第8章 实数（复习讲义）（解析版）-人教版(2024)七下

第八章实数（复习讲义）1.了解算术平方根、平方根、立方根的定义及其表示方法，体会三类运算之间的区别与联系，以及从有理数到实数扩充的整体性。2.能运用平方根与立方根的性质解决求值问题，能正确区分无理数与有理数，并能对实数按定义和性质进行分类。3.理解实数的相反数、绝对值、倒数的意义，掌握实数与数轴上点的一一对应关系，能利用数轴比较实数的大小。4.掌握实数混合运算的运算顺序（先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能运用有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）进行实数的简便运算。一、算术平方根、平方根、立方根项目算术平方根平方根立方根定义如果一个正数x的平方等于a（即x2=a），那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。如果一个数x的平方等于a（即x2=a），那么这个数x叫做a的平方根（也称二次方根）如果一个数x的立方等于a（即x3=a），那么这个数x叫做a的立方根（也称三次方根）。表示方法a（读作“根号a”）±a（读作“正负根号a3a（读作“三次根号a”），其中a是被开方数，3被开方数范围a≥0a≥0任意实数性质非负性：a≥0（双重非负：a≥0且a≥0）。2.唯一性：一个非负数只有一个算术平方根。1.正数有两个平方根，它们互为相反数。2.0的平方根是0。3.负数没有平方根。1.每个实数都有且只有一个立方根。2.正数的立方根是正数。3.负数的立方根是负数。4.0的立方根是0。重要公式(a)2=a(a≥0)a2=(3a)3=a；3a3=二、实数的概念与分类1.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。常见类型：含有π的数；开方开不尽的数；有特定结构但不循环的小数。2.实数的分类按定义分类：实数有理数按性质分类：实数正实数三、实数的性质与运算1.基本性质相反数：实数a的相反数是-a。若a与b互为相反数，则a+b=0。绝对值：|a|=a倒数：非零实数a的倒数是1a2.实数与数轴一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。比较大小：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。正数>0>负数。3.实数的运算运算律：有理数的交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用。运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。常用计算口诀：平方根：正数俩，互为相反数；零的平方根还是零；负数没有平方根。算术根：非负数，它本身；双重非负要记准。立方根：数不分正负，根也不分正负；符号跟着里面走。题型一无理数的识别【例1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现，下列选项中，是无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了无理数，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．根据无理数的定义，需根据“无限不循环小数是无理数，有理数包括整数、分数（有限小数、无限循环小数）”，逐一分析再判断．【详解】解：=7，7是整数，属于有理数，故A不符合；是无限不循环小数，属于无理数，故B符合；是有限小数，属于有理数，故C不符合；是有限小数，属于有理数，故D不符合，故选：B．【变式1-1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）下列各数中：，中，无理数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查无理数的识别，算术平方根与立方根，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．【详解】解：，中，是无理数的有：，，，共3个；故选：B．【变式1-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）在下列实数：①；②；③；④；⑤；⑥2.020202⋯（相邻两个2之间有1个0）中，无理数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】本题考查了无理数，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义分析即可，无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”．【详解】解：在实数：①；②﹔③；④；⑤；⑥2.020202⋯（相邻两个2之间有1个0）中，②﹔③；⑤是无理数，共3个．故选：D．【变式1-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义（无限不循环小数），进行判断即可．【详解】解：在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）中，无理数有、​​、0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）共3个；故选C．题型二求一个数的平方根、算术平方根、立方根【例2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）196的平方根是；169的算术平方根是；的立方根是．【答案】±1413【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，理解各自的概念正确化简各数是解题关键．【详解】解：196的平方根是，169的算术平方根是13，的立方根是，故答案为：；13；．【变式2-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）的算术平方根是，的立方根是．【答案】【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根．先计算的值，再求其算术平方根；直接计算的立方根【详解】解：，的算术平方根是；的立方根是．故答案为：；【变式2-2】（2025八年级上·广东深圳·专题练习）的平方根是；的算术平方根是；．【答案】【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，根据平方根、算术平方根和立方根的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：∵，∴的平方根是；∵，，∴的算术平方根是；∵，∴，故答案为：；；．【变式2-3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）的平方根是；的算术平方根是；的立方根是．【答案】2【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义．根据平方根、算术平方根和立方根的定义直接计算．【详解】解：①，4的平方根是；②，4的算术平方根是2；③由于，所以的立方根是；故答案为：，2，．