谈谈构造法在三角形全等中的应用

1/3谈谈构造法在三角形全等中的应用搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．ABCABCDFEG图1例1．如图1，已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，试说明：AB+BE=AC．解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45º，∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE，∴EG=BE,∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º,∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC．2．平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线来构造全等三角形．ABCDEF例2．如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=900，点D、E在边BC上，∠ABCDEF试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由分析：本题可以过D点作AC的平行线来构造全等三角形图2解：BD=AC，理由如下：图2过D点作AC的平行线交AE的延长线于F，则∠CAE=∠F，又因为∠AEC=∠DEF，E是CD的中点，所以，△AEC≌△FED，所以，AC=FD，又因为AD平分∠BAE，所以，∠DAE=∠BAD，又因为∠B=∠F，AD为公共边，所以，△ABD≌△AFD，所以，BD=DF，所以BD=AC3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段或相等的角时，可试用旋转方法构造全等三角形。ABCDE图3例3．已知：如图3，在△ABC中，AB=AC，D为△ABCDE图3分析：由于∠ADB=∠ADC，我们就可以利用旋转的方法，来构造全等三角形，从而解决问题．略解：将△ABD绕A点逆时针方向旋转至AB与AC重合，得△ACE，连结DE，则有△ACE≌△ABD，从而∠AEC=∠ADB=∠ADC，且AE=AD，CE=BD，由此可推出∠ADE=∠AED，进一步有∠CDE=∠CED，得CE=CD，故有BD=CD4．倍长中线法EAEABCDFH图4例4．如图4，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．试问：AC与BF相等吗？请说明你的理由解：AC=BF，理由如下：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD，∠BDH=∠ADC，DH=DA，∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF，∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF．5．翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．例5．（同例2）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=900，点D、E在边BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由ABCDEF分析：由于AD平分∠ABCDEF解：BD=AC，理由如下：由于AD平分∠BAE，可将△ABD翻折到△ADF的位置，则△ABD≌△AFD，∠F=∠B，