企业经济行为

《微观经济学：原理与模型》

第三篇企业经济行为

第十章企业最优决策

（已精细订正！）

在研究生产函数和成本函数的基础上，便可以将两者结合起来，研

究企业如何进行最优决策。也可以说，研究生产函数是为了研究成本

国数，研究成本国数是为了研究经营决策。

根据利润最大化的企业经济行为目标，我们首先以静态分析法研究

企业要素投入的最优组合，然后以比较静态分析法研究企业要素投

入最优组合的变动。

第一节要素投入最优组合

在市场经济运行中，尽管企业目标有所不同，但作为资源配置的一

种组织形式，都要追求经济效益，以最小的成本实现最大的产量一

一以一定的成本实现最大的产量，或者以最小的成本实现一定的产

一、一种变动投入最优组合

假如其他投入要素不变，只有一种变动投入劳动，企业如何选择劳

动的最优雇用量呢？

图10.1对一种要素的需求

图10.I表示，在完全竞争条件下，假定由市场供求决定的产品

价格和劳动价格都不变，根据边际生产力递减法则，一种变动

要素投入的边际生产价值(即边际生产收益),将随着投入量

的增加而下降。在投入量为以下，例如，，

说明雇用这一单位要素的产品收益大于成本支出，企业获得利润。在

投入量为时，说明雇用这一单位要素的产品收益等于成本支出,

企业收支相抵。在投入量为以上，例如，，说明雇用这一单位

要素的产品收益小于成本支出，企业得不偿失。由于的积分面积最

大，表明总利润最大，企业将雇用要素单位。

从企业的收益来看，总产量与产品价格的乘积形成总收益。即

TR=Pq

从企业的成本来看，要素投入量口与要素价格口的乘积形成总成本,

也就是总支出TE(totalexpenditure)©即

(10.2)

平均单位要素的成本称为平均支出AE(averageexpenditure)o

即

(10.3)

新增单位要素的成本称为边际支出ME(marginaIexpenditure)o

即

(10.4)

利润口为总收益与总支出之差，即

兀=TR-TE=Pq-caL

为求利润最大，令

整限制）嗦（矶）=。

则

下♦四一石=。

UL

(10.5)

即

(10.6)

式（10.6）为雇用一种变动投入的均衡条件。

二、两种变动投入最优组合

当要素投入为两种时，要素投入的最优组合可有两种方法：在成本

既定的条件下实现产量最大化；在产量既定的条件下实现成本最小

化。

实际上，这是一个对偶规划，具有同解。

(一)成本既定产量最大

1.等成本线

等成本线(isocostline)是指，在要素价格既定的条件下，企业以一

定的成本支出所能雇用的两种要素各种可能的组合。

图10.2一定成本的最大产量

图10.2表示，等成本线上任何一点决定的两种要素组合，总成

本都是相等的。设两种要素为，，其价格为，则

(io.7)

洛式(10.7)改写为等成本线的直线方程式，有

(10.8)

式中，右端第一项为等成本线的纵轴截距，第二项为等成本线的

斜率，见图10.2中的等成本线。

2.等产量图

根据两种变动投入生产函数的讨论，我们可以设想图10.2L-K

平面上由许多条连续生产函数等产量线构成的等产量图，是其中

的三条，。等产量线任何一点切线的斜率，表示其边际技术替代率

(10.9)

由于

dLMP.=L-dK-i\MPK

(1().10)

(10.II)

3.生产者均衡

基于连续性生产函数等产量线的特性，我们以一定的总成本能

够生产的最大产量，就是与既定等成本线相切的等产量线所代表

的产量。与等成本线既不相切，也不相交，说明既定成本无法

达到这个产量。与相交于，两点，虽然这两点所代表的成本

支出与既定总成本相等，但，不是最大产量，因此，企业在点

或点组织生产是不经济的。显然，企业的最优选择是在与的切

点进行生产，这意味着企业以相当于点，所代表的成本支出,

达到了相当于的产量。所以，图10.2既定等成本线与等产量线的

切点正所决定的，的投入量，是企业最优要素投入组合，这时,

等产量线的边际技术替代率正好等于等成本线的斜率。即

(10.12)

或

(10.13)