题型三实数的比较大小【例3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）比较大小：5．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】【分析】本题考查实数的大小比较，可将5转化为，然后比较被开方数的大小本题考查实数的大小比较．【详解】解：∵，且，，即．故答案为：．【变式3-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）比较大小：2．（填＞、＝或＜）【答案】<【分析】本题考查实数的大小比较，核心思路是利用平方的方法比较两个正数的大小．可以将整数转化为与左边分数同分母的形式，再比较分子的大小；也可通过平方法，利用“正数的平方大则原数大”的规律判断．【详解】解：∵，且，，∴，∴；故答案为：．【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）比较大小：（填“”、“”或“”）【答案】【分析】本题考查实数的大小比较，可采用移项法，将被比较的式子变形，然后通过平方比较变形后两边正数的大小，从而得出原式的大小关系．【详解】解：比较与的大小，即比较与的大小，也就是比较与的大小∵，，，∴，两边同时减去2，得，即.故答案为：．【变式3-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小：①；②．【答案】【分析】此题主要考查了实数比较大小，正确将根号内的数字移到根号内部以及判断根式的大致范围是解题的关键．对于①，通过平方比较两数的大小；对于②，通过比较分子的大小来判断分数的大小．【详解】解：①比较和：∵，，∵，∴；②比较和：由于分母相同，比较分子和，计算，因为，所以，即，因此；故答案为：；．题型四利用算术平方根的非负性求解【例4】（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为．【答案】1【分析】本题主要考查二次根式和绝对值，根据，，，可得，．【详解】解：根据，，，可得，．即，．解得，．所以．故答案为：【变式4-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知实数，满足与互为相反数，则的值为．【答案】【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值．根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∵且，∴且，∴，，∴．故答案为：．【变式4-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为．【答案】【分析】根据非负数的性质，由列方程求出、的值，代入代数式，由乘方运算计算即可得到答案．【详解】解：，且，，解得，，故答案为：．【变式4-3】（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若，则的值是．【答案】2025【分析】本题考查绝对值，二次根式的被开方数，平方等的非负性，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．将方程左边分组并完成平方，得到三个非负项之和为零，从而每个项必须为零，求出x，y，z的值，即可解答．【详解】解：原方程可化为．∵，，，∴，，，即，解得，，．∴．故答案为：2025．题型五实数与数轴【例5】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若数轴上点，对应的实数分别为和，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），则点对应的实数是．【答案】【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，用点表示数轴上的数，二次根式的加法法则，求出半径，即可解答．【详解】解：∵数轴上点，对应的实数分别为和，∴，又∵以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），∴，∴点对应的实数是，故答案为．【变式5-1】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，将面积为6的正方形的顶点放在数轴上，以表示实数2的点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为．【答案】/【分析】本题考查实数与数轴，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，然后得到，进而求解即可．【详解】解：∵将面积为6的正方形放在数轴上，∴正方形的边长为．∵以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，∴∴点E表示的数为．故答案为：．【变式5-2】（25-26七年级下·全国·周测）春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母之间．【答案】B与C【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答．【详解】解：，∴此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母与之间．故答案为：与．【变式5-3】（25-26七年级上·浙江温州·期中）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点（1）点C在刻度尺上对应的数为；（2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为．【答案】【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质和数轴知识（1）利用数轴知识解答；（2）利用数轴知识和实数的性质解答．【详解】解：（1）根据题意得点C在刻度尺上对应的数为；故答案为：；（2），点A与点C所表示的数分别是，，，点B在数轴上所对应的数是，故答案为：．题型六程序设计与实数运算【例6】（25-26八年级上·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是．【答案】【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数，然后求的立方根：，是有理数，再求的算术平方根：，是无理数，则输出，故答案为：．【变式6-1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为．【答案】【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案．【详解】解：，，∴输出的结果为，故答案为：．【变式6-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，小亮设计了一个计算程序，当输入的值为时，则输出的值为．【答案】【分析】本题考查了程序流程图与实数计算，直接利用运算公式代入x的值，进而计算得出答案．【详解】解：由题意可得：，，，故答案为：．