河北邯郸市2026届高三第一次模拟检测数学试卷（含答案）

邯郸市2026届高三第一次模拟检测

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合A={x|x²+3x-7<0},B={-2,—1,1,2},则A∩B=

A.{—1,1}B.{—2,一1}C.{-2,—1,1}D.{-1,1,2}

2.已知复数z的共轭复数为z,9则z可能为

A.1+iB.一1+2iC.-1-2iD.1-i

3.“曲线在x=1处的切线的倾斜角

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.在下列四个正方体中，A,B,C为正方体的顶点，M,N为所在棱的中点，则满足直线MN//平

面ABC的是

B

A.B.

C.D.

【高三数学第1页(共4页)】

5.已知一组数据a,b,c,25,20的方差为s²,甲同学将这组数据错看成a,b,c,15,30,并求得错

误数据的方差为s筛=60,则正确数据的方差s²=

A.80B.60C.40D.20

6.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)+f(2—x)=0,且当0≤x≤1时，f(x)=2ˣ-¹—x²,

则f(2026)=

AB.0CD.—2

7.已知a=19,b=V10,c=¹³11,则

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

8.已知递增数列{an}满足a₁=1,且an+1=λan—μa2,则λ,μ满足的关系式不可能为

A.λ+μ<0B.λμ+1<0C.λ²+μ²=2D.λ—2μ=0

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数

A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期为π

10.已知P是椭圆C:1(a>b>0)上一点，F₁,F₂分别是C的左、右焦点，若点M满

足PM=MF₁,PF₁·MF₂=0,则C的离心率可能为

ABCD

11.如图1,在长方形ABCD中，P是CD边上一点，且AB=4,AD=2,DP=1.将△ADP沿着

AP翻折至△AQP,连接QB,QC,得到如图2所示的四棱锥Q-ABCP,则下列结论正确的是

图1图2

A.四棱锥Q-ABCP体积的最大值为

B.当平面QAP⊥平面ABCP时，三棱锥Q-BCP的外接球的表面积

C.在翻折的过程中，BP与AQ始终不垂直

D.若,则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a,b,a+b均为单位向量，则a·b=▲_·

13.已知F是抛物线C:y²=4x的焦点，A是C的准线与x轴的交点，B是C上的点，且|AB|

=|AF|,则|BF|=▲

14.某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每

名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同

社区的方案共有▲种.

【高三数学第2页(共4页】

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

△ABC的内角A.B.C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等差数列，

(1)求cosB;

(2)记△ABC外接圆的面积为S,若S≥64π,求b的取值范围.

16.(15分)

某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审.若能通过两位初审专家的评审，则予以立

项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三

位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项.设该项目能通过每位初审专家评审

的概率均为,能通过复审专家评审的概率为,各专家评审能否通过相互独立.

(1)求该项目予以立项的概率；

(2)记评审通过该项目的专家人数为X,求X的分布列与期望.

17.(15分)

如图，在三棱台ABC-DEF中，AD⊥平面DEF,DE⊥DF,AB=2,AD=4,DE=DF=8,

G是棱CF上一点(不含端点).

(1)若G为CF的中点，求直线EG与平面BCD所成角的正弦值.

(2)是否存在点G,使得BD⊥EG?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【高三数学第3页(共4页)】

18.(17分)

已知B(一4,0),C(4,0)是△ABC的两个顶点，G是△ABC的重心，D,E分别是边AB,AC

的中点，且|B|E|-|CD|I=6.记点G的轨迹为曲线T.

(1)求P的方程，

(2)若△GBC的面积为24,求点A.的坐标.

(3)已知点F(一1,0),M(-2,0),N(2,0),过F的直线l与曲线I交于P,Q两点，直线

MP与NQ交于点H,试判断H是否在一条定直线上。若是，求出该直线方程；若不是，

说明理由.

19.(17分)

已知函数f(x)=x+2eˣ-a(e+eˣ).

(1)若a≥1,证明：f(x)≤0.

(2)设f(x)有两个零点x₁,x₂(x₁<x₂).

①求a的取值范围；

②证明

【高三数学第4页(共4页)】

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数学参考答案

题序1234567891011121314

答案CABDCCDDACBCDABD-2+2√3390

【评分细则】

【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分.

【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的

得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分.

【3】第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分.

1.C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.

因为(一2)²+3×(-2)-7<0,(一1)²+3×(一1)-7<0,1²+3×1-7<0,2²+3×2-7>

0,所以A∩B={—2,—1,1}.

2.A【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.

设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.由,得a+bi=i(a—bi)=b+ai,则a=b,故z可能

为1+i.

3.B【解析】本题考查曲线的切线方程与常用逻辑用语，考查数学运算与逻辑推理的核心

素养.

