湖北省黄冈市黄梅县第一中学2026届高三下学期开学考试数学试题（含解析）

2026届高三下学期开学考试数学试卷学校:_____班级:_____考号:_____一、单选题1.已知集合A={−1,0,1,2}A.{−1}B.{1,2.“α为第一象限角”是“sin2α>0A.充要条件B.既不充分又不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件3.函数fx=xA.B.C.D.4.若a=2−12,bA.a>b>cB.b5.已知α,β是两个不同的平面,m,A.若α//β,m//αB.若α⊥β,mC.若α//β,mD.若α⊥β,m6.下列说法中,错误的有()①回归直线y=bx+a②根据2×2列联表中的数据计算得出χ2≥6.635，而Pχ2≥6.635≈③在做回归分析时，可以用决定系数R2刻画模型的回归效果，若R2④某项测量结果ξ服从正态分布N1,σ2,若PA.1个B.2个C.3个D.4个7.如图,向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水,水面高度为2时停止注水(不考虑容器厚度)，将此四棱锥容器倒置时，水面高度为()A.237C.338.如图,双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2A.102B.132C.339.fx=sinωx+φω>0,−π<φ<π,在−5π12,π12A.−32B.−2二、填空题10.已知复数z=1−ii，其中i11.已知x+2nn∈N∗的展开式中，第4项系数与第12.已知圆C:x2+y2−2x−2y−2=0与直线l:x−y+b=13.如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且BD=DE=EC，点F，M分别在线段AB,AD上,且AF=2FB,2AM=MD,直线FM交AE于点G，且AG=λAE，则λ=_____.若直线MC14.学校食堂为了减少排队时间,从开学第1天起,每餐只推出即点即取的A套餐和B套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为13；若他前1天选择了B套餐,则第2天选择了A套餐的概率为23.已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为23,则第2天选择A套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选A套餐的天数为X,则15.已知a∈R,函数fx=x2+2x+a三、解答题16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是(1)求角A；(2)若a=3，求△17.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB(1)求证:GF⊥平面FBE(2)求直线AC1与平面FBE(3)求点D到平面FBE的距离.18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 a(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的左、右顶点分别为A,B两点，直线l交椭圆C于MM,N异于点A,B),直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且19.已知数列an的前n项和为Sn,对任意(1)证明:an为等比数列，并求出数列an(2)设数列bn=2k,n=akb(i)求Tn(ii)设cn=n2n+18n−18Tn−1+1,求使得20.已知函数fx(1)x=1是否可以为fx(2)若函数gx=fxx(i)求a的取值范围;(ii)若x1+x2+x1.C由题意可知A={−1,0,所以A∩故选:C2.C因为α为第一象限角,所以2kπ<4kπ<2α<π+而sin2α>0,则则kπ<α所以sin2α>0推不出所以“α为第一象限角”是“sin2α>故选:C.3.B当x∈[−f所以该函数是奇函数,图象关于原点对称,排除AD.当x∈0,π2时,f故选:B4.Ba=2−12b=而1=log33<则b>故选:B.5.C对于A:如图:在长方体中,α//β,m//α,n对于B:如图:在长方体中,α⊥β,m//α,n对于C:因为α//β,m⊥α,所以m⊥β,又因为n⊥β,所以m//n,故C正确;对于D:如图:在长方体中,故选:C6.A对于①,回归直线y=bx+a恒过点x,y,不一定过样本点,故①错误;对于②,根据2×2列联表中的数据计算得出即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，故②正确；对于③，在做回归分析时，可以用决定系数R2若R2对于④,某项测量结果ξ服从正态分布N1,σ2则Pξ≤−可得四个命题中,错误的有1个,故A正确.