【变式6-3】（25-26八年级上·北京通州·期末）根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是．【答案】【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可．【详解】解：∵当，，∴，∵不是无理数，进入循环，当，，∴，∵不是无理数，进入循环，当，，∴，∵是无理数，退出循环，∴输出．故答案为：．题型七实数的运算【例7】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)8【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的性质、算术平方根、立方根等知识点，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键．（1）先根据二次根式的性质、立方根、绝对值的定义计算，再根据有理数加、减法计算即可；（2）先根据绝对值的定义、算术平方根、立方根的性质计算，再根据有理数加、减法计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式7-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先利用零次幂的意义和算术平方根的定义计算，再算加法即可；（2）先利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，立方根的定义计算，再算加减即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．【变式7-2】（25-26七年级下·全国·周测）计算：(1)；(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了实数的运算，正确计算是解题的关键．（1）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可；（2）先化简绝对值，去括号，立方根，然后再计算加减即可；（3）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．【变式7-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查实数的混合运算，关键是掌握立方根和算术平方根的性质：负数的立方根是负数，正数的立方根是正数．（1）先分别化简每个立方根、算术平方根，再将各结果进行有理数的加减运算；（2）先化简立方根、算术平方根和乘方项，再通过加法交换律和结合律简便计算有理数的和．【详解】（1）解：；（2）解：．题型八利用平方根与立方根的定义解方程【例8】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的值：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值．(1)方程两边同时除以，再把两边同时开平方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值；(2)把常数项移到等号右边，再把两边同时开立方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值．【详解】（1）解：，方程两边同时除以得：，两边同时开平方得：，解得：，；（2）解：，移项得：，两边同时开立方得：，移项可得：，合并同类项得：．【变式8-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．（1）根据平方根的定义解方程即可；（2）根据立方根的定义解方程即可．【详解】（1）解：，，∴，解得，；（2）解：，，，，．【变式8-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查平方根，立方根求方程的解，掌握平方根，立方根的计算是关键．（1）运用立方根的计算求解即可；（2）运用平方根的计算求解即可．【详解】（1）解：，开立方，得，移项，合并同类项，得，系数化为1，得；（2）解：，移项、合并同类项，得，开平方，得，∴或，解得．【变式8-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各等式中的实数．(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握相关定义是解题的关键．（1）先移项，再开平方即可；（2）直接开立方即可．【详解】（1）解：，移项得：，开平方得：，解得：，；（2）解：，开立方得：，解得：．题型九平方根与立方根的综合问题【例9】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是．(1)求与的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先结合的算术平方根是，得，解得，因为的立方根是，得，解得，即可作答．（2）直接把，代入计算，得出平方根，即可作答．【详解】（1）解：∵的算术平方根是，∴，∴，解得；∵的立方根是，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，，∴，∴的平方根为．【变式9-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据的算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答．（2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答．【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3，∴，，∴，，解得，．（2）解：由（1）得，，则．故的平方根为．【变式9-2】（25-26八年级上·四川乐山·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了算术平方根定义，立方根定义，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义．（1）根据立方根和算术平方根定义列出方程组，解方程组即可；（2）先求出的值，然后再求出其平方根即可．【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，∴，解得：；（2）解：∵，∴．∴的平方根是．【变式9-3】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．(1)求，，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)；；(2)【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；（1）根据平方根，算术平方根，立方根的知识即可求解；（2）先求出，再求其平方根即可．【详解】（1）解：的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身，，，，，，．（2）解：∵，，，∴，∵64的平方根为的平方根为．题型十与算术平方根、立方根有关的规律问题【例10】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：