由,得.由曲线在x=1处的切线的倾斜角为,可

得,解得a=2或a=-1.故“曲线在x=1处的切线的倾斜角为

是“a=2”的必要不充分条件.

4.D【解析】本题考查直线与平面的位置关系，考查直观想象的核心

素养.

对于D,如图，记O为正方体所在棱的中点，连接OM,ON.易得OM

//AB,ON//BC,且OMC平面ABC,ON丈平面ABC,所以OM//平N

面ABC,ON//平面ABC,则平面OMN//平面ABC,则直线MN//平

面ABC.选项A,B,C均不满足直线MN//平面ABC.

5.C【解析】本题考查统计，考查数据分析的核心素养.

由题可知，正确数据和错误数据的平均数相等，记为x,

【高三数学·参考答案第1页(共7页)】

,则s²=s²—20=40.

6.C【解析】本题考查抽象函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.

因为f(x)是偶函数，所以f(一x)=f(x),则由f(x)+f(2—x)=0,得f(x)=-f(2—x)

=—f(x-2)=f(x-4),则f(x)是以4为周期的函数，则f(2026)=f(4×506+2)=

7.D【解析】本题考查构造函数比较数的大小，考查逻辑推理的核心素养.

令测,易知g(x)在(0,+∞)上

单调递减，且,所以g(x)<0在(8,+∞)上恒成立，则f(x)在(8,十∞)

上单调递减，则即,从而a>b>c.

8.D【解析】本题考查数列的性质，考查逻辑推理的核心素养.

因为{an}是递增数列，所以an+1-an=λa„-μa²—a„>0.又a₁=1>0,所以a„>0,则μa<

λ-1.若λ—2μ=0,则a₂=λa₁—μa²=λ一μ=μ>1,则a₃=λa₂—μa²=2μ²—μ³>μ.由μ>

1,得2μ—μ²>1,即(μ—1)²<0,矛盾，故λ,μ满足的关系式不可能为λ—2μ=0.取λ=1,μ

=-2,则an+1=a„+2a2,满足{an}是递增数列，此时λ+μ=-1<0,λμ+1=-1<0.取λ=

1,μ=-1,则an+1=a„+a2,满足{a„}是递增数列，此时λ²+μ²=2.

9.AC【解析】本题考查三角函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.

由sinx≠0,得x≠kπ,k∈Z,则f(x)的定义域关于原点对称，且

,所以f(x)是奇函数，A正确.因为,所以

f(x)的最小正周期不为π,B不正确.由,可得

f(x)在(0,π)上单调递增，C正确.由sinx≠0,可得cosx≠1,则f(x)≠0,D不正确.

10.BCD【解析】本题考查椭圆的性质，考查数学运算的核心素养.

因为PM=MF₁,所以M为PF₁的中点.又PF₁·MF₂=0,所以PF₁⊥MF₂,则|PF₂I=

|F₁F₂I=2c.因为a—c≤|PF₂I≤a+c,所以a-c≤2c≤a+c.又a>c,所以a—c≤2c<

a+c,

【高三数学·参考答案第2页(共7页)】

11.ABD【解析】本题考查立体几何，考查直观想象的核心素养.

当平面QAP⊥平面ABCP时，四棱锥Q-ABCP的体积取得

最大值.过点Q作QF⊥AP,垂足为F,则

,则四棱锥Q-ABCP体积的最大值

,A正确.易得.连接BP,记△BCP外接圆的圆心为BP的中点O,

则,连接OF(图略),cos∠OPF=-cos(∠QPA+∠BPC)=-cos∠QPA·

,则OF²=PF²+PO²-2PF·POcos∠OPF=

,则,则当平面QAP⊥平面ABCP时，三棱锥Q-BCP外接球的半径R²

,则三棱锥Q-BCP的外接球的表面积为B正确.连接BF,易得

BF⊥AP,则AP⊥平面BFQ,则点Q在平面ABCP上的射影在直线BF上，过点A作AM

⊥BP,并与BF交于点N,连接QM,则当点Q在平面ABCP上的射影为N时，BP⊥平面

QAM,从而BP⊥AQ,C不正确.在AQ上取靠近点A处的四等分点G,连接EG,PG,则

EG//AB,且,从而四边形ECPG为平行四边形，则CE=PG=

,D正确.

12.【解析】本题考查平面向量的运算，考查数学运算的核心素养.

因为a,b,a+b均为单位向量，所以|a|=|b|=|a+b|=1,则(a+b)²=a²+2a·b+b²=

1,则

13.-2+2√3【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养.

由题可知，F(1,0),A(一1,0).设B(xo,yo),则解得xo=-3+2√3或

xo=-3-2√3(舍去),则

14.390【解析】本题考查排列组合，考查逻辑推理的核心素养.

