武汉地区十一校市级名校2025-2026学年初三下学期联考数学试题含解析

武汉地区十一校市级名校2025-2026学年初三下学期联考数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉（

）A．6.5千克B．7.5千克C．8.5千克D．9.5千克2．下列计算或化简正确的是（）A． B．C． D．3．下列运算正确的是（）A．5a+2b=5（a+b） B．a+a2=a3C．2a3•3a2=6a5 D．（a3）2=a54．如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A． B．C． D．6．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为（）A．31° B．32° C．59° D．62°8．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是()A． B． C． D．9．已知，则的值是A．60 B．64 C．66 D．7210．将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（）A． B． C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O、A)，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于______．12．已知是锐角，那么cos=_________．13．若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为______14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为_____15．计算：的结果为_____．16．某排水管的截面如图，已知截面圆半径OB=10cm，水面宽AB是16cm，则截面水深CD为_____．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材不计损耗，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共______只19．（5分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．求证：∠CBP=∠ADB．若OA=2，AB=1，求线段BP的长.20．（8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．21．（10分）在2018年韶关市开展的“善美韶关•情暖三江”的志愿者系列括动中，某志愿者组织筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种书包若干个送给贫困山区的学生，已知每个甲种书包的价格比每个乙种书包的价格贵10元，用350元购买甲种书包的个数恰好与用300元购买乙种书包的个数相同，求甲、乙两种书包每个的价格各是多少元？22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线（m≠0）向右平移个单位长度后得到抛物线G2，点A是抛物线G2的顶点．（1）直接写出点A的坐标；（2）过点（0，）且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B，C两点．①当∠BAC＝90°时．求抛物线G2的表达式；②若60°＜∠BAC＜120°，直接写出m的取值范围．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B与原点O重合，点C在x轴上，点C坐标为（6，0），等边三角形ABC的三边上有三个动点D、E、F（不考虑与A、B、C重合），点D从A向B运动，点E从B向C运动，点F从C向A运动，三点同时运动，到终点结束，且速度均为1cm/s，设运动的时间为ts，解答下列问题：（1）求证：如图①，不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形．（2）如图②过点E作EQ∥AB，交AC于点Q，设△AEQ的面积为S，求S与t的函数关系式及t为何值时△AEQ的面积最大？求出这个最大值．（3）在（2）的条件下，当△AEQ的面积最大时，平面内是否存在一点P，使A、D、Q、P构成的四边形是菱形，若存在请直接写出P坐标，若不存在请说明理由？24．（14分）某天，甲、乙、丙三人一起乘坐公交车，他们上车时发现公交车上还有A，B，W三个空座位，且只有A，B两个座位相邻，若三人随机选择座位，试解决以下问题：（1）甲选择座位W的概率是多少；（2）试用列表或画树状图的方法求甲、乙选择相邻座位A，B的概率．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】【分析】设每个小箱子装洗衣粉x千克，根据题意列方程即可．【详解】设每个小箱子装洗衣粉x千克，由题意得：4x+2=36，解得：x=8.5，即每个小箱子装洗衣粉8.5千克，故选C．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题，弄清题意，找出等量关系是解答本题的关键.2、D【解析】解：A．不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B．

，故B错误；C．，故C错误；D．，正确．故选D．3、C【解析】

直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【详解】A、5a+2b，无法计算，故此选项错误；B、a+a2，无法计算，故此选项错误；C、2a3•3a2=6a5，故此选项正确；D、（a3）2=a6，故此选项错误．故选C．此题主要考查了合并同类项以及单项式乘以单项式、幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．4、C【解析】

根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【详解】∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2-1，即y=x2+1．故选C．5、B【解析】

把抛物线y=x2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可．【详解】解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，

∴原抛物线的顶点坐标为（-1，2），

令x=0，则y=3，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），

∵抛物线绕与y轴的交点旋转180°，

∴所得抛物线的顶点坐标为（1，4），

∴所得抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3[或y=-（x-1）2+4]．

故选：B．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便．6、B【解析】

连接OE，由菱形的性质得出∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，得出OA＝OD＝2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝60°，再由弧长公式即可得出答案．【详解】解：连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，∴OA＝OD＝2，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝60°，∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，∴的长＝＝；故选B．本题考查弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．7、A【解析】

根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠CAB，再利用平行线的性质解答即可．【详解】∵在△ABC中，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB，∵AE∥BD，∠CAE＝118°，∴∠B＋∠CAB＋∠CAE＝180°，即2∠B＝180°−118°，解得：∠B＝31°，故选A．此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠CAB．8、C【解析】

两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【详解】直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：．故选C．本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．9、A【解析】

将代入原式，计算可得．【详解】解：当时，原式，故选A．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．10、A【解析】试题解析：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置，∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是，，，主视图是它们中一个，∴主视图不可能是．故选A.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、【解析】