…1…

…1…表格中，．（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向移动位．（3）规律运用：①已知，则；②已知，，则．【答案】（1）；（2）右；1（3）；【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键．（1）根据算术平方根的定义即可求出答案；（2）找到规律即可得出答案；（3）根据（2）中的规律即可得出答案．【详解】解：（1），．（2）观察发现，被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．（3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即．②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即．【变式10-1】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律：，，，，实践探究：(1)按照此规律，①计算：_____；②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）；(2)计算：．【答案】(1)①；②(2)【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，仔细观察，找出规律是解题的关键．（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案；②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是；（2）结合（1），将二次根式化简，然后再计算有理数的乘法即可．【详解】（1）解：①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，那么，故答案为：；②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，那么第个式子是，故答案为：；（2）解：【变式10-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题：(1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位；(2)应用：①已知，则___________；②已知，则___________；(3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值．【答案】(1)三；一(2)①；②；(3)．【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律．（1）根据题干中的例子总结规律即可；（2）根据总结的规律即可求得答案；（3）将原式变形后根据规律计算即可．【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位，故答案为：三；一；（2）解：根据总结的规律可得：，，故答案为：①；②；（3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位，，，．【变式10-2】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】①②；③；④．【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________；（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立；【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根．【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义；（1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式；（2）由归纳可得当时，则；（3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案．【详解】解：（1）；故答案为：（答案不唯一）（2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立；故答案为：0（3）由（2）知，，解得，，．基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列四个数中，最小的数是（

）A． B．0 C． D．【答案】D【分析】本题考查比较实数的大小，先化简各数，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，比较大小即可．【详解】解：∵，∴，∴最小的数为；故选：D．2．（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列说法不正确的是（

）A．的立方根是 B．2是4的算术平方根C．0的立方根是0 D．的平方根是【答案】D【分析】本题考查立方根、算术平方根、平方根的定义，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．【详解】解：A、∵，∴的立方根是，原说法正确，不符合题意；B、∵，∴2是4的算术平方根，原说法正确，不符合题意；C、0的立方根是0，原说法正确，不符合题意；D、的平方根是，原说法错误，符合题意；故选：D．3．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知是正整数，并且，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数大小是解题关键．先判断的取值范围，再判断的取值范围，进而求解即可．【详解】解：∵，∴，∴的值为．故选：B．4．（25-26七年级下·全国·周测）有一个数值转换器，原理如图．当输入的为64时，输出的为（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意求得各数的立方根，直到输出值即可．【详解】解：当输入的为时，其立方根为，它是有理数，返回继续运算；的立方根为，它是无理数，输出的值.故选：B．【点睛】本题考查了立方根求解和无理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握其定义．二、填空题5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）比较大小：7．（填“”“”或“”）【答案】【分析】本题考查了无理数大小比较，通过比较平方的大小来判断原数的大小即可【详解】解：因为，，且，所以，故答案为：．6．（25-26七年级上·山东淄博·月考）的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的绝对值是．【答案】9/【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根、绝对值的意义，根据算术平方根、立方根、平方根、绝对值的意义求解即可．【详解】解：，81的算术平方根是，的立方根是，，5的平方根是，的绝对值是，故答案为：9，，，．7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为．【答案】2【分析】本题考查了平方根的性质及立方根的计算，根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列方程求解x，再求a，进而计算的立方根．【详解】解：由题意知，一个正数的两个平方根互为相反数，∴，即，解得，则一个平方根为，∴，∴，8的立方根为2，故答案为：2．8．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则．【答案】83【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可．【详解】解：∵．∴故答案为：83．三、解答题9．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）计算（2）解方程【答案】（1）；（2）或【分析】本题主要考查了立方根，算术平方根，绝对值的计算，利用平方根解方程，掌握立方根、平方根、算术平方根的定义及求法是解题关键．（1）先计算算术平方根，立方根和绝对值，再计算加减即可；（2）利用平方根的定义求解即可．【详解】解：（1）原式；（2）∵，∴，∴，即或，解得或．10．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．(1)有理数集合：{