以上两式说明，两种变动投入最优组合的条件是：两种要素的边际

技术替代率等于两种要素的价格比;或一种要素每增加一单位成本所

增加的产量，与另一种投入要素每增加一单位成本所增加的产量相

等。

在投入要素价格既定条件下，如果两种变动要素的边际技术替代率

大于要素的价格比(如图中的点),企业应设法增加投入，相应

减少投入，直到与要素价格比相等为止。同理，当小于要素的

价格比(如图中的点),企业则应减少投入，增加投入，直到

为止。

成本既定产量最大的要素投入组合，可用数学式表达如下:

maxq=/(L,K)

s.t.TC=coL+7K

这个模型属于约束极大化问题，可用拉格朗日乘数法求解。

令

Z=/(L,K)+^TC-cdL-rK)

比

刘

说

冰

丽

枳=TC-a)L-rK=0TC=coL+fK

则约束极大值的一阶条件为

(10.14)

或

(10.15)

式ao.14)的左端为等产量线的边际技术替代率，右端为等成本线的

斜率，表明成本既定产出最大的投入要素组合的均衡条件是，边际

技术替代率等于要素投入价格比。

(二)产量既定成本最小

与成本既定产量最大原理一样，企业产量既定成本最小的要素投人

组合，是既定的等产量线与某一条等成本线切点所代表的要素组合,

即图10.3中的点。

图10.3一定产量的最小成本

在图10.3的L—K平面上，由于要素价格既定，可以有许多条斜率

相等的等成本线，。显然，达不到既定的产量，虽然在范

围内可以达到并超过既定产量，但成本过高。而在与的切点

,既可以达到既定的产量水平，又是惟一能够达到这一既定产量

的最小成本。

从数学上看，这就是将目标函数与约束条件互换，从求解约束

条件下的极大值转为约束条件下的极小值。

minTC=coL+rK

s.t.q=/(£,K)

利用拉格朗日乘数法，令

Z'=^L+/K+/Tm-/(L,K)]

—=6y-2^=()

dLdL

吸里=。

dKdK

琮=q-"K)=0

OA

则

切_

dL

>"7

dK

或

MR._MPK

击r

显然，产量既定成本最小的要素组合条件，与成本既定产量最

大的要素组合条件是一样的。

借助同样方法，也可求得多种投入要素的最优组合条件。以表

示第种投入要素的价格，则

(10.16)

式ao.16)可称为边际报酬均等法则，它是边际效用均等法则在经营

决策中的应用。

三、多种变动投入最优组合——线性规划

在研究三种以上变动投入的最优组合时，如果有多个约束条件且为

不等式，求解起来就比较困难，甚至无解。

因此，在研究多种变动投入的最优组合时，线性规划(linear

programming)得到广泛的应用。

(一)线性规划的特点

从经济学上看，线性规划要解决的问题是：假如规模报酬和市场价

格不变，企业在技术、财务、制度等多种约束条件下，如何优化各种

投入要素的组合，才能做到利润最大(产量最大或成本最小)？

以数学语言表达，线性规划模型在比例性、可加性、连续性、确定性

的假定下，具有以下四个特点：

(1)线性规划模型由目标函数、约束条件、非负限制三组方程构成。

⑵方程的变量都是一次的，即生产函数、成本函数、利润函数均为

线性函数。

(3)约束条件可以是不等式，不必像拉格朗日乘数法那样，必须是等

式。

(4)任何线性规划的原始规划(primalprogramming),都可能变成其

对偶规划(dualprograming),两者同解。

一般来说，经济现象都是非线性的，但在一定生产时期或一定

产量范围内，线性规划还是适用的，至少是近似的，而求解方法却

大为简化，且有许多现成的软件包，只要输入有关数据，可以立即

得到答案。

(二)线性规划模型

1.原始规划

组成原始规划的模型通常是以下三组方程：由决策变量构成的

决策者线性目标函数；由决策变量的线性等式或不等式构成的约束方

程；限制决策变量取值范围的非负约束。

其一般形式为

(10.17)

其中，

u为目标值；

Cj为目标函数系数；

X,为决策变量；

为为约束方程系数；

々为约束条件的右边项。

为讨论方便起见，上述原始规划模型式(10.17)常写成向量和

矩阵形式

(10.18)

其中，

。二(《，。2,…，％)

T

X=(XPX2,...,X„)

A=(%)林”

