八年级数学下册“公式法”因式分解教学设计（北师大版）

八年级数学下册“公式法”因式分解教学设计（北师大版）

一、教学分析

（一）教材分析

本节课“公式法”是北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》的核心内容。因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数式恒等变形的重要工具，在后续学习分式的运算、解一元二次方程、二次函数等问题中具有基础性和工具性的作用。教材在此之前已经安排了因式分解的概念和提公因式法，本节课在此基础上，引导学生探究如何利用乘法公式（平方差公式、完全平方公式）对特殊形式的多项式进行因式分解。教材通过“观察—思考—尝试—概括”的流程，帮助学生从整式乘法的公式反向建构因式分解的公式法，体现数式变形中的对称美与转化思想。【基础】【非常重要】

（二）学情分析

学生在七年级下册已经系统学习了整式乘法，对平方差公式（a+b)(a-b)=a²-b²和完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²的代数结构、文字语言表述及其正向运用已经非常熟悉。这为本节课的逆向思维奠定了知识和经验基础。然而，从“整式乘法”到“因式分解”，虽然互为逆变形，但学生的思维定势往往倾向于正向运算，对逆向应用公式可能会感到不适应，尤其是在识别多项式中哪一项相当于公式中的a和b，以及判断是否符合公式特征时，容易出现困难。八年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，教学中需要提供丰富的、结构化的示例，引导他们通过观察、对比、归纳，抽象出公式的结构特征。【重要】

（三）核心素养指向

本节课着力培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。通过观察具体多项式的特点，抽象出平方差和完全平方式的结构模型，发展数学抽象能力；在辨析多项式能否运用公式法以及确定公式中的a与b的过程中，训练学生严谨的逻辑推理；通过规范地运用公式完成因式分解，提升数学运算的准确性与简洁性。

二、教学目标

基于课程标准和核心素养导向，设定如下教学目标：

1.知识与技能：能准确说出平方差公式和完全平方公式的文字语言和符号语言；能熟练地运用平方差公式和完全平方公式对符合公式特征的多项式进行因式分解；能灵活运用提公因式法和公式法对较复杂多项式进行综合分解。【重要】

2.过程与方法：经历从整式乘法公式逆向探索因式分解公式法的过程，体会逆向思维在数学学习中的应用；通过观察多项式的项数、系数、指数等特征，归纳出公式法的结构特征，提高观察、分析和归纳能力。【重要】

3.情感态度与价值观：在探索公式法的过程中，感受数学公式的对称美与简洁美，体验成功解决数学问题的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心。

三、教学重难点

1.教学重点：掌握平方差公式和完全平方公式的特点，能运用这两个公式对多项式进行因式分解。【高频考点】

2.教学难点：准确识别多项式是否符合公式结构，尤其是当公式中的a和b表示单项式、多项式时的情形，以及对完全平方式结构的透彻理解与判断。【难点】

四、教学实施过程

（一）复习引入，唤醒旧知

教师首先通过简短提问，引导学生回顾已学内容。提问1：什么叫因式分解？因式分解与整式乘法是什么关系？提问2：我们上节课学习了哪种因式分解的方法？它的关键是什么？通过这两个问题，帮助学生回忆因式分解的本质（和差化积）和提公因式法的要领（找准公因式）。

接着，教师呈现两组整式乘法练习，让学生快速口答计算结果：

第一组：(x+2)(x-2)=？(1+3a)(1-3a)=？(4m+n)(4m-n)=？

第二组：(m+3)²=？(2x-1)²=？(4a+5b)²=？

学生回答后，教师引导学生观察：这些乘法运算运用了我们学过的什么公式？学生能迅速答出平方差公式和完全平方公式。教师顺势提问：“既然整式乘法可以运用公式，那么因式分解作为它的逆变形，是否也可以运用这些公式呢？这就是我们今天要探究的内容——公式法。”由此自然导入新课，板书课题。【基础】

（二）探究新知一：平方差公式因式分解

1.观察类比，发现公式

教师将复习环节第一组整式乘法的等式反向书写于黑板左侧：

x²-4=(x+2)(x-2)

1-9a²=(1+3a)(1-3a)

16m²-n²=(4m+n)(4m-n)

引导学生从左向右观察，提出问题：“这些多项式的左边有什么共同特征？右边又是什么形式？”

组织学生进行小组讨论，然后全班交流。学生通过观察可以发现：

左边特征：都是两项式；两项都能写成平方的形式；两项的符号相反（一正一负）。【基础】【非常重要】

右边特征：分解成了两个因式的乘积，每个因式分别是这两个数的和与这两个数的差。

师生共同总结出平方差公式因式分解的表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。即a²-b²=(a+b)(a-b)。教师强调，这里的a和b既可以代表数，也可以代表单项式或多项式。【重要】

2.结构辨析，抓住关键

为了深化对公式结构的理解，教师展示一组判断题，要求学生判断下列多项式能否用平方差公式分解，并说明理由：

（1）x²+y²（2）-m²-n²（3）x²-25y²（4）-16a²+9b²（5）4x²-(-y)²

在处理（4）-16a²+9b²时，引导学生观察，虽然首项为负，但可以交换位置化为9b²-16a²，符合平方差形式，所以能分解为(3b+4a)(3b-4a)。在处理（5）4x²-(-y)²时，引导学生将(-y)²转化为y²，原式变为4x²-y²=(2x)²-y²，从而可以用平方差公式。

