湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一实验班下学期三月第一次测试数学试卷（含解析）

湖北随州曾都一中25级高一实验班26年三月第一次测试数学试卷内容:必修第一册+必修第二册第六章、第七章一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知非零向量a,b满足aA.a=bC.a与b的方向相同D.a与b的方向相反2.已知sinα+β=3A.15B.22C.13.已知平面向量a,b,a=3b,设b−a在a上的投影向量为−32A.5π6B.2π3C.π4.设函数fx=x2+2x,x<0−A.−2,4B.(−25.设方程2x=2−x、logA.a<bC.b<c6.函数fx=AA.fB.该函数的解析式为fC.将函数fx的图象向右平移π2D.函数fx的减区间为7.已知正数a,b满足a+b−1=A.3+228.设函数fx=x2+ax+blnxA.-2B.-1C.2D.1二、多项选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的的0分)9.下列说法正确的是()A.若sinα⋅cosα>0B.将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是−C.终边经过点a,aa≠D.在一个半径为3 cm的圆上画一个圆心角为30∘的扇形,则该扇形面积为10.若复数z=3−A.z的实部是12B.C.z−z=−211.已知函数fx=sinωx+φω>0,且确的有()A.若f2π3+fB.若fx+π3≥fxC.若ω=1,φ≤π2D.若φ=−π6,则ω三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知tanα+β=313.已知在矩形ABCD中，AB=22，点E是边BC的中点，则AE+AC•AB=_____.14.函数fx=xx四、解答题:(共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P−(1)求cosπ2(2)若sinβ=513,β16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a(1)求cosB(2)若bsinC=2217.如图,一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈,简车的轴心O距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的高度为d(单位:m)(在水面下d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:s)之间的关系为d(1)在筒车转动的一周内，求点P距离水面高度d关于时间t的函数解析式；(2)5分钟内，盛水筒P在水面下的时间累计为多少秒？(3)若盛水筒P在t1，t2时刻距离水面的高度相等，求t18.设常数a∈R,函数(1)若fx为偶函数,求a(2)若fπ4=3+1，求方程f(3)若函数fx在区间−π4,π619.已知函数fx的定义域为I,若∃m,n,t∈R,使得f2m+x⋅f2n(1)证明:每一个指数函数fx=ax(a>0(2)若函数fx=21x是m,2,t(3)已知函数fx在定义域−3,9上的函数值恒大于0，且fx为0,1,4型函数，当x∈1,9时,fx1.C非零向量a,b满足a=4b,则a与b的方向相同,且故选:C2.D∵sinα又由tanα=2tanβ,得sinαcosβ=2cos故选:D3.Ab−a在a上的投影向量为−32a所以b−a⋅aa因为a=3b,所以故选:A.4.D当a≤−2时,f当−2<a<0ffa当a=0时，f当a>0时,由ffa=−a22+综上可得:a的取值范围为−∞,3故选:D.5.B由题意可知,a、b、c为直线y=2在同一平面直角坐标系中,作出函数y=2由图可知,a<故选:B.6.C对于AB,由图象,易得A=2,T=则fx因为fπ4=2sin即φ=π3+2kπ,k∈Z则fx=2sin23f0=3≠对于C,将函数fx的图象向右平移π2个单位,即fx−π2=2sin2对于D,若求fx=则有π2解得π4即fx的减区间为π4+3kπ,7故选:C.7.A由题意可得a+设fx=x+ex,则f则fx在Rf1−b=1由fx的单调性可得a则a+1ab=a则有2b当且仅当2ab=联立2ab=baa+b=1,解得a故选:A.8.B函数fx定义域为0,+∞,而0要使fx≥0,则二次函数y=x2+ax+b,在0<x<所以x=1为该二次函数的一个零点,易得则y=x所以,只需−a+1≤0⇒a故选:B9.BCA选项,若sinα⋅cosα>0,则B选项,将表的分针拨快5分钟,顺时针转动30∘,故分针转过的角度是−30∘C选项,终边经过点a,aa≠0α α=D选项,扇形面积为S=12αR2故选:BC.10.ADz=则z=所以z的实部是12z−z在复平面内对应的点坐标为12,−所以AD正确,BC错误,故选:AD11.ABD对于A,由f2π3+f5π6=0及得fx的图象关于点3π4,0对称,因此对于B,若fx+π3≥fx恒成立,则即k×2πω=π3,解得ω=6k,又ω>0,即0<ω≤6,因此ω=6,即满足条件的ω对于C,ω=1,取φ=π2,函数f即φ=π2也满足要求,对于D,依题意,2π3,5π6为则2π3ω−π6≥π2+当k=0时,1≤ω≤2,当所以ω的取值范围是1,2故选:ABD12.7由题意得tanα则tanα=tan故答案为:7613.16由题意如图所示:由AE=因为AB⊥BC,AB⊥所以AE=2故答案为:16.14.14<a<因为fx所以f1则函数gx=f1−x−ax故y=f设gx又y=g由图象可得两个函数的图象均过原点，当a≠0考虑直线y=ax与g则由ax=x−x2可得Δ=考虑直线y=ax与g由ax=−1x+1可得ax2−x考虑直线y=ax与g由ax=x2−x可得x2−a+结合图象可得当14<a<1综上,14<a<1故答案为:14<a<115.1(2)cosα(1)法一:由角α终边上一点P−4,3故cos法二:由角α终边上一点P−4,3故cosπ(2)由角α终边上一点P−4,3因为sinβ所以cosβ则cos=−416.(1)cos(2)10(1)由a+3c=3bcossinAsinA因为A∈0,π,所以sinA>0,两边同时除以解得cosB(2)由B∈0,π,cos因为S△ABC=12absinC=再由S△ABC=12acsinB由余弦定理:b2=522因此△ABC的周长为a17.(1)d=(2)100秒(3)20(1)由图可知,d的最大值为5+2.5=7.5,则A=因为简车按逆时针每分钟转2圈,故T=30 s,所以所以d=当t=0时,d=0,所以5sin因为−π2<φ<π2,所以(2)由(1)得d=5令d<0,则5sinπ15t−π6解得20+5分钟=300秒,则令0<20+30k<t<30+30k≤300,k∈(3)不妨设t1>t2≥0故sinπ①π15t1−π6故t1+t2=2②π15t1−π6显然当k2=0时,t1+综上,t1+t18.1(2)x(3)0(1)∵fx∴f−即−asin所以2asin2x=0(2)∵f即a+∴f由fx=1−2∵∴2x+π6=−3π4或2x+π所以x=−(3)f其中sinx∈−π4要使函数fx在区间−π须使φ−即−1<aa2所以解得0<19.(1)证明:因为f0+x所以fx=axa>即每一个指数函数都是0,0(2)因为函数fx=21x所以f2m显然t>0,则212m+整理得x2log2t+2m−4log2所以log2t=02