第1章 整式的乘除（教师版）（类型）-北师大版(2024)七下

思维导图第一章整式的乘除思维导图【类型覆盖】类型一、单项式与多项式的应用【解惑】如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为，易得，根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，得到，进而求出的值，根据正方形的边长相等，得到，进行求解即可．【详解】解：设小正方形的边长为，由题意，得：则：，∴阴影部分（四个直角三角形）的面积为：，正方形面积的面积为，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，整理得：，∴；故选C．【融会贯通】1．在矩形中，将边长分别为a和b的两张正方形纸片按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为．当时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题图，得，所以．因为，所以，所以．2．如图，正方形的边长为，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为（），连接、、，则的面积为（用或表示）．【答案】【分析】观察图形，可以得到：，用含有a，b的式子将各个部分表示出来，化简即可求解．【详解】解：正方形ABCD的边长为，正方形EFGB的边长为，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查用用整式表示面积，整式的运算，正确表示出各部分的面积是解题的关键．3．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1．(1)计算，商式是________，余式是________；(2)计算，结果为________；(3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】本题主要考查了多项式除以多项式：（1）仿照题意利用短除法求解即可；（2）仿照题意利用短除法求解即可；（3）根据题意可得的余数为0，则有，据此可得答案．【详解】（1）解：∴商式是，余式是，故答案为：；；（2）解：∴；（3）解：∵M是一个整式，m是常数，，，∴的余数为0，∴∴，∴．类型二、多项式与多项式的应用【解惑】如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（

）A．正方形的边长 B．正方形的边长C．正方形的边长 D．正方形的边长【答案】C【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，设正方形的边长分别为，正方形的边长为，则，，，，，，∴，，∴故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长，故选：．【融会贯通】1．有两个正方形、，将，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为(

)A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】题考查整式的乘法与图形面积，设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，，即，，，即正方形的面积为，故选：B．2．如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为．【答案】【分析】此题考查了整式的混合运算以及列代数式，先用、的代数式表示长、宽，再根据阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可．【详解】解：如图，由图形得：，，．故答案为：．3．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．(1)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式；(2)已知，，利用（1）的结论求的值．【答案】(1)见解析(2)．【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积：能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．（1）利用体积相等推导出；（2）利用（1）中结论进行变形计算即可．【详解】（1）解：根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：，图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该正方体体积为：，；（2）解：由（1）知：，，，，，．类型三、平方差公式中的应用【解惑】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键.利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可；【详解】解：∵从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，∴剩余部分的面积是：，又拼成的长方形的面积是：，∴根据剩余部分的面积相等得：；故选：A【融会贯通】1．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等．【详解】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积，而两个图形中阴影部分的面积相等，阴影部分的面积．故选：C．2．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么阴影部分的面积是．【答案】12【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解．【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，∴，，∵大正方形与小正方形的面积之差是24，∴，根据图示可得，，∴，，∴阴影部分的面积，故答案为：12．3．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是______________．A．B．C．(2)应用所得的公式计算：；(3)应用所得的公式计算：．【答案】(1)B(2)1(3)【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键．（1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可．（2）把原式先变形为，再利用（1）的结论求解即可；（2）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，拼成的图2为长为，宽为的长方形，因此面积为，∴，故选：B；（2）解：；（3）解：原式．类型四、完全平方公式的应用【解惑】将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形，中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形中各个部分的面积，根据面积之间的和差关系得出答案，熟练掌握掌握完全平方公式的结构特征并能灵活运用是解决此题的关键．