人教版初中数学九年级下册《28.1 锐角三角函数》第2课时教学设计

人教版初中数学九年级下册《28.1锐角三角函数》第2课时教学设计

一、教学内容与整体分析

1.教材分析

本节课选自人民教育出版社《义务教育教科书·数学》九年级下册第二十八章《锐角三角函数》的第一节“锐角三角函数”。本章内容是初中阶段“图形与几何”领域的重要组成部分，是学生从静态几何研究转向动态几何关系、从定性描述转向定量刻画的关键节点。

第1课时已经学习了锐角的正弦概念，即在一个直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值是固定不变的。本节课将在此基础上，逻辑地引出锐角的余弦和正切的定义，完成三个基础锐角三角函数的建构。这一建构过程，不仅丰富了刻画直角三角形的边角关系的工具，更重要的是，它让学生首次系统性地接触“函数”思想在几何图形中的具体体现——锐角的度数（自变量）与边的比值（因变量）之间的单值对应关系。这为高中系统学习任意角三角函数、深刻理解函数本质奠定了坚实的认知和思想基础。

从知识结构看，本节课内容承上启下，向上衔接高中的三角函数与平面向量，向下巩固直角三角形、相似三角形等核心几何知识。从数学思想方法看，它强化了“数形结合”、“转化与化归”、“从特殊到一般”、“函数与模型”等核心数学思想。

2.学情分析

认知基础：九年级学生已熟练掌握直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，能够运用这些知识进行几何推理与计算。在第1课时，学生已经历了正弦概念的探究过程，初步理解了“角度固定，则其对边与斜边之比固定”这一核心观念，体验了从具体实例到抽象定义的数学化过程，具备了一定的观察、猜想、验证的探究能力。

潜在困难：

1.概念理解层面：学生容易将正弦、余弦、正切三个比值混淆，尤其是余弦（邻边比斜边）与正弦（对边比斜边）在名称和定义上的对应关系。对“锐角三角函数是比值，其大小只与角度有关，与三角形大小无关”这一本质属性的理解可能需要反复强化。

2.符号记忆与运用层面：对符号cosA

,tanA

的记忆和准确书写可能生疏。在具体直角三角形中，给定一个锐角，准确识别其“对边”、“邻边”和“斜边”是正确写出三个函数表达式的前提，部分学生在此处可能出现判断失误。

3.思想方法层面：将“锐角三角函数”理解为“函数”，理解角度与比值之间的依赖关系和变化趋势，对于初中生而言仍是一个认知上的跃升，需要借助直观的几何图形和动态演示来辅助理解。

3.教学目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形的性质”和“函数”领域的要求，结合学科核心素养，制定以下三维目标：

