2025-2026学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模） （含解析）

2025-2026学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（）A． B． C． D．2．在△中，，，，那么下列说法正确的是（）A． B． C． D．3．将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（）A． B． C． D．4．下列命题正确的是（）A．如果，那么 B．如果都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果或，那么5．如图，在△中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（）A． B． C． D．6．在△和△中，，，根据下列条件，一定能判断△和△相似的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．如果，那么．8．计算：．9．已知线段的长为，如果点是线段的黄金分割点，那么的值是．10．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是．11．已知点、为二次函数图象上的两点，那么（填“”、“”或“”．12．小明沿着坡度的斜坡前行了65米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．13．用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下的表格：01234010那么当时，该二次函数的值为．14．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，，，则的长是．15．如图，已知在四边形中，，，如果，，那么．16．在△中，是锐角），，，那么的长为．17．如图，点是△的重心，点是边的中点，交于点，交于点，则的比值为．18．定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在△中，，，点是边上的一动点（且，若△是“差直角三角形”，则的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、．（1）求抛物线的表达式；（2）若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值．21．（10分）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点．（1）当时，求的长；（2）设，请用、表示．22．（10分）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图，当其中一片风叶与塔干叠合时（即、、在一直线上），在与塔底水平距离为200米的处，测得塔干顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，，在同一平面内．（参考数据，，，（1）求塔干的长度；（2）求风叶的长度．（精确到1米）23．（12分）如图，在△中，点、分别在边、上，，与交于点，且．（1）求证：；（2）如果，求证：．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．（1）求点和点的坐标；（2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，联结，，若平分，求抛物线的表达式；（3）若点是抛物线第四象限上一动点，联结、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值．25．（14分）已知在△中，，，，点是边上的一点，将△沿着过点的直线翻折，点落在边上，记作点，折痕所在的直线与射线交于点，过点作，交射线于点．（1）如图1，当点和点重合时，求的长；（2）如图2，当点在边上时，设，，求关于的函数解析式并写出定义域；（3）延长，交的延长线于点，当△是以为腰的等腰三角形时，求的长．

参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（）A． B． C． D．解：两个相似三角形的面积比为，两个三角形的相似比为．又相似三角形对应中线的比等于相似比，这两个三角形的对应中线的比为．综上所述，只有选项正确，符合题意，故选：．2．在△中，，，，那么下列说法正确的是（）A． B． C． D．解：由勾股定理得到：，，，，．故选：．3．将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（）A． B． C． D．解：将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是．故选：．4．下列命题正确的是（）A．如果，那么 B．如果都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果或，那么解：．向量相等需要大小和方向都相同，仅模长相等不能推出向量相等，故本选项不符合题意；．单位向量仅模长为1，但方向可以不同，不能推出向量相等，故本选项不符合题意；．方向相反的向量是平行向量，故本选项符合题意；．数乘向量的结果是向量，正确结论应为零向量，而不是数字0，故本选项不符合题意．故选：．5．如图，在△中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（）A． B． C． D．解：选项符合题意．理由：，，，，．故选：．6．在△和△中，，，根据下列条件，一定能判断△和△相似的是（）A． B． C． D．解：、两三角形的两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定△和△相似，故不符合题意；、由，，，推出，判定△是等边三角形，但△不一定是等边三角形，因此两个三角形不一定相似，故不符合题意；、，和的夹角是，和夹角是，应该是而不是，才能判定△和△相似，故不符合题意；、由两个等腰三角形的底角相等得到，而，判定△和△相似，故符合题意．