【详解】解：∵外围大正方形的边长为，∴面积为，∵中间小正方形的边长为，∴面积为，∵4个长方形的面积和为，∴有，故选：D．【融会贯通】1．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了完全平方公式的的变形求值，掌握是解题的关键．根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出ab的值即可．【详解】解：大长方形周长为，，，四个正方形的面积之和为，，，，，，故选：C．2．如图，有两个正方形，现将放在的内部得图①，将并列放置后构造新的正方形得图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为．【答案】【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据阴影部分的面积分别求列出关于的方程，进而利用方程求出的值即可求解，正确识图是解题的关键．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由图①得，即，由图②得，即，∴，故答案为：．3．（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形．(1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积；(2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________；(3)已知，求的值；(4)若，求的值．【答案】(1)图①：；图②：(2)(3)7(4)22【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．（1）根据正方形面积公式表示出图①中正方形的面积即可；用大正方形的面积减去两个长方形的面积得出答案即可；（2）根据两个图中阴影部分面积相等，即可得出答案；（3）根据完全平方公式，进行变形求值即可；（4）根据，，求出，根据，即可得出答案．【详解】（1）解：图①中正方形的边长为，则面积为；图②中正方形的面积为：；（2）解：∵图中两个阴影部分的面积相等，∴；（3）解：∵，∴，∴．（4）解：∵，，∴，∵，∴．类型五、整式乘除中的应用【解惑】下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查列出代数式，熟练运用整式的运算法则是解题的关键．根据图形列出代数式即可解答．【详解】解：由题可知：阴影部分面积为：，（C选项不符合题意），，，（A选项不符合题意），（D选项不符合题意）所以阴影部分不能用表示．故选：B．【融会贯通】1．如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形，解题的关键是根据图形得到几何图形的面积．根据图形可直接进行求解后作出判断．【详解】解：由图可得：阴影部分的面积为或或；∴不能正确表示阴影部分的面积的是C选项；故选：C．2．如图，一个长方形运动场被分割成A、B、A、B、C共5个区，A区是边长为的正方形，C区是边长为的小正方形．列式表示整个长方形运动场的面积．【答案】【分析】本题考查列代数式及整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以得到B区的长为，宽为，然后即可表示出整个长方形运动场的面积．【详解】解：由图可得，B区的长为，宽为，则整个长方形运动场的面积为：，故答案为：．3．如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．(1)求出拼成的长方形纸片的长和宽；(2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为，求它的宽．【答案】(1)长为，宽为(2)【分析】此题考查了整式的混合运算．（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽，熟练运用整式的加减法运算即可得到结果；（2）根据题意列出关系式，熟练运用整式的除法运算即可得到结果．【详解】（1）解：长方形的长为：，长方形的宽为：；（2）解：另一个长方形的宽：．类型六、幂的乘除中的等量关系【解惑】如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3，27）＝，（4，1）＝，（2，0.25）＝；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）3，0，﹣2；（2）a+b＝c，理由见解析．【分析】（1）直接根据新定义求解即可；（2）先根据新定义得出关于a，b，c的等式，然后根据幂的运算法则求解即可．【详解】（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3，∵40＝1，∴（4，1）＝0，∵2﹣2＝，∴（2，0．25）＝﹣2．故答案为：3，0，﹣2；（2）a+b＝c．理由：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝5×6＝3c＝30，∴3a×3b＝3c，∴a+b＝c．【点睛】本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键，本题也考查了有理数的乘方、同底数幂的乘法运算．【融会贯通】1．如果，那么我们规定．例如；因为，所以．(1)根据上述规定填空：______，______；(2)记，，．判断，，之间的等量关系，并说明理由．【答案】(1)3，0，(2)【分析】本题考查幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算；（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：∵，∴；∵，∴；（2）解：∵，，，∴，，，∵，∴，∴；2．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求b的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：34=81，那么．(1)填空：_____；(2)若，，求的值；(3)探索，与之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据乘方的定义解决此题．（2）根据乘方的定义解决此题．（3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则解决此题．【详解】（1）解：∵∴；故答案为：．（2）解：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴；（3）解：，理由如下：设，∴，，∴，∴,∴【点睛】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．3．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶∵设，则，∴，即，∴∴试参照小明的证明过程，解决下列问题∶①计算；②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．