知识与技能：

1.理解锐角的余弦（cosA）和正切（tanA）的概念，知道它们的定义式。

2.能准确、熟练地根据锐角A，在直角三角形中写出它的三个三角函数（sinA,cosA,tanA）的表达式。

3.掌握已知锐角的一个三角函数值，求该锐角其余两个三角函数值的基本方法。

4.会使用计算器求已知锐角的余弦值、正切值，以及由已知三角函数值求对应的锐角。

过程与方法：

1.经历从特殊到一般、类比正弦函数探究余弦和正切函数的过程，体会数学研究方法的连贯性与普适性，发展类比推理能力。

2.通过画图、测量、计算、猜想、验证等活动，深入理解“角度确定，则边的比值确定”这一函数思想内核。

3.在解决“知一求二”的问题中，学会综合运用三角函数的定义、勾股定理及方程思想，提高分析问题和综合运用知识的能力。

情感、态度与价值观：

1.在探索新知识的过程中，体验数学知识间的内在联系与和谐统一，感受数学的严谨性与逻辑美。

2.通过了解锐角三角函数在工程、物理、测量等领域的广泛应用，认识数学的价值，激发学习兴趣和科学探索精神。

3.在小组合作探究中，培养交流、协作的意识和勇于表达的科学态度。

4.教学重难点

教学重点：锐角的余弦和正切的概念，及其定义式。

教学难点：

1.理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）是反映角度与边长比值之间函数关系的数学工具。

2.在复杂图形或实际问题中，灵活构造直角三角形，并正确应用三角函数的定义解决问题。

5.教学策略与方法

主导策略：探究发现式教学与启发式讲授相结合。

主要方法：

1.类比迁移法：引导学生类比正弦概念的探究路径，自主探究余弦和正切，实现知识的正迁移。

2.实验探究法：学生通过动手画图、测量、计算比值，获得直观数据和体验，为抽象概括概念提供感性基础。

3.问题驱动法：设计环环相扣、层次递进的问题链，驱动学生思考，引领思维走向深入。

4.数形结合法：始终将抽象的比值与具体的直角三角形图形相联系，利用几何直观辅助理解。

5.信息技术整合法：使用几何画板（GeoGebra）进行动态演示，直观展现“角度变化，比值随之确定性地变化”的函数关系，突破难点。

6.教学准备

教师准备：多媒体课件（含几何画板动态演示文件）、三角板、教学设计方案、课堂练习与达标检测题。

学生准备：复习正弦函数的定义，准备直尺、量角器、科学计算器、练习本。

7.课时安排

1课时（45分钟）

二、教学过程设计与实施

（一）创设情境，温故孕新（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.展示一幅山坡的剖面图，将其抽象为一个直角三角形ABC，其中∠C=90°，∠A代表山坡的倾斜角，BC为坡面的垂直高度，AC为水平宽度，AB为坡面长度（斜边）。

2.提问：

【问题1】我们已经知道，坡度（倾斜角）∠A越大，爬山越费力。上节课我们学习了用∠A的哪个“指标”来定量描述这种“费力”程度？（预设：sinA=对边/斜边=BC/AB）。这个指标叫什么？

（预设学生回答：正弦。sinA=BC/AB）

【问题2】如果我想知道，在水平方向上每前进1米（AC），垂直方向会升高多少米（BC），这反映了坡面的“陡峭”程度在水平方向上的体现。这个关系能用BC和AB的比来描述吗？如果不能，应该用哪两条边的比？

（引导学生思考并回答：应该是BC与AC的比）

【问题3】如果我想知道，从山脚到某点的斜坡长度（AB）与水平距离（AC）有怎样的比例关系，这又该用哪两条边的比？

（引导学生思考并回答：应该是AB与AC的比，或者AC与AB的比）

学生活动：

观察情境图，积极思考，回顾正弦定义，并针对教师提出的新问题，尝试从几何关系中找到对应的边之比。

设计意图：

从实际情境（山坡坡度）出发，在复习正弦（垂直高度与斜边之比）的同时，自然引出描述坡度另外两种关系的需要：竖直高度与水平宽度之比、水平宽度与斜边之比。这为学生理解正切和余弦的现实意义提供了生动的原型，激发了探究新知的欲望。问题链的设计，旨在让学生体会到，为了更全面地刻画直角三角形的边角关系，仅有正弦是不够的，需要引入新的“指标”。

（二）合作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

环节一：类比猜想，明确方向

教师活动：

1.引导学生回顾正弦定义的探究过程：画不同大小的含有相同锐角∠A的直角三角形→测量边长→计算对边与斜边的比值→发现比值固定→定义该比值为∠A的正弦。

2.提出探究任务：

【探究任务】类比sinA的探究方法，请以小组为单位，对∠A的“邻边与斜边的比”以及“对边与邻边的比”是否也保持固定进行探究。

具体步骤：

（1）每个小组任取一个锐角度数（如30°，40°，50°等）。

（2）每个成员用这个角度，画一个大小不同的直角三角形（确保∠A大小一致，直角顶点可不同）。

（3）测量每个三角形中∠A的邻边（AC）和斜边（AB）的长度，计算AC/AB的值（精确到0.01）。

（4）测量每个三角形中∠A的对边（BC）和邻边（AC）的长度，计算BC/AC的值（精确到0.01）。

（5）组内比较各成员的计算结果，你们发现了什么？

学生活动：

以4人小组为单位，分工合作。有的负责画图，有的负责测量，有的负责计算，有的负责记录。完成实验数据收集。

设计意图：

将学习的主动权交给学生。通过清晰的探究任务指引，让学生完整复现科学探究的过程：动手操作→收集数据→观察分析→形成猜想。这不仅是知识的获得，更是科学研究方法的训练。类比正弦的探究路径，降低了探究的认知负荷，使学生能够将主要精力集中于对新比值的观察与思考上。

环节二：汇报交流，形成定义

教师活动：

1.邀请几个小组汇报他们选择的∠A的度数以及计算得到的AC/AB

和BC/AC

的几组值。

2.将典型数据记录在黑板上或课件表格中。

∠A的度数

图形编号

AC/AB(比值1)

