第7章 相交线与平行线（知识+13大题型+分层检测）（复习讲义）（原卷版）-人教版(2024)七下

第七章相交线与平行线（复习讲义）了解邻补角、对顶角、垂线、点到直线的距离、平行线、命题、平移的意义，体会相交线与平行线相关概念之间的整体联系。能用对顶角相等、垂线的性质、平行线的判定与性质进行简单的推理和计算；能用平移的性质分析图形的变换。理解并利用同位角、内错角、同旁内角的数量关系，解决两直线平行的判定与性质相关问题；能区分命题的题设与结论，判断命题真假。一、相交线1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）。2.对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）。3.垂线：-相交成直角时，两条直线互相垂直。-过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。-垂线段最短。4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。二、平行线及其判定1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线。2.基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3.判定方法（满足其一即可）：-同位角相等→两直线平行。-内错角相等→两直线平行。-同旁内角互补→两直线平行。三、平行线的性质1.两直线平行→同位角相等。2.两直线平行→内错角相等。3.两直线平行→同旁内角互补。（判定：由角的关系推平行；性质：由平行推角的关系。）四、命题与平移1.命题：-定义：判断一件事情的语句。-组成：题设（条件）+结论。-真假命题：判断是否正确的命题。2.平移：-定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离。-性质：-平移前后，图形的形状、大小不变。-对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。-对应角相等，对应线段平行且相等。五、核心要点总结-相交线：关注“角的关系”（邻补角、对顶角）。-垂线：关注“最短距离”。-平行线：判定：看角→证平行。性质：有平行→得角关系。-平移：图形运动，形状大小不变，位置改变。题型一对顶角、邻补角的识别【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（

）A．和 B．和 C．和 D．和题型二利用对顶角的性质求角【例2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a、b相交于点O，，度．【变式2-1】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则．【变式2-2】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，若加油站E到公路的距离是，到公路的距离也是，且，则的度数为．【变式2-3】（25-26七年级上·山东东营·月考）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是．题型三利用垂线段最短【例3】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为米．【变式3-1】（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是．【变式3-2】（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是，依据是．【变式3-3】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，，垂足是点D，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的长为整数值的线段有条．题型四相交线中求角的度数问题【例4】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，直线，相交于点，过点作，且平分．(1)求证：；(2)若，求的度数．【变式4-1】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【变式4-2】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知，点为直线上一点，过点作射线，．(1)如图1，则的度数为_______；(2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数．【变式4-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．(1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________；(2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数．题型五画垂线、平行线并求点到直线的距离【例5】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上．(1)过点P画的垂线，垂足为H．(2)过点P画的垂线，交于点C．(3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______．【变式5-1】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点．(1)过点画的垂线，交于点；(2)过点画的垂线，垂足为，连接；(3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离；(4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____．【变式5-2】（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题．(1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点；(2)过点画的垂线，垂足为．①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离；②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______．(3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）．【变式5-3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均为格点．在方格纸中，完成下列作图．(1)过点画的垂线，与交于点；(2)过点画的平行线；(3)线段、、中最短的线段是___________，依据___________．题型六同位角、内错角、同旁内角的识别【例6】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列图形中，和不是同位角的是（

）A． B．C． D．【变式6-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（

）A． B． C． D．【变式6-2】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（

）A．与是同旁内角 B．与是内错角C．与是同位角 D．与互补【变式6-3】（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，下列结论正确的是（

）A．与是同位角 B．与是内错角C．与是同旁内角 D．与是同旁内角题型七判断条件是否使两直线平行【例7】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（

）A． B． C． D．【变式7-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（

）A．B．C． D．【变式7-2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-3】（25-26八年级上·河北张家口·期末）将一块含有的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中一定能判断的是（

）A． B．C． D．题型八平行线的性质与判定【例8】（2026七年级下·全国·专题练习）如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作．(1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由．(2)若，且，求的度数．【变式8-1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在一副三角板中，，，．解答下列问题：(1)当三角板按如图①的方式摆放时，若，求证：；(2)当三角板按如图②的方式摆放时，若，求的度数．【变式8-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图：已知，，．(1)求证：；(2)若平分，于，，求的度数．【变式8-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，E是CD上一点，连接AE，BE并延长分别交BC，AD的延长线于点M，N，已知．(1)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由．(2)若，，，求的度数．题型九判定命题的真假【例9】（25-26八年级上·山西太原·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（

）A． B．C．， D．，【变式9-1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列命题中正确的是（

）A．同位角相等B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行C．两点之间，直线最短D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条【变式9-2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）下列命题为真命题的有（

）①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式9-3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各命题是假命题的是（

）A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补题型十生活中的平移现象【例10】（25-26七年级上·上海松江·期末）中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（

）A． B． C． D．【变式10-1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（

）A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动【变式10-2】（25-26七年级上·上海虹口·期末）二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横式或纵式带状纹样．以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（

）A． B．C． D．【变式10-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列现象中属于平移的是（

）A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折题型十一利用平移的性质求解【例11】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为．【变式11-1】（25-26七年级上·上海宝山·期末）如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为．【变式11-2】（25-26七年级上·上海虹口·期末）“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是．【变式11-3】（25-26七年级上·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么cm．题型十二利用平移解决实际问题【例12】（25-26七年级上·上海·期末）某公园内有一长方形花坛，现准备在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，如图，有甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），甲方案中小路总面积为，乙方案中小路总面积为，则．（用“”、“”、“”填空）【变式12-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为m．【变式12-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走：①为折线段，②为折线段，③为折线段．三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为．【变式12-3】（25-26七年级上·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线．①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为；②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为，当，时，草坪面积为．题型十三平移与平行线的综合问题【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形．(1)若，求的度数．(2)若，求的长．【变式13-1】（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接．(1)与的位置关系为．(2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由．(3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由．【变式13-2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，．(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；(2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系．【变式13-3】（24-25七年级下·广西南宁·期末）在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接．(1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________；(2)如图2，若，求的度数；(3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？(4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°．基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题中，真命题是（

）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．相等的角是对顶角C．等角的补角相等D．平行于同一条直线的两条直线垂直3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线、相交于O，且，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则（

）A．80° B．100° C．50° D．130°二、填空题5．（25-26七年级上·浙江·假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的．6．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为．7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是；直线与被直线所截得的内错角是；图中的内错角是．8．（25-26七年级下·全国·课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为．三、解答题9．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．(1)找一格点，使得直线，画出直线；(2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足；(3)找一格点，使得直线，画出直线；(4)___________；（填“>”“<”或“=”）10．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且．(1)若，求的度数；(2)若，判断与的位置关系，并说明理由．11．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线和相交于点，，平分．(1)若，则______°．(2)若，①求的度数；②求的度数．12．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，点，分别在的边上，点在线段上，且，．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若平分，求．能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（

）A． B．C．与互为补角 D．的余角等于2．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，下列推理不正确的有（

）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（

）A． B． C． D．4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三