【答案】(1)(2)①0；②【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；（2）①由推理过程可得，再相减结果得0即可；②设，，则，从而得到【详解】（1）故答案为：（2）①；②．证明：设，，则，所以，，，所以【点睛】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点．类型七、整式的乘除中的规律问题【解惑】【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：【知识应用】(1)补充完整的展开式，______；(2)的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；(3)今天是星期五，过了天后是星期几？【答案】(1)6，4，(2)8，(3)星期六【分析】（1）根据三角形系数图中的系数确定规律，计算完善即可．（2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案．（3）根据题意，得，看余数解答即可．本题考查了杨辉三角形的理解与应用，正确理解题意，会探索发现规律，转化应用是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，得故，故答案为：6，4，．（2）解：根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，当时，有2项；所有项的系数和为；当时，有项；所有项的系数和为；当时，有项；所有项的系数和为；，故找到规律为：共项，所有项系数的和为，故的展开式中共有8项，所有项的系数和为．故答案为：8，．（3）解：今天是星期五，过了天后是星期六．理由如下：∵根据题意，得，且都能被7整除，，∴除以7余1，∴如果今天是星期五，过了天后是星期六．【融会贯通】1．（1）填空并观察下列各式的规律：________；；；；……可得到________．（2）猜想：________（其中为正整数，且）；（3）利用（2）猜想的结论计算：．【答案】（1）（2）（3）【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的规律问题，对于（1），根据题目中的规律可得结果；对于（2），根据（1）中的例子可以写出相应的猜想；对于（3），把（2）中式子中的代入求解．【详解】解：（1）；；故答案为：，；（2），根据（1）中规律可得；故答案为：；（3），设（2）中式子中的，则有，即，∴．2．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……(1)写出的展开式__________并利用整式的乘法验证你的结果．(2)的展开式共有__________项，系数和为__________．(3)展开式共有__________项，系数和为__________．【答案】(1)；(2)7，64；(3)，．【分析】本题主要考查了数字规律探索，整式乘法运算；解题的关键是找出杨辉三角的排列规律．（1）根据完全平方公式进行计算即可得出结果；（2）根据杨辉三角的规律得出展开式的系数，然后求出其系数和即可；（3）根据规律得出中展开式中项数，令，，即可求出各项系数的和．【详解】（1）解：如图，根据杨辉三角可知，；用整式乘法验证：；故答案为：；（2）解：根据杨辉三角可知，，故有7项，∴的展开式的系数分别为，6，15，20，15，6，1，∴系数和为：，故答案为：7，64；（3）解：，共有2项，系数分别为1，1，，共有3项，系数分别为1，2，1，，共有4项，系数分别为1，3，3，1，，共有5项，系数分别为1，4，6，4，1，…∴展开式中共有项，令中，，则的展开式中的每一项正好是每一项的系数，∴的展开式中各项的系数和为．故答案为：；．3．观察下列各式：;；；…(1)根据以上规律，则；(2)你能否由此归纳出一般性规律：=．(3)根据（2）求出：的结果．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．（1）仿照已知等式写出答案即可；（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：，故答案为：；（3）解：．类型八、整式的乘除中的新定义问题【解惑】观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”．(1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”；(2)小丁说：“若是‘共生有理数对’，则一定是‘共生有理数对'．”小丁的说法正确吗？请说明理由；(3)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”，为．（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）【答案】(1)不是“共生有理数对”；(2)正确，理由见解析；(3)（答案不唯一）．【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，解一元一次方程，解题关键在于理解“共生有理数对”的定义，根据定义进行计算．根据“共生有理数对”的定义进行计算，根据计算的结果进行判断；根据“共生有理数对”的定义进行计算，可知，所以可得：是“共生有理数对”；设是一对“共生有理数对”，根据“共生有理数对”的定义得到方程：，解方程求出的值，即可得到一组“共生有理数对”．【详解】（1）解：，，但是，不是共生有理数对；（2）解：是“共生有理数对”，理由如下：是共生有理数对，，，，，，是“共生有理数对”；（3）解：设是一对“共生有理数对”，根据题意可得：，解得：，是一对“共生有理数对”．【融会贯通】1．阅读下列材料，完成相应的任务．平衡多项式定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为．任务：(1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子；(2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由；(3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值．【答案】(1)3(2)是，3(3)或7或【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子；对于（2），根据运算法则计算，并求出平衡因子；对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值．【详解】（1）根据题意，得，所以平衡因子是；（2）是平衡多项式，理由如下：根据题意，得，所以是平衡多项式，平衡因子是；（3）若，∴，解得；若，∴，解得；若，∴，解得.所以m的值为或7或．2．配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．解决问题：（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______；（2）已知，则______；探究问题：（3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值．