…}；(2)无理数集合：{

…}；(3)正实数集合：{

…}；(4)负实数集合：{

…}．【答案】(1)(2)，，…（小数部分由相继的正整数组成），(3)(4)（小数部分由相继的正整数组成），，，【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．（1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可．【详解】（1）解：有理数集合：；（2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}；（3）解：正实数集合：；（4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}．11．（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知的算术平方根是的立方根是．(1)求，的值；(2)是的整数部分，求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、无理数的估算，关键是灵活应用知识点解题；根据立方根的定义、算术平方根的定义求出，接着估算出的范围，从而求出的值，最后根据平方根的定义即可求出答案．【详解】（1）解：的算术平方根是，∴即：，的立方根是，∴，即，∴；（2）解：，∴，∴，由（1）得，∴，∴的平方根是．12．（25-26七年级下·全国·周测）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：(1)若，其中，为有理数，则_________，_________；(2)如果，其中，为有理数，求的立方根．【答案】(1)，2(2)2．【分析】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答；（2）将已知等式进行整理可得，再根据题意可得，，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．【详解】（1）解：由题意可得：解得：．故答案为：（2）解：，，．，为有理数，，，解得，，，的立方根为2．能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在下列实数，，0，，，1.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，通过判断每个实数是否为无理数（即无限不循环小数或不能表示为分数）来确定个数．【详解】解：∵中是无理数，除以有理数2后仍为无理数；∵，是有理数；∵0是有理数；∵是无理数；∵是分数，有理数；∵1.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）是无限不循环小数，无理数；∴无理数有，，1.010010001…，共3个．故选C．2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（

）A．6 B．12 C．20 D．30【答案】B【分析】本题考查的是估算无理数的大小．先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．【详解】解：∵，∴，∵，m，n是连续的两个整数，∴，∴．故选：B．3．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（

）A． B．C． D．2026【答案】B【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键．观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同．【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同，∵，∴第项为负平方根，即.故选：B．4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，则的平方根为（

）A．9 B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性解题，求一个数的平方根，相反数的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据绝对值和算术平方根的非负性，它们互为相反数时只能同时为零，从而求出c和d的值，再计算3c-2d的值，最后求其平方根。【详解】解：∵与互为相反数，且，，∴且，∴，解得，代入，得，即，解得，∴，∴的平方根为．故选：D．5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．由题意可得表示的数为，，则表示的数为，表示的数为，则，则表示的数为，表示的数为，进而求出．【详解】解：∵表示的数为，，∴表示的数为，∴，∴表示的数为，∵，∴，∴表示的数为，∴，∴表示的数为，∵，∴，∴表示的数为，∴．故选：B．二、填空题6．（25-26七年级上·山东泰安·期末）；．【答案】4【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义．利用求一个数的算术平方根和立方根的法则进行求解即可．【详解】解：；；故答案为：4，．7．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为．【答案】【分析】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可．本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键．【详解】解：∵，∴的整数部分．∵，∴的整数部分为2，小数部分．代入方程得，整理得，由于为有理数，为无理数，∴且，解得．∴．故答案为：．8．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简．【答案】【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根和立方根，整式的加减运算，数轴的知识，解题的关键是得到，，．利用数轴得到，，，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义化简，然后计算即可．【详解】由图可知，，∴，，，∴．故答案为：．9．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于．【答案】63【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为．【详解】解：已知，，，……，可归纳出一般形式：．当时，．故答案为63．10．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）有一个数值转换器，设计流程如图：当输入的值为时，该程序无法输出值【答案】负数或0或1【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定