BC/AC(比值2)

30°

图1

0.86

0.58

30°

图2

0.87

0.57

40°

图3

0.77

0.84

40°

图4

0.76

0.83

3.引导学生观察分析：

【问题4】对于同一个确定的锐角∠A（如30°），无论直角三角形画得多大，AC/AB

的值有什么关系？BC/AC

的值呢？

（预设：非常接近，近似相等）

【问题5】为什么只是“近似”相等，而不是绝对相等？

（预设：因为测量存在误差。从数学原理上，根据相似三角形性质，这两个比值应该是严格相等的。）

4.利用几何画板进行动态验证：

1.5.构造一个∠A可调的直角三角形。

2.6.固定∠A的大小，动态改变三角形的大小（通过拖动斜边上的点）。

3.7.软件实时显示AC/AB

和BC/AC

的数值。让学生观察在三角形变化过程中，这两个比值是否变化。

4.8.改变∠A的大小，重复观察。

9.形成结论，给出定义：

在直角三角形中，当锐角A确定时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比也都是确定的，与三角形的大小无关。

定义：

1.10.我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边=b/c。

2.11.我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA=∠A的对边/邻边=a/b。

12.强调符号的读法与书写规范。

13.与正弦定义并列，完善锐角A的三个三角函数关系式：

sinA=a/c=对边/斜边

cosA=b/c=邻边/斜边

tanA=a/b=对边/邻边

学生活动：

各小组展示数据，观察并分析数据规律。观看几何画板演示，确信比值不变的数学事实。聆听教师讲授，理解并记忆余弦和正切的定义及符号。在笔记本上整理三个三角函数的定义式，并与图形对应。

设计意图：

从学生的实验数据出发，通过“近似相等”自然引出测量误差，并顺势转向数学原理（相似三角形）的论证，再用信息技术进行精确、动态的验证，这一过程体现了数学的严谨性与工具性。最终形成清晰、准确的定义。并列呈现三个定义，有助于学生从整体上把握锐角三角函数的全貌，建立知识结构。

（三）剖析深化，理解本质（预计时间：8分钟）

教师活动：

1.概念辨析与巩固练习：

出示一个标准的直角三角形图形（标出∠A,∠B,∠C及对边a,b,c）。

【即时练习1】请快速说出：

（1）sinA=()cosA=()tanA=()

（2）sinB=()cosB=()tanB=()

（强调：三角函数是对锐角而言的，要明确是针对哪个角。∠A和∠B的三角函数表达式不同。）

2.函数思想的渗透：

再次回到几何画板。

【问题6】观察当∠A从0°逐渐增大到接近90°时（动画演示）：

（1）sinA的值如何变化？（从0增大到接近1）

（2）cosA的值如何变化？（从1减小到接近0）

（3）tanA的值如何变化？（从0开始不断增大，无限增大）

这说明了什么？

（引导总结：对于每一个确定的锐角度数，都有唯一确定的sinA,cosA,tanA的值与之对应。角度变化，这些值也随之有规律地变化。这就是一种函数关系——锐角三角函数。）

3.特殊角取值初探：

【问题7】当∠A=45°时，这个三角形有什么特点？(等腰直角三角形，a=b)

那么，sin45°=?cos45°=?tan45°=?

（引导学生推导：sin45°=a/c=a/√2a=√2/2;cos45°同理；tan45°=a/a=1）

强调这是通过定义和几何性质推导得出的精确值，而非测量值。

学生活动：

积极参与口头回答，巩固定义。观察几何画板演示，感受三角函数值随角度变化的趋势，初步体会函数思想。在教师引导下推导45°角的三角函数值。

设计意图：

本环节是概念建构后的深化和升华。“即时练习”旨在训练学生反应的准确性和熟练度，特别是区分不同角的三角函数。“函数思想渗透”是本节课的难点突破点，通过动态可视化，让学生直观感受到“角度”与“比值”之间的依赖关系，为“三角函数”的名称正名，埋下高中深度学习的伏笔。“特殊角初探”则为下节课专门学习特殊角的三角函数值做铺垫，体现知识的连贯性。