【答案】（1）；（2）；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）6【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）把10拆成两个整数的平方即可；（2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解；（3）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；（4）首先表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可．【详解】解：（1）已知10是“完美数”，将它写成（、是整数）的形式为．故答案为：；（2）∵∴，∴，∵，，∴，解得，∴．故答案为：；（3）当时，为“完美数”，理由如下：，∵、是整数，∴、也是整数，∴当时，为“完美数”；（4）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴当时，的值最大，为6．3．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，10是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”．解决问题：（1）请你再写一个小于10的“和美数”______；并判断40是否为“和美数”______；（2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______；探究问题：（1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______；（2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值．拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______．【答案】解决问题：（1）或或或或或或（写出一个即可）；是；（2）2；探究问题：（1）（2）；拓展结论：【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键．解决问题（1）根据题目信息即可求解；（2）根据即可求解；探究问题（1）根据即可求解；（2）根据即可求解；拓展结论：根据题意可得即可求解；【详解】解：解决问题（1）：∵∴小于10的“和美数”有：或或或或或或（写出一个即可）；∵，∴40是为“和美数”故答案为：或或或或或或（写出一个即可）；是；（2）∵∴∴故答案为：2探究问题（1）：∵，∴∴故答案为：（2）∵，∴要使S为“和美数”，则拓展结论：∵，∴∴∵∴∴的最小值是故答案为：类型九、延伸拓展——复数问题【解惑】定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：；．根据以上信息，完成下列问题：(1)计算：；(2)计算：．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了整式的混合运算，（1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算，再将代入求解即可；（2）先根据新定义进行计算，可以发现规律为四个一循环，进而求解即可；准确理解题意是解题的关键．【详解】（1）原式；（2）∵，∴，每4个一循环；∴，∵，∴原式．【融会贯通】1．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1②若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．(1)填空：（3i﹣2）（3+i）＝；（1+2i）3（1﹣2i）3＝；(2)若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值；(3)已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2020）的值．【答案】(1)7i﹣9；125(2)1(3)﹣5i【分析】（1）按照定义及积的乘方计算即可；（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案．【详解】（1）解：（3i﹣2）（3+i）＝9i﹣3﹣6﹣2i＝7i﹣9（1+2i）3（1﹣2i）3＝[（1+2i）（1﹣2i）]3＝（1﹣4i2）3＝（1+4）3＝125故答案为：7i﹣9；125．（2）解：∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，又a+bi是（1+2i）2的共轭复数，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）2＝（﹣4+3）2＝1；（3）解：∵（a+i）（b+i）＝1﹣3i∴ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3∴ab＝2，a+b＝﹣3∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣2×2＝5∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，i2+i3+i4+…+i2020有2019个加数，2019÷4＝504…3∴i2+i3+i4+…+i2020＝0+i2018+i2019+i2020＝﹣i∴（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2020）＝5（﹣i）＝﹣5i．【点睛】本题主要是考查新定义运算问题及结合完全平方公式，解题的关键是理解题中所给的新定义运算．2．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如：①②③根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：______，______，______；(2)化简：；(3)请你参照这一知识，将分解成两个复数的乘积．【答案】(1)；；(2)(3)【分析】（1）利用复数的运算法则运算解题；（2）先根据复数的定义计算，再合并即可求解；（3）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把代入求出即可；【详解】（1）解：；；；故答案为：；；；（2）解：（3）解：．【点睛】本题考查新定义运算，理解新定义的运算法则是关键．3．定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位，且把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加，减、乘法运算类似．例如：；；．根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：①______，______，______．②______．(2)计算：．【答案】(1)①，，；②1(2)【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练运用整式的运算法则是正确解题的关键.（1）①根据进行运算即可；②利用幂的乘方法则变形计算即可；（2）利用多项式乘以多项式和完全平方公式展开后，再利用进行运算即可．【详解】（1）解：①，，．故答案为：，，；②．