黑龙江省大庆市铁人中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题+答案

铁人中学2024级高二下学期开学考试数学试题考试时间：2026年3月第1页，共3页铁人中学2024级高二下学期开学考试数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。命题人：审题人：一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．在等比数列{an}中，若a3,a7是方程x2+5x+4=0的两个根，则a5的值是()2．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若limf(2+Δx)-f(2)=-1，则f9(2)=()Δx→02Δx2443．已知双曲线C：-=1(a>0,b>0)的焦距为2，点P(1,2)在C的渐近线上，则双曲线122224．过点(1,2)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程是()A．2x-y=0B．2x-y=0或x5．在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，AB=4，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是()76．已知数列{an}满足a1+3a2+...+3n-1an=n.3n+1(n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an-20}的前20项和为()A．920B．7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，a1A．d＞0B．Sn的最小值为S6lnJC．当Sn<0时，n的最大值为11D．数列{n}前n项和为TlnJ8．已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1的直线交C的左支于A，B两点，点I是△ABF2的内心，若IAB,IAF2,IBF2的面积比为5:12:13，则C的离心率二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列求导运算正确的是()2BC．(log2x)10．下列说法正确的有()铁人中学2024级高二下学期开学考试数学试题考试时间：2026年3月第2页，共3页B．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S6=26，S4=4S2，则S2=-1.C．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且=，则4a4411．如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点P1(x1*)均位于抛物线y=x2(x≥0)的图象上．点F为抛物线的焦点，以点Pn为圆心的Pn项之和为Sn，则()n三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上)12．已知曲线f(x)=x3-3x，则曲线过点P(2,2)的切线方程为．数列{an}的通项公式为．14．平面直角坐标系xOy中，曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)，F2(1,0)的距离之积等于常数a2（a>0）的点的轨迹.点P是曲线C上一点.给出下列四个结论.①曲线C关于x轴对称；②PF1F2面积的最大值为；③当a=1时，已知点Q在双曲线x2-y2=上，若F1Q丄F2Q，则点Q在曲线C上；④当a=1时，曲线C所围成的图形面积小于椭圆E：+=1所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=42,a2-a1=6，且{an}的公比q>2(1)求数列{an}的通项公式lbnbn+1Jnn2lbnbn+1Jnn2AD=2BC，E为PA的中点.(1)求证：BE//平面PCD(2)求平面BEC与平面PCD所成夹角的余弦值铁人中学2024级高二下学期开学考试数学试题考试时间：2026年3月第3页，共3页17．在xOy平面上，设椭圆Γ:+y2=1(m>1)，梯形ABCD的四个顶点均在Γ上，且AB//CD.(1)若AB为Γ的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为Γ的焦点，求m的值；(2)设m=，直线CD经过点P(0,2)，求.的取值范围；(1)求证：数列{}是等差数列；n3nnn(2)设b=Sn，{b}n3nnn①求Tn；②若对任意的正整数n，不等式6-Tn<λ.2n恒成立，求实数λ的取值范围.(2)已知曲线C:y=，绕原点逆时针旋转得到曲线C'．(ⅰ)求曲线C'的方程；(ⅱ)P为曲线C'上一点，P不在x轴上，过P作PB丄PD交曲线C'于B，D两点，求证：BD与曲线C'在P点处的切线垂直．19．在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点A'，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点A(a,b)绕原点逆时针旋转θ后得点A'(a',b')，且旋转变(a,换的表达式为{l(a,=acosθ-bsinθ,曲线的旋转变换也如此．(1)将点A(1,1)绕原点逆时针旋转得到点A'，求点A'坐标；答案第1页，共4页答案解析选则题123456789BCBDCBDABCADABC填空题12．y=2或9x-y-16=0n14.①③④解答题(2)证明见解析【解析】（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，解得q=2或q=4，因为q>2，所以q=4，代入可得a1=2，所以an=2.4n–1=22n–1； T,,16．(1)证明见解析(2)【解析】（1）取PD的中点F，连接EF,CF，因为E,F分别为PA,PD的中点，故EF//AD，且EF=AD，又AD//BC，且BC=AD，则EF=BC且EF//BC，则四边形EFCB为平行四边形，故BE//CF，又CF平面PCD，BE丈平面PCD，故BE//平面PCD.（2）由题意得AB2+BC2=AC2，所以AB丄BC，又因为AD//BC，所以AB丄AD，又因为PA丄平面ABCD，AB,AD平面ABCD，以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设平面BCE的法向量为=(x1,y1,z1)，设平面PCD的法向量为=(x2,y2,z2)，则{l·PCl·PC设平面BEC与平面PCD所成夹角为θ,答案第2页，共4页即平面BEC与平面PCD所成夹角的余弦值为.【解析】（1）因为梯形AB为Γ的长轴，ABCD的高为，AB//CD，所以点C的纵坐标为，代入椭圆方程得+=1，可得x=，又因为C在AB上的射影为Γ的焦点，22 Δ=64k2-24(2k2+1)>0，得k22x2x2216k28k2+4-2k2+1011116k28k2+4-2k2+10111(7)n+1Sn+1SnS(7)n+1Sn+1SnSn+1SnSnn2324n，两式相减得n-nn.n33n3n因此数列{Cn}为递减数列，则当n=1时，(Cn)max=，则λ>，答案第3页，共4页所以实数λ的取值范围是λ>.-,0)(3π3π【解析】（1）由题意可得，{la,=cos3-(3π3π（2）(ⅰ)设曲线C上任意一点为(x0,y0)，且y0=，将其绕原点逆时针旋转得到点(x,y)，(lly=x0cos-y0sin+y0cos3π 43π 4-x0-y0x0-y0(ly0ly0y-x 2x+y=-(ⅱ)设P(m,n)，且m2-n2=2，m,n≠0，由题意可知，过点P的切线斜率存在，