2026年初中数学中考复习专题 矩形问题(含解析)

矩形问题一阶方法突破练1.如图,在10×10的方格中有格点A，B，在网格中确定一组格点C，D，使得四边形ABCD是以AB为较短边的矩形.2.如图，已知平面直角坐标系中有线段AB，点C为x轴上一点，点D为平面内任意一点，确定C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，请作出符合要求的矩形.3.如图,在平面直角坐标系中直线L经过,A(-1,0),M(1,4)两点，点P是y轴上一动点，点Q是平面内任意一点，若以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，求点Q的坐标.4.如图，抛物线y=15.如图，抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，在平面内是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.二阶设问进阶练例如图，抛物线y=−1(1)平面内是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(2)是否存在以BC为边，且一个顶点P在抛物线的对称轴上的矩形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点E为抛物线的顶点，点M为y轴上一点，平面内是否存在点N，使得以C，E，M，N为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.三阶综合强化练1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²−4x−5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，一次函数y=kx+b的图象经过B，C两点，D(2，5)是抛物线对称轴上一点.(1)求一次函数的解析式；(2)若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当△BDP的面积最大时，求出此时点P的坐标；(3)(对称轴上的动点+任意一点)将抛物线沿x轴向右平移两个单位，得到的新抛物线与x轴交于E，F两点(点E在点F左侧)，若点M为新抛物线对称轴上一点，则平面内是否存在点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区2.如图，抛物线y=ax²+bx+ca≠0与x轴交于点A−30交抛物线于点E，且.AE=EC.45°,直线y=kx(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为直线y=1上一点，点N为直线EC上一点，求(CM+MN的最小值；(3)(抛物线上的动点+任意一点)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=axA的右侧),与y轴交于点C,且(OA:OB=1:3,抛物线的对称轴是直线x=1.(1)求抛物线的解析式；(2)点M是x轴下方抛物线上一点,连接AC,AM,BM,当∠ABM=2∠ACO时，求点M的横坐标；(3)(对称轴上的动点+任意一点)若点P是抛物线的对称轴上一点，点Q是平面内任意一点，是否存在点P，Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.考向3矩形问题一阶方法突破练1.解：格点C，D的位置如解图所示.2.解:如解图,矩形ABD₁C₁,矩形ABC₂D₂,矩形AC₃BD₃和矩形AC₄BD₄为所求作矩形.3.解：①当AM为矩形的对角线时，如解图①，设N为AM的中点,∵A(-1,0),M(1,4),∴N(0,2),∴MN=∴②当AM为矩形的边时,(i)当AP⊥AM时,如解图②,过点A作直线l⊥x轴,作P₃H⊥l于点H,作MG⊥l于点G,∴∠GAM+∠HAP₃=90°,∠HAP₃+∠AP₃H=90°,∴∠GAM=∠AP₃H,∵∠MGA=∠AHP₃=90°,∴△MGA∽△AHP₃,则MG∵H(ii)当MP⊥AM时,如解图③,过点M作直线l'⊥x轴,交x轴于点L,作P₄J⊥l'于点J,同理得△ALM∽△MJP₄,则MJP4J=ALML=12,∵JP4=1,∴MJ=14.