（四）范例精讲，掌握应用（预计时间：10分钟）

教师活动：

出示例题，进行引导分析。

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6。求∠A的正弦、余弦和正切值。

讲解步骤：

1.分析：所求是∠A的三角函数。已知斜边AB和对边BC，需求邻边AC。

2.求解：由勾股定理，AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8。

sinA=BC/AB=6/10=0.6

cosA=AC/AB=8/10=0.8

tanA=BC/AC=6/8=0.75

3.小结方法：“知两边，求函数值”：先利用勾股定理求出第三边（若需要），再直接代入定义式计算。

例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=4/5，BC=12。求AB和AC的长。

讲解步骤：

1.分析：已知∠A的余弦值和其对边BC，求斜边AB和邻边AC。由cosA=AC/AB=4/5，可设AC=4k,AB=5k(k>0)。

2.求解：由勾股定理得BC²=AB²-AC²=(5k)²-(4k)²=9k²。

所以BC=3k(取正值)。又BC=12，故3k=12，解得k=4。

因此，AC=4×4=16，AB=5×4=20。

3.小结方法：“知一函数值及一边，求其他边”：常用设参数法，根据三角函数定义将边表示为含参数的式子，再利用勾股定理或已知边长建立方程求解。这体现了方程思想与几何知识的综合运用。

例3：（拓展）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=6，BD=4，∠C=45°。求tan∠BAD的值。

讲解重点：引导学生识别目标角∠BAD所在的直角三角形（Rt△ABD）。已知该三角形的两边，可直接求tan值。题目中∠C=45°是干扰信息还是有用信息？（本题中为干扰，意在训练学生从复杂图形中剥离出目标直角三角形的能力）。

学生活动：

跟随教师思路，理解分析过程，掌握解题步骤。记录范例和方法总结。

设计意图：

通过由易到难的例题，展示锐角三角函数的两种基本应用题型：“知两边求比值”和“知比值及一边求边长”。例1是基础应用，巩固定义。例2引入了重要的“设参”思想，是解决一类问题的通法，提升了思维层次。例3作为拓展，训练学生在非标准图形中应用概念的能力。范例教学旨在提炼方法，规范步骤，为后续的学生练习提供思维范式。

（五）巩固练习，分层反馈（预计时间：5分钟）

教师活动：

出示分层练习题，巡视指导，关注学困生。

【A组：基础达标】

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13。则sinA=____，cosA=____，tanA=____。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanA=3/4。则AC=____。

【B组：能力提升】

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=2/3，AC=2√5。求△ABC的周长。

4.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC=8。求tan∠BAC的值。

学生活动：

独立完成练习。A组要求全体过关。B组鼓励大部分学生尝试。

设计意图：

通过分层练习，使不同层次的学生都能获得成功的体验，并得到相应的发展。A组题直接应用定义，巩固基础。B组题需要综合运用勾股定理、方程思想乃至菱形性质，锻炼学生知识迁移和综合解决问题的能力。教师巡视能及时发现共性问题，为课堂小结和课后辅导提供依据。

（六）课堂小结，体系建构（预计时间：2分钟）

教师活动：

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

1.知识层面：今天我们学习了刻画直角三角形边角关系的两个新“工具”——余弦（cosA=邻边/斜边）和正切（tanA=对边/邻边）。它们与正弦一起，构成了锐角A的三个基本三角函数。

2.方法层面：我们经历了“类比猜想-实验探究-验证定义”的研究过程；掌握了已知两边求函数值、已知函数值和一边求其他边的解题方法，其中“设参数”是常用技巧。

3.思想层面：我们进一步体会了“数形结合”思想（将边的比值与角联系起来），更重要的是，感受到了“函数”思想（一个锐角对应着唯一确定的三角函数值）。

学生活动：

在教师引导下，回顾、梳理、归纳本节课的核心内容，形成清晰的知识网络和认知结构。

设计意图：

课堂小结不是简单的知识罗列，而是引导学生进行反思性学习，将零散的知识点系统化，将感性的体验理性化，提炼出蕴含其中的数学思想方法，实现认知的升华。

（七）布置作业，拓展延伸

必做题：

1.教材课后习题中对应余弦、正切的基础练习题。

2.整理本节课笔记，画出锐角三角函数的思维导图。

选做题（探究性作业）：

1.查阅资料或自行思考：为什么“正弦”叫“正弦”，“余弦”叫“余弦”（“余”是什么意思），“正切”又是什么意思？它们的英文名sin,cos,tan有何来历？

2.尝试用几何画板或其他软件，制