故选:A7.A设正四棱锥的底面边长为2a,因为注水四棱台部分的高为2,四棱锥的高为4,所以注水四棱台的上底边长为a,体积V1设注水四棱锥的水面高度为h,底面边长为x,则h4=x2a所以注水四棱锥部分的体积V2因为V1=V2,即14a故选:A.8.C设AF1=m,则AF2−AF因为AF1,A代入得:2m+2a=m+BF2所以AB=A在△AF2B即2m化简可得:m=所以AF因为∠AF1F2所以AF所以4求得:c2所以e=故选:C.9.C因为函数fx在−5π12,π12所以x=π12时函数取最大值,又因为所以π12设fx的最小正周期为T,由正弦函数的对称性可知π即π4=2n+1又fx在−5π12,π所以πω≥π2,解得0<ω≤2则φ=π3+2kπφ=mπ−2π3,m,k所以fx当x∈0,5π12由正弦函数的单调性可知fx故选:C.10.2因为z=1−ii=−i2−ii=−1−i11.6二项式x+2nn∈N∗的展开式的第r+1项为:Tr+1=又第4项系数与第6项系数之比为5:6,所以Cn3⋅23整理可得n2由题意可知n≥5且n∈N∗故答案为:6.12.±由圆C:x2+y所以圆心C的坐标为1,1,半径因为△ABC为等边三角形，所以AB所以圆心C到直线l:x−y+即1−1+b2故答案为:±613.2由BD=DE=EC,可得D为BE因为AF=2FB,2可得3AM=12×又因为F,M,G三点共线,可得14+16λ=设AN=μAE,因为点E为CD的中点,可得所以1μAN=12因为M,N,C三点共线,可得3μ2即AN=12AE,所以点N为AE设CN=由CM=可得1xCN=23又因为A,N,E三点共线,可得2x3即CN=34CM又由MA=又因为△MNG是边长为2所以MA=−16故答案为:2914.4设Ai=“第i天选择A套餐”i=1,2，则Ai=“第根据题意PA由全概率公式,得PA设An=“第n天选择A套餐”n则Pn由全概率公式,得PA即Pn则P1则EX15.1分类讨论:①当x>0时,fx≤x整理可得:a≥−由恒成立的条件可知:a≥结合二次函数的性质可知:当x=12时,−12②当−3≤x≤0时，fx≤x即:由恒成立的条件可知:a≤结合二次函数的性质可知:当x=−3或x=0时，−x2综合①②可得a的取值范围是18,2，故答案为点睛:对于恒成立问题,常用到以下两个结论:1a≥fx恒成立⇔a≥fx16.1(2)6(1)由acos由于A+B=π−又因为C∈0,π,所以sinC因为A∈0,π,所以A−故A=(2)因为a=3，Aa由基本不等式可得:b2+c2≥当且仅当b=c则△ABC的面积S=故△ABC的面积的最大值为617.(1)连接GF，如图所示:因为F为C1B1中点,且在直角△C1FG中,可得在直角△BB1F在直角△BCG中，可得BG所以BG2=GF在长方体ABCD−A1B1C1D1因为GF⊂平面BCC1B1又因为E,F分别为A可得EF//D1C1因为EF∩BF=F,且EF,所以GF⊥平面FBE(2)以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为因为AB=ADA则AC由GF⊥平面FBE,所以向量GF为平面FBE设直线AC1与平面FBE所成角为所以sinθ所以直线AC1与平面FBE所成角的正弦值为(3)由D0,0,又平面FBE的一个法向量为GF=所以D到平面FBE的距离为:d18.(1)因为椭圆C过点0,又离心率为e=所以椭圆C的方程为x2(2)由条件可得直线l的斜率不为0，故设直线l方程为x=my+t，Mx1由x29+y25=1x方程5m2Δ=∴y又因为k1点Nx2,y2在椭圆C由k1=2k2所以10m所以10m所以t+即135t+3t+1故直线l方程为x=my−1,所以直线l19.(1)任意n∈N∗，当n=1时，2S1=3当n≥2时,由①-②得2Sn−2S故数列an是首项为1,公比为3则an(2)(i)由(1)可得Sn=1×1−当3k−1≤i可知数列bi的对应项构成以2k为首项,以4k∴i∵∴==1(ii)cn下证当n≥1时,①显然n2+②n2+∵3∴n∴0<n2+∴i12nn−又64×因此满足不等式的最大正整数n=20.(1)不可以，理由见解析(2)(i)1,e【分析】(1)根据极值点的定义即可求解;(2)(i)对gx进行求导得g′x=x−1ex−ax−ax，由题意可得方程ex−ax−a=0(ii)由(i)知x1,x2,x3中有一个为1,不妨设x3=1,x1>x2>−1,令t=x+1,根据题意可得et1=a【详解】(1)由题意知,f′若x=1为fx的极值点,则f′1当a=e2时,令mx=ex−e易知m′x=ex当x∈−∞,1时,m′x<0,故当x∈1,+∞时,m′x>0,故故f′所以fx=ex−a与x=1为f所以x=1不可以为f(2)(i)由题意知gx=ex则g′因为函数gx=fxx则其中一个极值点为1,且方程ex−ax−a=0有两个根,这两个根都不能等于0或1,令hx=则h′当a≤0时,所以函数hx=此时hx当a>0时,令h′x=当x∈−∞,lna时，h′x<0，故当x∈lna,+∞时,h′x>0,故若函数hx=则hlna=eln当a>1时，h−1=1e>0当x→+∞,hx→+∞,则函数hx若x=0是函数hx=ex−ax−故x=0不是函数h若x=1是函数hx=e则a≠综上所述，a的取值范围为1,(ii)由(i)知x1,x2,x3中