解:∵抛物线y=12x分两种情况讨论，如解图，①当以BC为对角线时，∵∠COB=90°,∴此时M点与O点重合，即M₁(0,0),∴N₁(4,-2);②当以BC为边时,(i)M点在x轴上时,∵AB=5,AC=∴AB²=AC²+BC²,∴∠ACB=90°,∴此时M点与A点重合，即M₂(-1,0),∵C点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到B点坐标，∴M₂点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到N₂点坐标，∴N₂(3,2);(ii)M点在y轴上时,延长(i)中BN₂交y轴于M₃点，即可组成矩形CBM₃N₃,此时点N₃在第二象限，设直线BN₂的解析式为y=kx+b,代入B点和N₂点的坐标，得4k+b=03k+b=2,解得∴直线BN₂的解析式为y=-2x+8,当x=0时,y=8,故M₃(0,8),∵B点向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到M₃点，∴C点向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到N₃点，∴N₃(-4,6),综上所述，符合条件的点N的坐标为(4，-2)或(3，2)或(-4,6).5.解:存在.∵抛物线的解析式为y=−x²+2x+3,∴A(-1,0),C(0,3),∴AC所在直线的解析式为：y=3x+3.①当AC为矩形的边时,如解图,过点A,C作AC的垂线，分别交抛物线于点P₁，P₂.设AP₁所在直线的解析为y=−∴AP₁所在直线的解析式为y=−13x−联立y=−x2+2x+3y=−13x−1联立y=−x2+2x+3y=−13x+3,②当AC为矩形的对角线时，如解图，以AC为直径画圆，⊙I与抛物线无其它交点.∴不存在以AC为对角线且符合题意的点Q.综上所述，点Q的坐标为133149二阶设问进阶练例解:(1)存在.∵抛物线y=−1令x=0,得y=4,∴C(0,4).令y=0,解得.x₁=-2,x₂=8,∴A(-2,0),B(8,0).∴AC²=OA²+OC²=20,BC²=OB²+OC²=80,AB²=OA+OB∴AC²+BC²=20+80=100=AB².∴△ABC为直角三角形,∴AC，BC为矩形的两边，AB为矩形的对角线，∴点D在AB下方.∵点C向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点A，∴点B向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点D，∴D(6,-4);(2)存在.∵B(8,0),C(0,4),∴BC所在直线的解析式为y=−∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴设点P的坐标为(3,p).过点B,C分别作BC⊥CP₁于点P₁,BP₂⊥BC于点P₂,①当点P₁在BC上方时,如解图①,设CP₁所在直线解析式为y将C(0,4)代入,解得b₁=4,∴ycp=2x+4.当x=3时,y=10,∴P₁(3,10);②当点P₂在BC下方时，如解图②，设BP₂所在直线的解析式为y将B(8,0)代入,解得b₂=-16,∴yBP=2x-16.∴P₂(3,-10).综上所述,点P的坐标为(3,10)或(3,-10);【一题多解】∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴设P(3,p),如解图①,当CP⊥CB时,过点P₁作P₁F⊥y轴于点F,∴∠P₁FC=90°,∴∠FCP₁+∠BCO=90°,∠FCP₁+∠FP₁C=90°,∴∠BCO=∠CP₁F,∵∠P₁FC=∠COB=90°,∴△COB∽△P₁FC,∴P1(3)存在.∴y=−∴点E的坐标为(3,254设点M的坐标为(0,m).①当CE为矩形的边时，如解图③，过点E作EM⊥CE交y轴于点M,过点M作MN∥EC,过点C作CN∥EM,两直线交于点N,连接NE交MC于点F.