故答案为：1；（2）.类型十、延伸拓展——对数问题【解惑】阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．(1)计算以下各对数的值：，，．(2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？(3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论．【答案】(1)2，4，6(2)，(3)见解析【分析】此题考查了整式的混合运算、有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，即可确定出关系式．（1）根据对数的定义进行计算即可；（2），、、之间的关系根据结果得出：，则；（3）设，那么有，又设，那么有，根据对数的定义可得结论．【详解】（1）解：，，，，，∴log故答案为：2，4，6；（2）解：，；（3）解：设，那么有，又设，那么有，故而，根据对数的定义化成对数式为，．【融会贯通】1．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即．根据上面的规定，请解决下列问题：(1)计算：____________，_____________；(2)小明在计算的时候，采用了以下方法：设，

通过以上计算，我们猜想____________．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可；（2）理解题中的运算步骤，设，，对式子进行变形，求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴故答案为：，（2）设，，则，∴∴即故答案为：【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，乘方的逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练幂的有关运算．2．材料：一般地，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．根据以上材料，解决下列问题：(1)计算：_________，__________；(2)已知：，则且；(3)猜测：________且，，，并加以证明这个结论；．【答案】(1)，(2)10(3)【分析】（1）根据，，写成对数式即可；（2）由，得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可；（3）设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，据此计算即可．【详解】（1）∵，，∴；．故答案为：2；4；（2））由，得．∵，∴根据对数的定义，，故答案为：10．（3）设，即，【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是理解新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．3．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：设，，则，∴，由对数的定义得又∵∴解决以下问题：(1)将指数转化为对数式：______．(2)仿照上面的材料，试证明：．(3)拓展运用：计算．【答案】(1)(2)见解析(3)1【分析】（1）根据对数式的形式进行求解即可；（2）仿照上面的材料，进行证明即可；（3）结合对数式的性质进行求解即可．【详解】（1）43=64转化为对数式为：3=log464，故答案为：；（2）证明：设，则，∴，由对数的定义得，又∵，∴，即(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．（3）==1．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【一览众山小】1．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，同底数幂的除法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；B、，故选项不符合题意；C、，计算正确，故选项符合题意；D、，故选项不符合题意；故选：C．2．已知，则代数式的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，先由，，得出，然后通过，求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴选项符合题意，故选：．3．已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用整式的混合运算，结合实数满足，将化简为，再由配方法及平方非负性确定，最后由不等式的性质即可得到，从而确定答案．【详解】解：，实数满足，，，，，，综上所述，，则，的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了配方法、完全平方公式、平方差公式及整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则及配方法恒等变形是解决问题的关键．4．已知，则＝．【答案】【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，先利用完全平方公式求出的值，进而即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键．【详解】解：∵，∴负值舍去，故答案为：．5．如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为．【答案】13或−11【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可．【详解】解：∵是完全平方式，∴，解得：或，故答案为：13或−11．6．已知，，那么的值等于．【答案】8【分析】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．把展开为，根据，得到，然后再通过变形求出即可．【详解】解：，，，，∴，．故答案为：8．7．李先生购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地板砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：(1)用含x的式子表示客厅的面积；(2)用含x的式子表示地面总面积：(3)若铺地板砖的平均费用为100元，求当时，铺地板砖的总费用为多少元？【答案】(1)平方米(2)平方米(3)3900元【分析】本题考查了代数式求值，列代数式，解决本题的关键是熟练运用长方形的面积公式．（1）客厅地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可；（2）地面的总面积=客厅的总面积+卧室的面积+厨房的面积+卫生间的面积，每个房间的地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可；（3）将代入到，求出面积，再乘以单价即可．【详解】（1）客厅的面积平方米；（2）地面总面积（平方米）；（3）当时，；（元）；答：铺地板砖的总费用是3900元．