此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2，由勾股定理得：DE==5，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴，∵AM=PM=（OA-OP）=（4-2x）=2-x，即，解得：∴BF+CM=．故答案为．考核知识点：二次函数综合题．熟记性质，数形结合是关键.12、【解析】

根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．【详解】由sinα==知，如果设a=x，则c=2x，结合a2+b2=c2得b=x.∴cos==.故答案为.本题考查的知识点是同角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握同角三角函数的关系.13、【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的横、纵坐标之积不变可得关于m的方程，解方程即可求得m的值，再由待定系数法即可求得反比例函数的解析式.【详解】设反比例函数解析式为y=，由题意得：m2=2m×(-1)，解得：m=-2或m=0（不符题意，舍去），所以点A（-2，-2），点B（-4，1），所以k=4，所以反比例函数解析式为：y=，故答案为y=.【点睛】本题考查了反比例函数，熟知反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于比例系数k是解题的关键.14、115°【解析】

根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB=130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM，PN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°，于是得到结论．【详解】∵∠ABC=50°，∴∠BAC+∠ACB=130°，∵若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM=PM，PN=CN，∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP，∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°，∴∠APC=115°，故答案为：115°本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．15、【解析】分析：根据二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可.详解：原式=3-5=﹣2．点睛：此题主要考查了二次根式的加减，灵活利用二次根式的化简是解题关键，比较简单.16、4cm．【解析】

由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD=OD-OC即可得出结论．【详解】由题意知OD⊥AB，交AB于点E，∵AB=16cm，∴BC=AB=×16=8cm，在Rt△OBE中，∵OB=10cm，BC=8cm，∴OC=（cm），∴CD=OD-OC=10-6=4（cm）故答案为4cm．本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．17、．【解析】

延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵AC=6，CF=1，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=AF=1，∴FM==1，∵FP=FC=1，∴PM=MF-PF=1-1，∴点P到边AB距离的最小值是1-1．故答案为:1-1．本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）最多可以做25只竖式箱子；（2）能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只；（3）47或1．【解析】

表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，利用A型板材65张、B型板材110张，得出方程组求出答案；设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材张，进而得出方程组求出符合题意的答案．【详解】解：设最多可制作竖式箱子x只，则A型板材x张，B型板材4x张，根据题意得解得．答：最多可以做25只竖式箱子．设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，根据题意，得，解得：．答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只．设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材张，由题意得：，整理得，，．竖式箱子不少于20只，或22，这时，或，．则能制作两种箱子共：或．故答案为47或1．本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出等式．19、（1）证明见解析；（2）BP=1.【解析】分析：（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．详（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC为切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，∴△AOP∽△ABD，∴，即，∴BP=1．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．20、（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（，0）．【解析】

（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，令y=0，则x=，∴P点的坐标（，0）．考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题．21、每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元【解析】

设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为（x-10）元，根据数量=总价÷单价结合用350元购买甲种书包的个数恰好与用300元购买乙种书包的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论.【详解】解：设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为（x﹣10）元，根据题意得：，解得：x=70，经检验，x=70是原方程的解，∴x﹣10=1．答：每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元．本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：根据数量=总价÷单价，列出分式方程．22、（1）（，2）；（2）①y＝（x－）2＋2；②【解析】

(1)先求出平移后是抛物线G2的函数解析式，即可求得点A的坐标；(2)①由(1)可知G2的表达式，首先求出AD的值，利用等腰直角的性质得出BD=AD=，从而求出点B的坐标，代入即可得解；②分别求出当∠BAC=60°时，当∠BAC=120°时m的值，即可得出m的取值范围．【详解】（1）∵将抛物线G1：y＝mx2＋2（m≠0）向右平移个单位长度后得到抛物线G2，∴抛物线G2：y＝m（x－）2＋2，∵点A是抛物线G2的顶点.∴点A的坐标为（，2）．（2）①设抛物线对称轴与直线l交于点D，如图1所示．∵点A是抛物线顶点，∴AB＝AC．∵∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴CD＝AD＝，∴点C的坐标为（2，）．∵点C在抛物线G2上，∴＝m（2－）2＋2，解得：．②依照题意画出图形，如图2所示．同理：当∠BAC＝60°时，点C的坐标为（＋1，）；当∠BAC＝120°时，点C的坐标为（＋3，）．∵60°＜∠BAC＜120°，∴点（＋1，）在抛物线G2下方，点（＋3，）在抛物线G2上方，∴，解得：．此题考查平移中的坐标变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握坐标系中交点坐标的计算方法是解本题的关键，利用参数顶点坐标和交点坐标是解本题的难点.23、（1）证明见解析；（2）当t=3时，△AEQ的面积最大为cm2；（3）（3，0）或（6，3）或（0，3）【解析】

（1）由三角形ABC为等边三角形，以及AD=BE=CF，进而得出三角形ADF与三角形CFE与三角形BED全等，利用全等三角形对应边相等得到BF=DF=DE，即可得证；（2）先表示出三角形AEC