6=(4也，…，源)丁

2.对偶规划

对偶规划与原始规划具有内在联系和对应关系:原始规划求目标函数

最大化，对偶规划求目标函数最小化;原始规划目标函数系数成为对

偶规划的右边项，对偶规划的目标函数成为原始规划的右边项;原始

规划的约束系数矩阵是对偶规划约束系数矩阵的转置。

若原始规划模型为式(10.17),则其对偶规划模型为

(10.19)

其中，

U为目标值；

为影子价格(shadowprice),是的变动量引起目标值其变动量，反映资源的稀缺程度。

上述对偶规划模型式(10.19)也可以写成向量和矩阵形式

(10.20)

其中，〃=(〃|，〃2,…,

原始规划与对偶规划是一对问题，互为对偶。任何线性规划既可

以是原始规划，也可以是对偶规划，视决策需要和决策条件而定。

(三)线性规划解法

求解多投入、多产品、多约束的线性规划，通常采用单纯形法,

详见《运筹学》。这里，仅简单介绍图解法和代数法。

1.图解法

设某公司生产两种产品，价格分别为。生产这两种产品需要

使用三种不同的机床：每单位产品需要使用6小时机床1,2小时

机床2,8小时机床3;每单位产品需要使用3小时机床1,4小时

机床2,8小时机床3。但是，该公司只有3台机床1,2台机床2,5

台机床3,而且3种机床每天只能工作8小时。若市场销售不成问题,

,的单位利润分别为12,8,怎样决定，的产量，才能使公

司利润最大？

根据以上数据，可以建立原始规划模型

(10.19)

图10.4线性规划的图解法

图10.4的横轴表示产品，纵轴表示产品。设式(10.21)的约束

方程均为等式，则依次可得约束直线方程

(10.22)

由网纹表示的多边形为可行域，可行域的任何一点所表示的

的组合，都是可行解。

式(10.21)中的目标国数可以直线方程表示为等利润线

(10.23)

显然，可行域能够达到的最高等利润线是，最优解是边角

点，最大利润是52。虽然大于，但不在可行域内；虽然能

够达到，但小于。可见，边角点表示的产品组合是惟一最优解。

2.代数法

为说明代数法，需要首先引入松弛变量(又称剩余变量)，即各种

并未使用的投入量，使约束方程从不等式变为等式。当决策变量的数

目少于约束方程的数目时，必定至少有一种资源未被充分利用。

利用松弛变量,可将原始规划式(10.21)中的不等式变为等

式，以便用代数法求解这种标准形式。

(10.24)

在图10.4中，共有5个边角点：。这些边角点所表示的产量

组合及其利润，见表10.1。

表10.1各边角点的产量组合及其利润

边角点X?S1S?S371

0002416400

A04120832

B4008848

C3202052

D2330048

显然，在这些边角点中，点c的利润52最大。这时，，，表示

机床1,机床3都已得到充分利用，属于有约束条件；，表示机床

2尚有剩余工时2,属于无约束条件。

这个原始规划模型是在机床工时的约束下，求利润最大化，其

对偶规划模型则是在产品利润的约束下，求机床工时最小化的机会

成本。

(10.25)

其中，为机会成本。

在对偶规划中，决策变量为机床工时的影子价格。影子价格是在实

现产品利润的前提下，使总、成本最低的最优价格。显然，生产单位产

品的机床工时的影子价格，必须大于或等于单位产品的利润。

为了用代数法求解对偶规划模型，列入松弛变量，将式(10.25)

的约束方程变为标准等式。由于这个对偶规划是求机会成本最〃'化，

约束条件是大于或等于，引入的松弛变量必须加减号。

(10.26)

原始规划模型求解过程表明：任何可行解中非口值的最大数目是约

束条件的数目。由于这个对偶规划的约束条件为口，只能在非口值变

量最多为□时确定一个可行解。为此，我们从口个决策变量中任意挑

选□个决策变量并设定其值为口，然后代人约束方程，求出其他口

个变量的值。最后，便可从所有可行解中选择使机会成本最小的最优

解。

例如，设定的值为，通过式(10.26)的第一个约束方程便可

求出

6x0+2x04-8x0-5,=12S,=-12

同理，通过式(10.26)的第二个约束方程便可求出

=

S2=3x0+4x0+8x0-528S2=-8

由于为负，这不是一个可行解。

又如，设的值为