故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．如果，那么．解：，，．故答案为：．8．计算：．解：原式．故答案为：．9．已知线段的长为，如果点是线段的黄金分割点，那么的值是．解：线段的长为，点是线段的黄金分割点，，故答案为：．10．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是．解：如果抛物线开口向下，抛物线的二次项系数为．抛物线开口向下，，解得；故答案为：．11．已知点、为二次函数图象上的两点，那么（填“”、“”或“”．解：二次函数的开口向下，对称轴为直线，开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为．且，．故答案为：．12．小明沿着坡度的斜坡前行了65米，那么他距离地面的垂直高度上升了25米．解：设小明距离地面的垂直高度上升了米，斜坡的坡度，小明行走的水平距离为米，由勾股定理得：，解得：（负值舍去），则小明距离地面的垂直高度上升了25米，故答案为：25．13．用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下的表格：01234010那么当时，该二次函数的值为．解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为，设，从表格可知过点，代入得：，解得：，即，当时，，故答案为：．14．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，，，则的长是．解：，，，，，，．故答案为：．15．如图，已知在四边形中，，，如果，，那么．解：，，，△△，，，，，故答案为：．16．在△中，是锐角），，，那么的长为4．解：过点作的垂线，垂足为，如图所示，在△中，．，，，则．，，，，．故答案为：4．17．如图，点是△的重心，点是边的中点，交于点，交于点，则的比值为．解：连接，，，设的延长线交于点，过点作于点，过点作于点，点是△的重心，点是边的中线，经过点，在的延长线上取一点，使，连接，，如图所示：，点是边的中线，，又，四边形是平行四边形，，，点是△的重心，是△的中线，，是△的中位线，，，设，，，于点，于点，，△△，，，，，交于点，交于点，四边形是平行四边形，四边形，．故答案为：．18．定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在△中，，，点是边上的一动点（且，若△是“差直角三角形”，则的长为或．解：如图，过点作于，过点作，交于．，，为中点，．．，为钝角．分两种情况：①，则，．，，△△，，即，解得，；②，则，，．，△△，，即，，，，，．解得，，，综上，的长为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．解：原式．20．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、．（1）求抛物线的表达式；（2）若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值．解：（1）由题意可得：得，解得．抛物线的表达式；（2），该抛物线的顶点为．要使抛物线与轴只有一个公共点，即要求顶点在轴上，顶点纵坐标应为0．将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．的值是5．21．（10分）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点．（1）当时，求的长；（2）设，请用、表示．解：（1），△△，点是的中点，且，，即，，；（2）且，，且，，由（1）知，即，．22．（10分）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图，当其中一片风叶与塔干叠合时（即、、在一直线上），在与塔底水平距离为200米的处，测得塔干顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，，在同一平面内．（参考数据，，，（1）求塔干的长度；（2）求风叶的长度．（精确到1米）解：（1）由题意得：，在△中，，米，（米，塔干的长度约为150米；（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得：米，，，，，设米，则米，在△中，（米，在△中，，米，，，解得：，米，在△中，（米，风叶的长度约为98米．23．（12分）如图，在△中，点、分别在边、上，，与交于点，且．（1）求证：；（2）如果，求证：．【解答】（1）证明：，，为公共角，△△，，，，；（2）证明：，，由（1）知，，，，，△△，，，，．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．（1）求点和点的坐标；（2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，联结，，若平分，求抛物线的表达式；（3）若点是抛物线第四象限上一动点，联结、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值．解：（1）在中，令得：，解得或，，；（2）如图：，抛物线的对称轴为直线，在中，令得，，点与点关于抛物线的对称轴直线对称，，轴，，平分，，，，，，，，解得或，，，抛物线的表达式为；（3）如图：，，，直线解析式为，，，，设直线解析式为，把代入得：，，直线解析式为，联立，解得或，，由，得直线解析式为，在中，令得，，，，，，，．25．（14分）已知在△中，，，，点是边上的一点，将△沿着过点的直线翻折，点落在边上，记作点，折痕所在的直线与射线交于点，过点作，交射线于点．（1）如图1，当点和点重合时，求的长；（2）如图2，当点在边上时，设，，求关于的函数解析式并写出定义域；（3）延长，交的延长线于点，当△是以为腰的等腰三角形时，求的