2025~2026学年山东济宁市泗水县第一学期12月拓展质量监测八年级数学试卷

2025~2026学年山东济宁市泗水县第一学期12月拓展质量监测八年级数学试卷一、解答题1.数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算：由图可得；由图可得；由图可得．(1)请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算；(2)设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明．2.观察：已知．…（1）猜想：；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①；②；（3）拓广：①；②判断的值的个位数是几？并说明你的理由．3.【基础问题】如图①，矩形中，点为边上一点，连接，作交于点，且，求证：．【拓展延伸】（1）如图②，点为平行四边形内部一点，，作交延长线于点，若，则平行四边形的面积为．（）如图③，在正方形中，，在边上取一点，使，将沿翻折到位置，作于点，在右侧作，则面积的最大值为__________．探究：把四块如图所示的小正方形按图所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形；尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为__________；应用：如图，已知是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积：拓展：已知，求的最小值．4.探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形；尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为__________；应用：如图3，已知是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积：拓展：已知，求的最小值．5.计算：6.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了．

(1)被污染的整式________；________；(2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由．7.阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“吉祥数”．(1)若，，直接写出，的“吉祥数”；(2)如果，，求，的“吉祥数”，并证明“吉祥数”．8.如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和．(1)请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积．(2)请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积．9.在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．【思考与推理】老师提供了下列一组等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；…第n个等式可写为：老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理：整理得，………【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；……【问题解决】(1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤．(2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想．(3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式．10.证明：是平方数．11.阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：（，，，），理由如下：设，，则，，∴，由对数的定义得又∵∴根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式转化为对数式________；（2）求证：（，，，）（3）拓展运用：计算________．12.初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，