先将6人分成3组，有(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2)三种情况，总的分组数

,其中2名女性普法员被分在同一组的分组数则

2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有(90—25)A³=390种.

【高三数学·参考答案第3页(共7页)】

15.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养.

解：(1)因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.……………2分

,所以.…………………4分

设a=2x,则b=3x,c=4x,

则.………6分

(2)由(1)可得,…………………7分

则△ABC外接圆的半径.

则……10分

则x²≥15,x≥√15,11分

则b的取值范围为[3√15,+∞].……………………13分

16.【解析】本题考查随机变量的分布列与期望，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

解：(1)由题可知，该项目予以立项的情况包括两位初审专家都评审通过该项目和两位初审

专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目两种情况.………………1分

两位初审专家都评审通过该项目的概率,………3分

两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的概率

,……………5分

则该项目予以立项的概率.…………………7分

(2)由题可知，X的取值可能为0,1,2,………8分

且,由(1)知P(X=2)=P₁+P₂

……………11分

则X的分布列为

X012

P

……12分

【高三数学·参考答案第4页(共7页)】

.……………15分

17.【解析】本题考查空间向量与立体几何，考查直观想象的核心素养.

解：(1)由AD⊥平面DEF,DE⊥DF,可得DE,DF,DA两两垂直.………………1分

以D为坐标原点，DE,DF,DA所在直线分别为x轴、y轴、

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,4),D(0,

0,0),E(8,0,0),C(0,2,4),F(0,8,0).2分

由G为CF的中点，可得G(0,5,2),………………3分

BC=(-2,2,0),BD=(—2,0,一4),EG=(-8,5,2).……D

……………………4分

设平面BCD的法向量为m=(x,y,z),

可得…………………5分

令x=2,得m=(2,2,-1).…………6分

设直线EG与平面BCD所成的角为θ,

,……………7分

即直线EG与平面BCD所成角的正弦值………8分

(2)(方法一)连接EC(图略).由EC=(-8,2,4),CF=(0,6,—4),……9分

可得EG=EC+CG=EC+λCF=(-8,2+6λ,4—4λ).……………11分

假设存在点G(异于C,F),使得BD⊥EG,则BD·EG=16-16+16λ=0,…………13分

解得λ=0,则G与C重合，………………14分

这与假设矛盾，则假设不成立，故不存在点G,使得BD⊥EG.………………15分

(方法二)假设存在点G(异于C,F),使得BD⊥EG.因为AD⊥平面DEF,DEC平面

DEF,所以AD⊥DE.又AB//DE,所以AD⊥AB.…………9分

连接AE,AG.由AB=2,AD=4,DE=8,可得△ABD∽△DAE,…10分

则∠ABD=∠DAE,∠ABD+∠BAE=90°,则BD⊥AE.………………11分

因为BD⊥EG,AE∩EG=E,所以BD⊥平面AEG.又AGC平面AEG,所以AG⊥BD.

…………………12分

因为AC⊥AB,AC⊥AD,AB∩AD=A,所以AC⊥平面ABED.…13分

又BDC平面ABED,所以AC⊥BD,从而BD⊥平面ACFD,………14分

这与AB⊥平面ACFD矛盾，则假设不成立，故不存在点G,使得BD⊥EG.………15分

18.【解析】本题考查双曲线的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

解：(1)由题可知,则

【高三数学·参考答案第5页(共7页)】

=4<|BC|.…………2分

又B,G,C三点不共线，所以点G的轨迹是以B(一4,0),C(4,0)为焦点，4为实轴长的双曲

线(不包含顶点),………3分

故P的方程…………………5分

(2)设G(xo,yo).因为△GBC的面积为24,所,得yo=±6.………6分

,得xo=±4.…………………7分

因为G是△ABC的重心，所以A(12,18)或A(12,-18)或A(—12,18)或A(-12,-18).

…………………9分

(3)由题可知l的斜率存在，可设l的方程为y=k(x+1),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂).

得(3—k²)x²—2k²x—k²—12=0,……10分

得则……………11分

直线MP的方程为,直线NQ的方程为,………12分

.………13分

由,得,…15分

,…16分

得x=-4,故点H在定直线x=-4上.……17分

19.【解析】本题考查函数与导数的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

(1)证明：因为a≥1,e²ˣ+e*>0,所以f(x)≤x+2eˣ—(e²ˣ+eˣ)=-e²+eˣ+x.…1分

令g(x)=—e²x+e+x,则g'(x)=-2e²ˣ+eˣ+1=—(2e+1)(eˣ—1).…………2分

当x∈(一∞,0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(0,十∞)时，g'(x)<0,g(x)单调

递减，…………………3分

则g(x)≤g(0)=0,则f(x)≤0.………………