易得EM2=∵EM⊥CE,∴CE²+EM²=CM²,即225解得m=∴矩形的对角线交点F的坐标为((0,57/8),∴点N的坐标为(-3,8);②当CE为矩形的对角线时，如解图④，∵四边形EMCN为矩形,∴EM⊥y轴,CN⊥y轴,∴M(0,254【一题多解】：y=−14x2+32x+4=−14x−32+254,∴点E的坐标为3254,①当CE为矩形的边时，如解图③,∵C(0,4),E(3,25三阶综合强化练1.解:(1)一次函数的解析式为y=x-5;(2)如解图①,连接BD,过点P作PQ∥BD交抛物线于点Q,:B(5,0),D(2,5),设直线BD的解析式为y=ax+c,∴将B，D两点的坐标代入解析式得，y=−53x+∵BD是定值,SBDP∴当PQ与抛物线只有一个交点时,点P到BD的距离最大,∴联立得x2−4x−5=−53∴b²-4ac=49-12×(-15-3d)=0,解得d=−∴y=−∴联立y=−53x−∴P(3)【思路点拨】得到新抛物线的解析式，分①DE为矩形的边，②DE为矩形的对角线两种情况讨论，结合矩形顶点的平移规律及相邻两边垂直时系数相乘为-1求点M的坐标.存在.将抛物线沿x轴向右平移两个单位得y=x−2∴新抛物线的解析式为y=x²−8x+7,∴E(1,0),对称轴为直线x=4,∵以D，E，M，N为顶点的四边形是矩形，∴分两种情况讨论：①DE为矩形的边时,如解图②,作DM⊥DE,由D,E两点得直线DE的解析式为y=5x-5,∴设直线DM₁的解析式为y=−15x+e,∵新抛物线的对称轴为直线x=4，∴M₁的横坐标为4，代入y=−15x+275得,②当DE为矩形的对角线时，如解图③，作以DE为直径的圆与对称轴交于点M，设M(4,t),∵D(2,5),E(1,0),∴直线DM的解析式为y=t−52x+10−t,直线EM的解析式为∵DM⊥EM,∴t−5∴M₃(4,3)或M₄(4,2).综上所述，满足条件的点M的坐标为(4，235)或42.解：(1)抛物线的解析式为y=−(2)如解图①,作点C关于直线y=1的对称点C',过点C'作直线CE的垂线交CE于点N,交直线y=1于点M,连接CM,EC',∵CM=C'M,∴CM+MN=C∵直线y=kx交抛物线于点E,AE=EC,∴直线y=kx为线段AC的垂直平分线.∵∠CAO=45°,∴直线EO的解析式为y=-x,联立y=−x解得x1∴E(-2,2),∴CE=5,∵C(0,3),点C'与点C关于直线y=1对称，∴C'(0,-1),∴C∴∴∴CM+MN的最小值为8(3)【思路点拨】当①CE为矩形的边;②CE为矩形的对角线两种情况，由直线CE的解析式设点C，Q所在直线的解析式，与抛物线联立求解点P的坐标，利用平移规律求得点Q的坐标.存在.分以下两种情况：①当CE为矩形的边时,如解图②,过点C作CE的垂线，与抛物线交于点P₁，过点E作CE的垂线，与抛物线交于点P₂，过点P₁作CE的平行线，交直线EP₂于点Q₁,过点P₂作CE的平行线,交直线CP₁于点Q₂,∵C(0,3),E(-2,2),∴直线CE的解析式为y=∵CE⊥CQ₂,∴设直线CQ₂的解析式为y=-2x+d,代入C(0,3),解得d=3,∴直线CQ₂的解析式为y=-2x+3,∴联立y=−2x+3解得x=0y=3舍去)或∴P₁(3,-3),∵点C向左平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到点E，∴由矩形的性质可知，将点P₁向左平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到点Q₁，∴Q₁(1,-4),同理得(Q₂(7,-11);②当CE为矩形的对角线时，如解图③，以EC为直径作圆，由解图③可知与抛物线无交点，故此种情况不存在符合条件的点P，Q.综上所述,点Q的坐标为(1,-4)或(7,-11).3.解：(1)抛物线的解析式为y=−(2)【思路点拨】由∠ABM=2∠ACO,构造等角,计算tan∠ABM的值和点H的坐标，联立抛物线与直线BM的解析式即可求解点M的坐标.如解图①,在OB上取一点R,使OR=OA=1,连接CR,则∠ACR=2∠ACO=∠ABM,过点A作AK⊥CR于点K,设直线BM交y轴于点H,∵A−1∴AR=2AO=2,OC=AC=CR=∴SACR=132⋅AK,解得∴CK=∴∵∠ABM=∠ACK,∴在Rt△BOH中,OH=OB⋅∴H由点B，H的坐标得直线BM的解析式为y=125x−365,联立y=(3)存在.①当BC是矩形的边时,分别过点B,C作BC