通过这一环节，让学生明确使用平方差公式的关键在于：多项式必须视为两部分，每部分都是一个整体的平方，且这两部分用减号连接。符号处理是易错点，需重点强调。【难点】【高频考点】

3.例题示范，规范步骤

教师出示例题：将下列多项式因式分解：

（1）25x²-16y²（2）(a+b)²-4c²（3）-9x²+4y²

例题（1）引导学生明确公式中的a对应5x，b对应4y，然后代入公式。教师板书规范过程：25x²-16y²=(5x)²-(4y)²=(5x+4y)(5x-4y)。

例题（2）中，a对应(a+b)，b对应2c，帮助学生理解整体思想。板书：(a+b)²-4c²=(a+b)²-(2c)²=[(a+b)+2c][(a+b)-2c]=(a+b+2c)(a+b-2c)。【重要】

例题（3）先引导学生进行符号处理，将原式化为4y²-9x²，再分解为(2y+3x)(2y-3x)。

4.巩固练习，即时反馈

学生独立完成课本随堂练习中的平方差部分，教师巡视指导，重点关注学生能否准确识别a和b，以及符号问题。选取典型板演，集体评议，纠正错误。

（三）探究新知二：完全平方公式因式分解

1.类比迁移，构建新知

教师将复习环节第二组等式反向书写：

m²+6m+9=(m+3)²

4x²-4x+1=(2x-1)²

16a²+40ab+25b²=(4a+5b)²

引导学生观察这些多项式左边的特征，并提出核心问题：“这些多项式都是几项式？它们的项有什么结构特点？能否用我们刚才学的平方差公式分解？为什么？”

学生观察发现，左边都是三项式，无法用平方差公式分解。教师继续追问：“那它们有什么共同规律呢？”引导学生逐项分析：

第一项和第三项都是完全平方的形式，且符号相同（均为正）；中间项是这两个数（或式）的积的2倍（可能为正也可能为负）。【基础】【非常重要】

师生共同归纳出完全平方公式因式分解的表述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。其中，我们把形如a²±2ab+b²的式子称为完全平方式。【重要】

2.深化理解，突破难点

为了帮助学生准确判断完全平方式，教师设计系列辨析题：

下列多项式是不是完全平方式？为什么？

（1）x²+4x+4（2）x²+4x+16（3）4x²-12xy+9y²（4）x²+6x-9（5）-x²+2xy-y²

对于（2），学生容易误判，教师引导分析：x²是x的平方，16是4的平方，但中间项4x不是2·x·4=8x，所以不符合。强调必须满足“两平方项的底数乘积的2倍”等于中间项。

对于（4），学生指出第三项-9不是平方形式（平方项应为正），故不是完全平方式。

对于（5），引导学生先提出负号，原式化为-(x²-2xy+y²)，括号内是(x-y)²，所以整体结果是-(x-y)²。这为后续综合运用埋下伏笔。【难点】

3.例题示范，明确程序

教师出示例题：将下列多项式因式分解：

（1）16x²+24x+9（2）4x²-12xy+9y²（3）x²+4x+4y²（4）(x+y)²-10(x+y)+25

例题（1）分析：首项16x²=(4x)²，末项9=3²，中间项24x=2·4x·3，符合a²+2ab+b型，所以结果为(4x+3)²。板书要体现检验过程。

例题（2）分析：4x²=(2x)²，9y²=(3y)²，中间项-12xy=-2·(2x)·(3y)，符合a²-2ab+b型，结果为(2x-3y)²。

例题（3）是个陷阱题，引导学生发现末项4y²=(2y)²，但中间项4x不等于2·x·(2y)=4xy，因此不是完全平方式，无法用公式法直接分解（可能需考虑其他方法，但此处说明无法用完全平方公式）。

例题（4）再次强化整体思想，将(x+y)视为一个整体a，25视为5²，中间项-10(x+y)=-2·(x+y)·5，符合结构，分解为[(x+y)-5]²=(x+y-5)²。【重要】

4.巩固练习，内化方法

学生独立完成课本随堂练习中完全平方部分，以及一些变式题，如：4-12(x-y)+9(x-y)²。教师巡视，对学习困难的学生进行个别指导，尤其关注他们对中间项系数符号及倍数的判断。

（四）综合运用，提升能力

1.方法选择与辨析

教师给出几个多项式，要求学生先观察特征，再选择合适的方法进行因式分解：

（1）3x²-12y²（2）x³-4x（3）-x²+4xy-4y²（4）(x²+4)²-16x²

这一环节旨在训练学生根据多项式的结构灵活选择方法的能力。

对于（1），学生容易想到平方差，但教师引导观察系数3，提出“能否直接套用平方差？”学生发现不能，因为3不是完全平方数。教师引导回顾因式分解的步骤：“首先考虑提公因式”。所以，应先提取公因式3，得到3(x²-4y²)，再对括号内用平方差，最终结果为3(x+2y)(x-2y)。强调“一提二套三彻底”的解题策略。【非常重要】【高频考点】

对于（2），同样先提公因式x，得x(x²-4)，再对x²-4用平方差，得x(x+2)(x-2)。

对于（3），先观察项数、符号，发现可以提负号，化为-(x²-4xy+4y²)=-(x-2y)²。

对于（4），引导学生将x²+4看作整体，发现其符合平方差结构：原式=[(x²+4)+4x][(x