，千米，∴（千米），在中，（千米），∴两点之间的距离为千米；（2）解：过点作，垂足为，由题意得：，，，∴，∵，∴，∴，在中，千米，∴（千米），在中，（千米），∴飞机从点飞行到点所用的时间（分钟），∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟．23．【答案】（1）解：由题意，∵在反比例函数上，∴．

∴反比例函数表达式为．

又在反比例函数上，

∴．

∴．

设一次函数表达式为，

∴，

∴，．

∴一次函数的表达式为．（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，

又直线l为，

∴，．

∴，，

∴；（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长．

∵与关于y轴对称，

∴为．

又，设的解析式为，

则，解得，

∴直线为．

令，则．

∴．【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求点N的坐标，再利用待定系数即可确定一次函数的解析式；（2）如图，设直线MN分别交x、y轴于A、B两点，则利用一次函数图象上点的坐标特征可得点A、B的坐标，则OA、OB可得，则和的面积均可得，最后再利用割补法即得出的面积．（1）解：由题意，∵在反比例函数上，∴．∴反比例函数表达式为．又在反比例函数上，∴．∴．设一次函数表达式为，∴，∴，．∴一次函数的表达式为．（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，又直线l为，∴，．∴，，∴；（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长．∵与关于y轴对称，∴为．又，设的解析式为，则，解得，∴直线为．令，则．∴．24．【答案】（1）证明：如图所示，连接，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是的切线；（2）证明：∵，∴，

∴，

由（1）知，

∴，

∴，

∴，

∴；（3）解：设，在中，，

∴

∴

∵

∴

∴

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得，

即，整理得，

解得，（舍去），

故．【解析】【分析】（1）证切线，连半径，再证垂直；因此连接OC，可先由圆周角定理的推论得，再由OB=OC可得，又已知，等量代换得到，即即可；（2）由特殊角的三角函数值可得，则，又，则由三角形外角的性质得，等量代换即可得AC=AP；

（3）由于是公共角且，则可得，则有，此时可设AD=x，则化比例式为等积式可得，由于，则同理可证，由相似比可得，然后在中应用勾股定理求解即可．（1）如图所示，连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）证明：∵，∴，∴，由（1）知，∴，∴，∴，∴；（3）设，在中，，∴∴∵∴∴∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得，（舍去），故．25．【答案】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，，抛物线经过A、B两点．，解得，；（2）解：设，作x轴，与直线交于点C，，解得，，当时，的长的最大值为4；（3）答：存在点P使与相似，理